Когда я не всё понимаю в прочитанном, я особо не расстраиваюсь. Если тема мне позднее не встретится, значит она не особа важна (по крайней мере, для меня). Если же тема встретится повторно, в третий раз, у меня появятся новые шансы лучше в ней разобраться. К числу таких тем относятся и фракталы. Впервые я узнал о них из книги Нассима Талеба , а затем подробнее из книги Бенуа Мандельброта . Сегодня по запросу «фрактал» на сайте можно получить 20 заметок.

Часть I. ПУТЕШЕСТВИЕ К ИСТОКАМ

НАЗВАТЬ ЗНАЧИТ УЗНАТЬ. Ещё в начале XX века Анри Пуанкаре заметил: «Удивляешься силе, которую может иметь одно слово. Вот объект, о котором ничего нельзя было сказать, пока он не был окрещён. Достаточно было дать ему имя, чтобы произошло чудо» (см. также ). Так и случилось, когда в 1975 году французский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт собрал Слово. Из латинских слов frangere (ломать) и fractus (разрывный, дискретный, дробный) сложился фрактал. Мандельброт искусно продвигал и пропагандировал фрактал как бренд с опорой на эмоциональную привлекательность и рациональную полезность. Он издает несколько монографий, в том числе, Фрактальная геометрия природы (1982).

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ И ИСКУССТВЕ. Мандельброт обозначил контуры фрактальной геометрии, отличной от Евклидовой. Отличие не относилось к аксиоме о параллельности, как в геометриях Лобачевского или Римана. Отличие заключалось в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Некоторым объектам присущи шероховатость, пористость или раздробленность, причём многие из них обладают указанными свойствами «в одинаковой степени в любом масштабе». В природе нет недостатка в подобных формах: подсолнух и брокколи, морские раковины, папоротник, снежинки, горные расселины, береговые линии, фьорды, сталагмиты и сталактиты, молнии.

Люди внимательные и наблюдательные издавна замечали, что некоторые формы демонстрируют повторяющуюся структуру при рассмотрении их «вблизи или издалека». Приближаясь к таким объектам, мы замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остаётся почти неизменной. Исходя из этого, фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, содержащую в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе.

МИФЫ И МИСТИФИКАЦИИ. Открытый Мандельбротом новый пласт форм стал золотой жилой для дизайнеров, архитекторов, инженеров. Несчётное число фракталов строится по одним и тем же принципам многократного повторения. Отсюда фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, которая содержит в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе. Эта геометрическая форма локально неизменна (инвариантна), масштабно самоподобна и целостна в своей ограниченности истинная сингулярность, сложность которой раскрывается по мере приближения, а на удалении сама тривиальность.

ДЬЯВОЛЬСКАЯ ЛЕСТНИЦА. Для передачи данных между компьютерами используются чрезвычайно сильные электрические сигналы. Такой сигнал дискретен. Помехи или шумы случайно возникают в электрических сетях вследствие многих причин и приводят к потере данных при передаче информации между компьютерами. Исключить влияние шумов на передачу данных в начале шестидесятых годов прошлого века было поручено группе инженеров IBM, в работе которой принимал участие Мандельброт.

Грубый анализ показал наличие периодов, во время которых не регистрировалось ни одной ошибки. Выделив периоды длительностью в час, инженеры заметили, что между ними периоды прохождения сигнала без ошибок также прерывисты здесь возникают более короткие паузы длительностью около двадцати минут. Таким образом, передача данных без ошибок характеризуется пакетами данных разной длины и паузами в шумах, в течение которых сигнал передаётся без ошибок. В пакетах более высокого ранга как бы встроены пакеты более низкого. Подобное описание предполагает существование такого понятия, как относительное расположение пакетов низшего ранга в пакете более высокого ранга. Опыт показал, что распределение вероятностей этих относительных расположении пакетов не зависит от их ранга. Такая инвариантность говорит о самоподобии процесса искажения данных под действием электрических шумов. Сама процедура вырезания свободных от ошибок пауз в сигнале при передаче данных не могла прийти в голову инженерам-электрикам по той причине, что для них такое было внове.

Но Мандельброт, изучавший чистую математику, хорошо знал множество Кантора, описанное ещё в 1883 году и представляющее собой пыль из точек, полученных согласно строгому алгоритму. Суть алгоритма построения «пыли Кантора» сводится к следующему. Возьмите отрезок прямой. Удалите из него серединную треть отрезка, сохранив две концевых. Теперь повторим ту же операцию с концевыми отрезками и так далее. Мандельброт обнаружил, что именно такова геометрия пакетов и пауз при передаче сигналов между компьютерами. Ошибка накапливается. Её накопление можно моделировать так. На первом шаге всем точкам из интервала присвоим значение 1/2, на втором шаге из интервала значение 1/4, значение 3/4 точкам из интервала и т.д. Пошаговое суммирование этих величин позволяет построить так называемую «дьявольскую лестницу» (рис. 1). Мерой «пыли Кантора» является иррациональное число, равное 0,618…, известное как «золотое сечение» или «Божественная пропорция».

