§17. Бесконечно удаленная особая точка. Определение бесконечно большой последовательности

Если некоторая последовательность сходится к конечному числу a , то пишут
.
Ранее мы ввели в рассмотрение бесконечно большие последовательности . Мы приняли, что они являются сходящимися и обозначили их пределы символами и . Эти символы обозначают бесконечно удаленные точки . Они не принадлежат множеству действительных чисел. Но понятие предела позволяет ввести такие точки и дает инструмент для изучения их свойств с помощью действительных чисел.

Определение
Бесконечно удаленная точка , или бесконечность без знака, - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность.
Бесконечно удаленная точка плюс бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с положительными членами.
Бесконечно удаленная точка минус бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с отрицательными членами.

Для любого действительного числа a имеют место следующее неравенства:
;
.

Используя действительные числа, мы ввели понятие окрестности бесконечно удаленной точки .
Окрестностью точки является множество .
Наконец, окрестностью точки является множество .
Здесь M - произвольное, сколь угодно большое действительные число.

Таким образом, мы расширили множество действительных чисел, введя в него новые элементы. В связи с этим, имеет место следующее определение:

Расширенной числовой прямой или расширенным множеством действительных чисел называется множество действительных чисел , дополненное элементами и :
.

Вначале мы выпишем свойства, которыми обладают точки и . Далее рассмотрим вопрос строгого математического определения операций для этих точек и доказательства этих свойств.

Свойства бесконечно удаленных точек

Сумма и разность .
; ;
; ;

Произведение и частное .
; ; ;
;
;
; ; .

Связь с действительными числами .
Пусть a - произвольное действительное число. Тогда
; ;
; ; ; .
Пусть a > 0 . Тогда
; ; .
Пусть a < 0 . Тогда
; .

Неопределенные операции .
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Доказательства свойств бесконечно удаленных точек

Определение математических операций

Мы уже дали определения для бесконечно удаленных точек. Теперь мы должны определить для них математические операции. Поскольку мы определили эти точки посредством последовательностей, то и операции с этими точками также следует определить, используя последовательности.

Итак, суммой двух точек
c = a + b ,
принадлежащих расширенному множеству действительных чисел,
,
мы будем называть предел
,
где и - произвольные последовательности, имеющие пределы
и .

Аналогичным образом определяются операции вычитания, умножения и деления. Только, в случае деления, элементы в знаменателе дроби не должны быть равными нулю.
Тогда разность двух точек:
- это предел: .
Произведение точек:
- это предел: .
Частное:
- это предел: .
Здесь и - произвольные последовательности, чьи пределы равны a и b , соответственно. В последнем случае, .

Доказательства свойств

Для доказательства свойств бесконечно удаленных точек, нам нужно использовать свойства бесконечно больших последовательностей.

Рассмотрим свойство:
.
Для его доказательства, мы должны показать, что
,

Другими словами нам нужно доказать, что сумма двух последовательностей, сходящихся к плюс бесконечности, сходится к плюс бесконечности.

1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Аналогичным способом доказываются и другие свойства. В качестве примера приведем еще одно доказательство.

Докажем, что:
.
Для этого мы должны показать, что
,
где и - произвольные последовательности, с пределами и .

То есть нам нужно доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.

Докажем это. Поскольку и , то имеются некоторые функции и , так что для любого положительного числа M 1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Неопределенные операции

Часть математических операций с бесконечно удаленными точками не определены. Чтобы показать их неопределенность, нужно привести пару частных случаев, когда результат операции зависит от выбора входящих в них последовательностей.

Рассмотрим такую операцию:
.
Легко показать, что если и , то предел суммы последовательностей зависит от выбора последовательностей и .

Действительно, возьмем . Пределы этих последовательностей равны . Предел суммы

равен бесконечности.

Теперь возьмем . Пределы этих последовательностей также равны . Но предел их суммы

равен нулю.

То есть при условии, что и , значение предела суммы может принимать различные значения. Поэтому операция не определена.

Аналогичным способом можно показать неопределенность остальных операции, представленных выше.