Часть II. ФРАКТАЛЫ СУТЬ ДЕЛА

УЛЫБКА БЕЗ КОТА: ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ. Размерность – одно из фундаментальных понятий, выходящее далеко за пределы математики. Евклид в первой книге «Начал» определил основные понятия геометрии точка, линия, плоскость. Основанное на этих определениях понятие трёхмерного евклидова пространства оставалось неизменным почти две с половиной тысячи лет. Многочисленные заигрывания с пространствами четырёх, пяти и более измерений ничего по существу не прибавляют, но сталкиваются с тем, что представить их человеческое воображение не может. С открытием фрактальной геометрии в представлениях о размерности произошёл радикальный переворот. Размерностей появилось великое множество и среди них не только целые, но и дробные, и даже иррациональные. И эти размерности доступны для наглядного и чувственного представления. В самом деле, мы легко представляем сыр с дырками модель среды, размерность которой больше двух, но не дотягивает до трёх из-за сырных дырок, понижающей размерность сырной массы.

Чтобы понять дробную или фрактальную размерность, обратимся к парадоксу Ричардсона, который утверждал, что длина изрезанной береговой линии Британии бесконечна! Луис Фрай Ричардсон задался вопросом о влиянии масштаба измерения на величину измеряемой длины береговой линии Британии. При переходе от масштаба контурных карт к масштабу «береговых камешков» он приходил к странному и неожиданному выводу: длина береговой линии неограниченно возрастает, причём это возрастание не имеет предела. Гладкие изогнутые линии так себя не ведут. Эмпирические данные Ричардсона, полученные на картах всё более крупных масштабов, свидетельствовали о степенном росте длины береговой линии при уменьшении шага измерения:

В этой простой формуле Ричардсона L есть измеренная длина побережья, ε – величина шага измерения, а β ≈ 3/2 – найденная им степень роста длины побережья с уменьшением шага измерения. В отличие от длины окружности, длина береговой линии Великобритании возрастает, не имея 55 предела. Она бесконечна! Приходиться смириться с тем, что кривые изломанные, негладкие не имеют предельной длины.

Однако исследования Ричардсона наводили на мысль, что они имеют некоторую характерную меру степень роста длины с уменьшением масштаба измерения. Оказалось, что именно эта величина мистическим образом идентифицирует ломаную линию как отпечаток пальцев личность человека. Мандельброт интерпретировал береговую линию как фрактальный объект – объект, размерность которого совпадает с показателем степени β.

Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии – 1,52; для Великобритании – 1,25; для Германии – 1,15; для Австралии – 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки – 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности – 1,0.

Взглянув на фрагмент фрактала, вы не сможете сказать, какова его размерность. И причина не в геометрической сложности фрагмента фрагмент может быть очень простым, но в том, что фрактальная размерность отражает не только форму фрагмента, но и формат трансформации фрагмента в процессе построения фрактала. Фрактальная размерность как бы отстранена от формы. И благодаря этому величина фрактальной размерности остаётся инвариантной она одинакова для любого фрагмента фрактала при любом масштабе обзора. Её нельзя «ухватить пальцами», но можно рассчитать.

ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОВТОР. Повтор можно моделировать с помощью нелинейных уравнений. Линейные уравнения характеризуются однозначным соответствием переменных: каждому значению х соответствует одно и только одно значение у и наоборот. Например, уравнение х + у = 1 линейно. Поведение линейных функций полностью детерминировано, однозначно определено начальными условиями. Поведение нелинейных функций не столь однозначно, ведь два разных начальных условия могут привести к одному результату. На этом основании итерация повторение операции проявляется в двух различных форматах. Она может иметь характер линейной референции, когда на каждом шаге вычислений идёт возврат к начальному условию. Это своего рода «итерация по шаблону». Серийное производство на конвейере есть «итерация по шаблону». Итерация в формате линейной референции не зависит от промежуточных состояний эволюции системы. Здесь каждая новая итерация стартует «от печки». Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии, т. е. результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего.

Рекурсию можно проиллюстрировать рядом Фибоначчи, представленным в форме последовательности Жирара:

u n +2 = u n +1 + u n

Результат – числа Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

В этом примере совершенно очевидно, что функция применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду Фибоначчи, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Покажем, как фрактальный повтор реализуется в алгоритмах построения «салфетки Серпинского» (методом вырезания и методом CIF).

Метод вырезания. Берём равносторонний треугольник со стороной r . На первом шаге вырезаем в центре него перевёрнутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r 1 = r 0 /2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r 1 = r 0 /2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника (рис. 2).

На втором шаге в каждом из трёх образовавшихся треугольников вырезаем перевёрнутые вписанные треугольники с длиной стороны r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Результат – 9 треугольников с длиной стороны r 2 = r 0 /4. В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится всё более и более определённой. Фиксация происходит на каждом шаге. Все предыдущие фиксации как бы «стираются».

Метод SIF, или Метод систем итерированных функций Барнсли. Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2, √3/2). Z 0 – произвольная точка внутри этого треугольника (рис. 3). Берем игральную кость, на гранях которой имеется по две буквы А, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А строим отрезок z 0 –A, на середине которого ставим точку z 1
• Если выпала буква В строим отрезок z 0 –B, на середине которого ставим точку z 1
• Если выпала буква С строим отрезок z 0 –C, на середине которого ставим точку z 1

Шаг 2. Бросаем кость ещё раз.

• Если выпала буква А строим отрезок z 1 –A, на середине которого ставим точку z 2
• Если выпала буква В строим отрезок z 1 –B, на середине которого ставим точку z 2
• Если выпала буква С строим отрезок z 1 –C, на середине которого ставим точку z 2

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z 3 , z 4 , …, z n . Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить начальные точки, например, от z 0 до z 100 , то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это при том, что процесс идет, казалось бы, случайным путём (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс. Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадёт с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского».

ПЕТЛЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Основоположник кибернетики Норберт Винер для описания петли обратной связи в качестве примера привёл рулевого на лодке. Рулевой должен придерживаться заданного курса и постоянно проводит оценку того, насколько лодка его придерживается. Если рулевой видит, что лодка отклоняется, он поворотом руля возвращает её на заданный курс. Через некоторое время он снова производит оценку и опять корректирует направление движения при помощи руля. Таким образом, навигация осуществляется при помощи итераций, повтора и последовательного приближения движения лодки к заданному курсу.

Типовая схема петли обратной связи показана на рис. 4 Она сводится к изменению переменного параметрах (направление лодки) и контролируемого параметра С (курс лодки).

Рассмотрим отображение «сдвиг Бернулли». Пусть в качестве начального состояния выбрано некоторое число, принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:

х 0 = 0,01011010001010011001010…

Теперь один шаг эволюции во времени состоит в том, что последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается:

х 1 = 0,1011010001010011001010…

х 2 = 0,011010001010011001010 …

х 3 = 0,11010001010011001010 …

Заметим, что если исходные числа х 0 рациональные, то в процессе итерации значения х n выходят на периодическую орбиту. Например, для начального числа 11/24 в процессе итерации получим ряд значений:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Если исходные значения x 0 иррациональны, отображение никогда не выйдет на периодический режим. В интервале исходных значений x 0 ∈ содержится бесконечно много точек рациональных и бесконечно много точек иррациональных. Таким образом, плотность периодических орбит равна плотности орбит, которые никогда не выходят на периодический режим. В любой окрестности рационального значения x 0 найдётся иррациональное значение исходного параметра х’ 0 При таком положении дел неизбежно возникает тонкая чувствительность к начальным условиям. Это является характерным признаком того, что система находиться в состоянии динамического хаоса.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕТЛИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Реверс является необходимым условием и следствием всякого бокового взгляда, самого себя застигающего врасплох. Иконой реверсивной петли может служить лента Мёбиуса, при которой нижняя её сторона с каждым кругом переходит в верхнюю, внутреннее становится внешним и наоборот. Накопление различий в процессе реверса сначала уводит образ от исходного, а затем к нему возвращает. В логике реверсивную петлю иллюстрирует парадокс Эпименида: «все критяне – лжецы». Но ведь и сам Эпименид критянин.

СТРАННАЯ ПЕТЛЯ. Динамическая суть феномена странной петли сводится к тому, что образ, трансформируясь и все больше отличаясь от исходного, в процессе многочисленных деформаций возвращается к исходному образу, но никогда не повторяет его в точности. Описывая этот феномен, Хофштадтер в книге вводит термин «странная петля». Он приходит к выводу, что и Эшер, и Бах, и Гёдель обнаружили или, точнее, использовали странные петли в своих работах и творчестве в изобразительном искусстве, музыке и математике соответственно. Эшер в «Метаморфозах» открыл для себя странную связность различных планов реальности. Формы одной из художественных перспектив пластично преобразуются в формы другой художественной перспективы (рис. 5).