Я разбита. Причина – его любовь. Набираю забитый на скорый вызов телефон и внимательно вслушиваюсь в гудки, что бы узнать о месте нахождения своего парня. Мне двадцать пять, мне нужен муж, на худой раз человек с которым я бы могла чувствовать себя уверенно, а не шатко как на плоту. Долгие размеренные звуки и я вновь сквозь пластик ощущаю удушающее чувство, он не отвечает, он забывает сам себя, забывает, что есть я помимо алкоголя и вечеринок. Долгое опьяняющее чувство счастья длилось ровно год, вынос адреналина, который копился столько лет, пара милых свиданий с цветочками и все – я его. Как мне казалось, я попала в сказку, ведь где видано, сам Игорь Соколовский, сын известного и влиятельного человека в Москве, так просто решил закадрить простушку вроде меня.

Все и правда было сказкой, не отрицаю, только игра не стоила свеч, не стоила пролитых слез и боли по ночам когда рядом лишь холодная подушка, а в тумбе валяются чужие трусики, он даже не заметил как его подружка оставила свое белье едва ли не у меня под носом, пытаясь пометить свою территорию. Что ж у нее получилось, я сломалась, внутри я уже готова расплакаться и собрать вещи. Только жалость удерживает меня, любовь и жалость, вещи вроде не составные счастья, но слишком влияющие на отношения, я осталась, думая, что все измениться, веря и черт возьми надеясь, только на лучшее.
Лучшее было сейчас там, в клубе или баре, где есть все, от алкоголя, заканчивая проститутками, где музыка составляет основную часть жизни, и мне оставалось лишь смириться, оставить все это и шагать дальше. Шагать за ним, хватаясь на его рукав рубашки, выдирая из себя остатки гордости и смелости – я разбита, а причиной есть его любовь.

Звонок, мерзкий голос по ту сторону двери, глупая надежда на отлично проведенный совместный вечер буквально за пару секунд превратилась в прах. Это был он, это его мерзкие руки ударяли об дверь с силой, заставляя мое сердце замереть. Я боялась, боялась, что он сойдет с ума, что он больше нечего не чувствует, что я всего лишь человек для него, глупый, влюбленный. Накинув наспех кофту, я трясущимися руками открыла дверь, оставляя цепочку на месте – так безопаснее. Он выглядел еще хуже чем я представляла себе – костяшки сбиты, руки в царапинах, синяки украшали большую половину лица, ужасающее зрелище представляла собой губа – уголки были в крови, слегка опухшая кожа. У меня не оставалось сомнений в причине драки – от него несло перегаром, как говорят «за версту».

Прости, Вик, больше не повториться. – Каждый раз приходя домой в состоянии полной эйфории он повторял эту фразу, я даже не задумывалась о том, правильно ли он ее понимает, понятие «больше» для него значит тоже, что и для меня? Я, не понимая, что делать, щелкаю замком и уже широко открываю входную дверь, мне не важно какой он, вернулся, главное, что он здесь.

Я уже успела забыть как ты выглядишь. Ты пропал утром. – Стараюсь не кричать, держу в себе, не высказываюсь о утреннем звонке на мой мобильной его любовницы, или не любовницы – усталость, вот что я чувствую сейчас. На часах чуть больше двух ночи, а я вместо постели вглядываюсь в глаза Игорь ища ответ на собственный вопрос – любит ли он меня, значу ли я хоть что-то для него?

Прости детка, были дела, - икая сваливается на меня, и я пронзительно охаю ощущая тяжесть тела. Он слишком непосильная ноша для меня и я вскрикиваю делая шаг, а потом больно падаю вместе с ним на ковер. – Черт.