Рис. 5. Мауриц Эшер. Рисующие руки. 1948

Подобная странность причудливым образом проявилась в музыке. Один из канонов «Музыкального приношения» Баха (Canon per Tonos - Тональный канон) сконструирован таким образом, что его кажущийся финал неожиданно плавно переходит в начало, но со сдвигом тональности. Эти последовательные модуляции уводят слушателя всё выше и выше от начальной тональности. Однако, чудесным образом, после шести модуляций мы почти возвращаемся. Все голоса теперь звучат ровно на октаву выше, чем в начале. Странность в том только, что поднимаясь по уровням некой иерархии, мы неожиданно обнаруживаем себя почти на том же месте, откуда начали свой путь – возвращение без повтора .

Курт Гёдель открыл странные петли в одной из самых древних и освоенных областей математики – в теории чисел. Теорема Гёделя впервые увидела свет как Теорема VI в его статье 1931 года «О формально неразрешимых суждениях» в «Principle Mathematica». Теорема утверждает следующее: все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения. Суждения теории чисел не говорят ничего про суждения теории чисел; они не более как суждения теории чисел. Здесь есть петля, но нет странности. Странная петля спрятана в доказательстве.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР. Аттрактор (от англ. attract притягивать) точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы. Аттрактор устойчив, то есть в долгосрочной перспективе единственная возможная модель поведения аттрактор, всё другое временно. Аттрактор пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс, не являясь ни его причиной, ни следствием. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы. Аттракторы могут представлять собой точку, круг, тор и фрактал. В последнем случае аттрактор называется «странным» (рис. 6).

Точечный аттрактор описывает любое устойчивое состояние системы. В фазовом пространстве он представляет собой точку, вокруг которой формируются локальные траектории «узла», «фокуса» или «седла». Так ведёт себя маятник: при любой начальной скорости и любом начальном положении по истечении достаточного времени под действием трения маятник останавливается приходит в состояние устойчивого равновесия. Круговой (циклический) аттрактор – это движение взад-вперёд, подобно идеальному маятнику (без трения), по кругу.

Странные аттракторы (strange attractors) кажутся странными только со стороны, но термин «странный аттрактор» распространился сразу после появления в 1971 году статьи Давида Рюэля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности» (см. также ). Рюэль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо аттрактор подходящим набором характеристик: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и непериодичностью. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь бесконечно протяжённая траектория, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы никогда не повторять и не пересекать саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади другими словами, быть самозаглатывающей (рис. 7).

К 1971 году в научной литературе уже имелся один набросок такого аттрактора. Эдуард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 году. Этот аттрактор был устойчивым, непериодическим, имел малое число степеней свободы и никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось, и он возвратился в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя тороидальный аттрактор, но такого не происходило.

Странность аттрактора заключается, как считал Рюэль, в трёх неэквивалентных, но на практике существующих вместе признаках:

• фракталъности (вложенность, подобие, согласованность);
• детерминированности (зависимость от начальных условий);
• сингулярности (конечное число определяющих параметров).

Часть III. МНИМАЯ ЛЁГКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ ФОРМ

МНИМЫЕ ЧИСЛА, ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ. Фрактальная геометрия покоится на теории мнимых чисел, динамических фазовых портретах и теории вероятностей. Теория мнимых чисел допускает, что существует квадратный корень из минус единицы. Джероламо Кардано в своём труде «Великое искусство» («Ars Magna», 1545) представил общее решение кубического уравнения z 3 + pz + q = 0. Кардано использует мнимые числа как средство технического формализма для выражения корней уравнения. Он замечает странность, которую иллюстрирует простым уравнением х 3 = 15х + 4. Это уравнение имеет одно очевидное решение: х = 4. Однако обобщающая формула даёт странный результат. Он содержит корень из отрицательного числа:

Рафаэль Бомбелли в своей книге по алгебре («L’Algebra», 1560) указал на то, что = 2 ± i, и это сразу позволило ему получить вещественный корень х = 4. В подобных случаях, когда комплексные числа сопряжены, получается вещественный корень, а комплексные числа служат техническим подспорьем в процессе получения решения кубического уравнения.

Ньютон считал, что решения, содержащие корень из минус единицы, следует считать «не имеющими физического смысла» и отбрасывать. В XVII–XVIII веках формировалось понимание того, что нечто воображаемое, духовное, мнимое не менее реально, чем всё действительное, вместе взятое. Мы даже можем назвать точную дату 10 ноября 1619 года, когда Декарт сформулировал манифест нового мышления «cogito ergo sum». С этого момента мысль есть абсолютная и несомненная реальность: «если я мыслю, то, значит, я существую»! Точнее мысль теперь воспринимается как реальность. Идея Декарта об ортогональной системе координат, благодаря мнимым числам, обретает свою завершённость. Теперь появилась возможность наполнять эти воображаемые числа смыслами.

В XIX веке трудами Эйлера, Аргана, Коши, Гамильтона разрабатывается арифметический аппарат работы с комплексными числами. Любое комплексное число может быть представлено как сумма X+iY, где X и Y – привычные нам вещественные числа, а i мнимая единица (по сути это √–1). Каждому комплексному числу соответствует точка с координатами {X, Y} на так называемой комплексной плоскости.

Второе важное понятие – фазовый портрет динамической системы сформировалось в XX веке. После того, как Эйнштейн показал, что по отношению к свету всё движется с одинаковой скоростью, идея о возможности выразить динамическое поведение системы в формате застывших геометрических линий так называемом фазовом портрете динамической системы обрела ясный физический смысл.

Проиллюстрируем её на примере маятника. Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в Парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан. Длина каната маятника Фуко 67 м, вес гири 28 кг. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sinϕ ≈ ϕ), маятник (колебания взад-вперёд), пропеллер (вращение).

Там, где локальный наблюдатель видит одну из трёх возможных конфигураций движения шара, отстранённый от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трёх типовых движений. Это можноизобразить на одном плане. Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали ϕ. В координатах ϕ и v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла ϕ эти окружности становятся овальными, а при ϕ = ± π теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешёл в режим пропеллера: v = const (рис. 8).

Рис. 8. Маятник: а) траектория в фазовом пространстве идеального маятника; б) траектория в фазовом пространстве маятника, качающегося с затуханием; в) фазовый портрет

В фазовом пространстве может не быть длин, длительностей, движений. Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остаётся только топология, вместо мер параметры, вместо размеров размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты характерны для систем с фрактальной конфигурацией аттракторов. Дискретность центров притяжения (аттракторов) создаёт эффект кванта действия, эффект разрыва или скачка при том, что траектории сохраняют непрерывность и производят единую связанную форму странный аттрактор.

КЛАССИФИКАЦИЯ ФРАКТАЛОВ. Фрактал имеет три ипостаси: формальную, операциональную и символическую, которые ортогональны друг другу. И это значит, что одна и та же форма фрактала может быть получена посредством разных алгоритмов, а одно и то же число фрактальная размерность может появиться у совершенно разных по форме фракталов. С учетом этих замечаний классифицируем фракталы по символическому, формальному и операциональному признакам:

• в символическом плане характерная для фрактала размерность может быть целой или дробной;
• по формальному признаку фракталы могут быть связные, как лист или облако, и несвязные, как пыль;
• по операциональному признаку фракталы могут быть разделены на регулярные и стохастические.

Регулярные фракталы строятся по строго определённому алгоритму. Процесс построения при этом обратим. Вы можете повторить все операции в обратном порядке, стирая любой созданный в процессе детерминированного алгоритма образ, точка за точкой. Детерминированный алгоритм может быть линейным или нелинейным.

Стохастические фракталы, подобные в стохастическом смысле, возникают, когда в алгоритме их построения, в процессе итераций какие-либо параметры изменяются случайным образом. Термин «стохастичность» восходит к греческому слову stochasis – догадка, предположение. Стохастический процесс – процесс, характер изменения которого точно предсказать невозможно. Фракталы производятся по капризу природы (поверхности разлома горных пород, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи, изменения биржевых цен и уровня рек и прочие), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого в среднем. Компьютер позволяет генерировать последовательности псевдослучайных чисел и сразу моделировать стохастические алгоритмы и формы.

ЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Линейные фракталы названы так по той причине, что все они строятся по определённому линейному алгоритму. Эти фракталы самоподобны, не искажаются при любом изменении масштаба и не дифференцируемы в любой своей точке. Для построения таких фракталов достаточно задать основу и фрагмент. Эти элементы будут многократно повторяться с уменьшением масштаба до бесконечности.

Пыль Кантора. В XIX веке немецкий математик Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845–1918) предложил математическому сообществу странное множество чисел в интервале от 0 до 1. Множество содержало бесконечное число элементов в указанном промежутке и притом имело нулевую размерность. Пущенная наугад стрела вряд ли поразила бы хоть один элемент этого множества.

Для начала необходимо выбрать отрезок единичной длины (первый шаг: n = 0), затем разделим его на три части и изымем среднюю треть (n = 1). Далее будем поступать точно так же с каждым из образовавшихся отрезков. В результате бесконечного количества повторений операции получаем искомое множество «пыль Кантора». Теперь между разрывным и бесконечно делимым не существует противопоставления «пыль Кантора» представляет собой и то, и другое (см. рис. 1). «Пыль Кантора» – фрактал. Его фрактальная размерность равна 0,6304…

Один из двухмерных аналогов одномерого множества Кантора был описан польским математиком Вацлавом Серпинским. Его называют «канторов ковёр» или чаще «ковёр Серпинского». Он строго самоподобен. Мы можем рассчитать его фрактальную размерность как ln8/lnЗ = 1,89… (рис. 9).