Он медленно поднимается и перешагивает идет дальше едва ступая на поверхность пола, все еще слабо контролируя свои движения. Он просто перешагивает не замечая меня, прямо сейчас он доказывает мои предположения – он просто прошел мимо в наших отношениях. Сыграл лишь одну роль – сказал о любви, обеспечил материально и в том появляются сомнения – не из папиного ли кармана? Обхватываю голову руками, это не может продолжаться так долго, я не смогла бы выдержать так долго. Боже.
Слышу звук в ванной, решился все же принять душ. Мне бы тоже не мешало отпустить свое состояние полной апатии и привести себя в порядок, я же женщина. Ты тряпка, раз позволяешь такое отношение к себе – кричит мое подсознание и я понимаю, что это правда. Что мир совсем другой, он не имеет ограничений в четырех стенах он полностью развит, там есть люди, там есть жизнь. Здесь, в этом доме, жизнь давно уже превратилась в радиоактивный воздух, который заставляет умирать постепенно, убивать частичку себя, счастье исчезать, а гордость вовсе испаряться из легких.

А где полотенце?

У меня дико болит голова, все, что я ощущаю помимо пушистого комка на груди и одеяла в ногах. Я не ощущаю Игоря, даже не пытаюсь угадывать о его местонахождении. Пошел искупать вину перед матерью с помощью алкоголя, так он понимает слово «потеря» так я понимаю слово «конец», это именно он. Едва поднимаюсь с кровати – наталкиваюсь на совместное фото и записку рядом, неужели пожелание доброго утра?

Я ушел. Навсегда. Так будет лучше, устал я от тебя, от твоего вечного нытья, от вопросов, которые не стоило задавать, зная ты ответ. Ты слишком глупа. Прощай.
Игорь.

Мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ∞ переходит в точку z 1 = 0, функция w = f (z ) примет вид . Типом особой точки z = ∞ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z 1 = 0 функции w = φ (z 1). Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z , имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому
1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка z = ∞ - полюс n -го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n ·z n ;
3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ∞ - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный) .

Примеры: 1. f (z ) = -5 + 3 z 2 - z 6 . Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень - шестая, поэтому z
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ∞ - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка z
3. . Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ∞ - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке .

Для конечной особой точки a , где γ - контур, не содержащий других, кроме a , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке).

Определим аналогичным образом: , где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U (∞, r ) точки z = ∞, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Γ − . Изменим направление обхода контура Γ − : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,

,

т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком .

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов : если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С , за исключением конечного числа особых точек z 1 , z 2 , z 3 , …, z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

Отметим, что если z = ∞ - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ∞ - устранимая особая точка.

- (англ. assemblage point) одно из основополагающих понятий, использованное мыслителем эзотерической ориентации и мистиком Карлосом Кастанедой в своих книгах. Одной из самых драматических черт человеческой природы является ужасная связь между … Википедия

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L. Предел функции одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0,… … Википедия

Указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой… … Википедия

Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия

- ∞ Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Финитизм отрицает понятие Бесконечность. Бесконечность в большинстве… … Википедия

Температура (около 2,17 K), ниже которой жидкий гелий (гелий I), переходит в состояние сверхтекучести (гелий II). Если быть более точным, существуют нижняя лямбда точка (при 2.172 K и 0.0497 атм) и верхняя лямбда точка (при 1.76 K и 29.8 атм).… … Википедия

1) К. т. порядка та такая точка акомплексной плоскости, в к рой аналитич. функция f(z) регулярна, а ее производная f (z) имеет нуль порядка m, где т натуральное число. Иными словами, К. т. определяется условиями: Бесконечно удаленная К. т.… … Математическая энциклопедия

Аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z)задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это простейшая возможная особенность… … Википедия

Несобственная седловая точка, тип расположения траекторий динамич. системы. Говорят, что динамич. система ft (или, иначе, f(, р),. см. ), заданная на, имеет С. в б., если найдутся точки и числа, такие, что последовательности сходящиеся, а … Математическая энциклопедия

Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия

Книги

• , Дэвид Дойч. Цитата "... Прогресс вовсе не обязательно должен иметь конец, но у него всегда есть отправная точка - причина, по которой он начался, событие, которое способствовало этому, или необходимое…
• Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир , Дэвид Дойч. Цитата `... Прогресс вовсе не обязательно должен иметь конец, но у него всегда есть отправная точка - причина, по которой он начался, событие, которое способствовало этому, или необходимое…