ЛИНИИ, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим целое семейство регулярных фракталов, которые представляют собой кривые, способные заполнить плоскость. Ещё Лейбниц утверждал: «Если предположить, что некто ставит на бумаге множество точек по воле случая, <… > я говорю, что можно выявить постоянную и целостную, подчиняющуюся определённому правилу геометрическую линию, которая пройдёт через все точки». Это утверждение Лейбница противоречило Евклидову пониманию размерности, как наименьшего количества параметров, при помощи которых однозначно определяется положение точки в пространстве. За неимением строгого доказательства эти идеи Лейбница оставались на периферии математической мысли.

Кривая Пеано. Но вот в 1890 году математик из Италии Джузеппе Пеано сконструировал линию, которая полностью покрывает плоскую поверхность, проходя через все её точки. Построение «кривой Пеано» показано на рис. 10.

При том, что топологическая размерность кривой Пеано равна единице, её фрактальная размерность равна d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. В рамках фрактальной геометрии парадокс разрешился самым естественным образом. Линией, как паутиной, можно покрыть плоскость. При этом устанавливается однозначное соответствие: каждой точке линии соответствует точка на плоскости. Но это соответствие не взаимно-однозначное, ведь каждой точке на плоскости соответствует одна или более точек на линии.

Кривая Гильберта. Годом позже, в 1891 году появилась статья немецкого математика Дэвида Гильберта (1862–1943), в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Построение «кривой Гильберта» показано на рис. 11.

Кривая Гильберта стала первым примером FASS-кривых (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar заполняющих пространство само избегающих, простых и самоподобных линий). Фрактальная размерность линии Гилберта, как и кривой Пеано, равна двум.

Лента Минковского. Герман Минковский, близкий друг Гильберта со студенческих времён, построил кривую, которая не покрывает всю плоскость, но формирует нечто наподобие ленты. При построении «ленты Минковского» на каждом шаге каждый отрезок заменяется на ломаную линию, состоящую из 8 отрезков. На следующем этапе с каждым новым отрезком операция повторяется в масштабе 1:4. Фрактальная размерность ленты Минковского d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Простейшим нелинейным отображением комплексной плоскости на себя является рассмотренное в первой части отображение Жюлиа z g z 2 + С. Оно представляет собой расчёт по замкнутому циклу, в котором результат предыдущего цикла умножается сам на себя с приплюсовыванием к нему некоей константы, т. е. представляет собой квадратичную петлю обратной связи (рис. 13).

В процессе итераций при фиксированной величине константы С, в зависимости от произвольной начальной точки Z 0 , точка Z n при n -> ∞ может быть или конечной, или бесконечной. Всё зависит от положения Z 0 относительно начала отсчёта z = 0. Если расчётная величина конечна, то она включается в множество Жюлиа; если уходит на бесконечность, то отсекается от множества Жюлиа.

Форма, которая получается после применения отображения Жюлиа к точкам некоторой поверхности, однозначно определяется параметром С. При малых С – это несложные связные петли, при больших С – это кластеры несвязных, но строго упорядоченных точек. По большому счёту, все формы Жюлиа могут быть разбиты на два больших семейства – связных и несвязных отображений. Первые напоминают «снежинку Коха», вторые «пыль Кантора».

Разнообразие форм Жюлиа обескуражило математиков, когда они впервые смогли наблюдать эти формы на мониторах компьютеров. Попытки ранжировать это многообразие носили весьма условный характер и свелись к тому, что за основу классификации отображений Жюлиа было взято множество Мандельброта, границы которого, как оказалось, асимптотически подобны отображениям Жюлиа.

При С = 0 повторение отображения Жюлиа даёт последовательность чисел z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 … В итоге возможны три варианта:

• при |z 0 | < 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• при |z 0 | > 1 в ходе итераций числа z n по модулю увеличиваются, стремясь к бесконечности. В этом случае аттрактором является бесконечно удалённая точка, и такие значения мы исключаем из множества Жюлиа;
• при |z 0 | = 1 все точки последовательности продолжают оставаться на этой единичной окружности. В этом случае аттрактором является окружность.

Таким образом, при С = 0 граница между притягивающими и отталкивающими исходными точками есть круг. В этом случае отображение имеет две неподвижные точки: z = 0 и z = 1. Первая из них является притягивающей, так как производная квадратичной функции в нуле есть 0, а вторая отталкивающей, так как производная квадратичной функции при значении параметра единица равна двум.

Рассмотрим ситуацию, когда постоянная С является действительным числом, т.е. мы как бы перемещаемся по оси множества Мандельброта (рис. 14). При С = –0,75 происходит самопересечение границы множества Жюлиа и появляется второй аттрактор. Фрактал в этой точке носит имя фрактала Сан-Марко, данное ему Мандельбротом в честь известного венецианского собора. Глядя на рисунок, нетрудно понять, почему Мандельброту пришла идея назвать фрактал именно в честь этого строения: сходство потрясающее.

Рис. 14. Изменение формы множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С от 0 до –1

Уменьшая далее С до –1,25, мы получим новую типовую форму с четырьмя неподвижными точками, которые сохраняются до значений С < 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Рис. 15. Появление новых форм множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С < –1

Итак, даже оставаясь на оси фрактала Мандельброта (постоянная С действительное число), мы «захватили» в поле внимания и некоторым образом ранжировали довольно большое разнообразие форм Жюлиа от окружности до пыли. Теперь рассмотрим знаковые области фрактала Мандельброта и соответствующие им формы фракталов Жюлиа. Прежде всего, опишем фрактал Мандельброта в терминах «кардиоид», «почек» и «луковок» (рис. 16).

Главная кардиоида и примыкающий к ней круг формируют основную форму фрактала Мандельброта. К ним примыкает бесконечное число её же копий, которые принято называть почками. Каждая из этих почек облеплена бесконечно большим количеством меньших почек, похожих одна на другую. Две самые большие почки сверху и снизу от основной кардиоиды назвали луковками.

Исследовавшие типовой фрактал этого множества (С = –0,12 + 0,74i) француз Адриен Дауди и американец Билл Хаббард назвали его «фракталом кролика» (рис. 17).

При переходе границы фрактала Мандельброта фракталы Жюлиа всегда теряют связность и превращаются в пыль, которую принято называть «пылью Фату» в честь Пьера Фату, доказавшего, что для определённых значений С бесконечно удалённая точка притягивает всю комплексную плоскость, кроме очень тонкого множества, подобного пыли (рис. 18).

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ. Есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последняя, не являясь строго самоподобной, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете её дифференцировать. Такие кривые своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий. Первым, кто построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке, был Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс. Его работа была представлена Королевской Прусской Академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам (рис. 19).

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причём при увеличений масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии.

Броуновское движение – один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории.

Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Gif-анимация:

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Если меньшая сторона четная:

Если обе стороны нечетные - получаем симметрический узор:

В зависимости от того, как начинается луч:

или

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до «начала» фрактала.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поехали:

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):

Просто красивый фрактал (4078x2518 px):

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus -дроблёный,сломанный,разбитый) - геометрическая фигура,обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Фрактазм - самостоятельная точная наука изучения и составления фракталов.

Другими словами фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Говоря простым языком, фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах - это и есть принцип самоподобия. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода.

Слово «хаос» наводит на мысли о чем-то непредсказуемом, но на самом деле хаос достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Цель изучения хаоса и фракталов - предсказать закономерности, которые, на первый взгляд, могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Пионером в этой области познания был франко-американский математик, профессор Бенуа Б. Мандельброт. В середине 1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных, морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) - первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1,25.

Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть.

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Является самоподобной или приближённо самоподобной.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует технологию фрактальной графики.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

На рисунке слева в качестве простого примера приведен фрактал «пятиугольник Дарера», который выглядит, как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72°)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов, имеющих вид фракталов. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах. Учение о динамических системах показывает: простые уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и при этом не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра, потом испытывают переход, в котором существует две возможности дальнейшего развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.

Схемы процессов, протекающих в технических объектах, имеют четко выраженное фрактальное строение. Структура минимальной технической системы (ТС) подразумевает протекание в пределах ТС двух типов процессов – главного и обеспечивающих, причем это деление условно и относительно. Любой процесс может быть главным по отношению к обеспечивающим, а любой из обеспечивающих процессов может считаться главным по отношению к «своим» обеспечивающим процессам. Кружками на схеме обозначены физэффекты, обеспечивающие протекание тех процессов, для обеспечения которых не требуется специально создавать «свои» ТС. Эти процессы являются результатом взаимодействия между веществами, полями, веществами и полями. Если быть точным, то физэффект – это ТС, на принцип работы которой мы не можем повлиять, а в ее устройство не желаем или не имеем возможности вмешиваться.

Протекание главного процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех процессов явно недостаточно, т.е. схема очень и очень утрирована.

Всё далеко не так просто, как показано на схеме. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п. В результате параллельно полезному процессу возникают вредные. Не всегда есть возможность заменить «плохой» процесс «хорошим», поэтому приходится организовывать новые процессы, направленные на компенсацию вредных для системы последствий. Характерный пример – необходимость борьбы с трением, вынуждающая организовывать хитроумные схемы смазки, применять дорогостоящие антифрикционные материалы или затрачивать время на смазку узлов и деталей или ее периодическую замену.

В связи с существованием неизбежного влияния переменчивой Среды полезный процесс может нуждаться в управлении. Управление может осуществляться как при помощи автоматических устройств, так и непосредственно человеком. Схема процессов фактически является набором специальных команд, т.е. алгоритмом. Сущность (описание) каждой команды составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар функций (процессов).

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.

треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости.

губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.

кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.

траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона,

кривая Коха (снежинка Коха),

кривая Леви,

кривая Минковского,

Кривая Гильберта,

Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

кривая Пеано.

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения - отображения подобия, а - число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , - гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения - преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F (z ) - многочлен, z 0 - комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z 0 , z 1 =F (z 0), z 2 =F (F (z 0)) = F (z 1),z 3 =F (F (F (z 0)))=F (z 2), …

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

стремиться к бесконечности,

стремиться к конечному пределу,

демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z 0 , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа - множество точек бифуркации для многочлена F (z )=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z 0 , для которых поведение последовательности {z n } может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z 0 .

Другой вариант получения фрактальных множеств - введение параметра в многочлен F (z ) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z n } демонстрирует определённое поведение при фиксированном z 0 . Так, множество Мандельброта - это множество всех , при которых {z n } для F (z )=z 2 +c и z 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода - бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z n } к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n , при котором |z n | превысит фиксированную большую величину A .

Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделяхстатистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

В природе

Вид спереди на трахею и бронхи

Бронхиальное дерево

Сеть кровеносных сосудов

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [ источник не указан 895 дней ] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Впервые о фрактальной природе нашего мира заговорил Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе "Фрактальная геометрия природы" .
Термин фрактал введен Бенуа Мандельбротом в 1977 году в его фундаментальной работе "Фракталы, Форма, Хаос и Размерность" . Согласно Мандельброту, слово фрактал происходит от латинских слов fractus - дробный и frangere - ломать, что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества.

Классификация фракталов.

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов.

1. Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим на примере один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха.

Построение триадной кривой Коха.

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой . Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3.

Мы получим ломаную, состоящую из 4 звеньев с общей длиной 4/3 , - так называем первое поколение .

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно длина второго поколения будет 16/9, третьего - 64/27. если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим теперь св-ва триадной кривой Коха и выясним, почему же фракталы называли «монстрами».

Во-первых, эта кривая не имеет длины - как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную - каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая не гладкая.

Длина и гладкость - фундаментальные св-ва кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского, Римана. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем - «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Кривая, при n стремящемуся к бесконечности, называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z = Z[i] * Z[i] + C , где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

3.Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

О применении фракталов

Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.
Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.
В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.
При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

О построении фракталов

Метод последовательных приближений

Глядя на эту картинку, нетрудно понять, как можно построить самоподобный фрактал (в данном случае пирамиду Серпинского). Нужно взять обычную пирамиду (тетраэдр), затем вырезать ее середину (октаэдр), в результате чего у нас получается четыре маленьких пирамидки. С каждой из них мы проделываем ту же самую операцию и т.д. Это несколько наивное, но наглядное объяснение.

Рассмотрим суть метода более строго. Пусть имеется некоторая IFS-система, т.е. система сжимающих отображений S ={S 1 ,...,S m } S i:R n ->R n (например, для нашей пирамидки отображения имеют вид S i (x)=1/2*x+o i , где o i - вершины тетраэдра, i=1,..,4). Затем выбираем некоторое компактное множество A 1 в R n (в нашем случае выбираем тетраэдр). И определяем по индукции последовательность множеств A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Известно, что множества A k с ростом k, всё лучше приближают искомый аттрактор системы S .

Заметим, что каждая из этих итераций является аттрактором рекуррентной системы итерированных функций (английский термин Digraph IFS , RIFS и также Graph-directed IFS ) и поэтому их легко построить с помощью нашей программы.

Построение по точкам или вероятностный метод

Это наиболее лёгкий для реализации на компьютере метод. Для простоты рассмотрим случай плоского самоаффинного множества. Итак, пусть {S

} - некоторая система аффинных сжатий. Отображения S

представимые в виде: S

Фиксированная матрица размера 2x2 и o

Двумерный вектор столбец.

• Возьмем неподвижную точку первого отображения S 1 в качестве начальной точки:
  x:= o1;
  Здесь мы пользуемся тем, что все неподвижные точки сжатий S 1 ,..,S m принадлежат фракталу. В качестве начальной точки можно выбрать произвольную точку и порожденная ею последовательность точек стянется к фракталу, но тогда на экране появятся несколько лишних точек.
• Отметим текущую точку x=(x 1 ,x 2) на экране:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Выберем случайным образом число j от 1 до m и пересчитаем координаты точки x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Переходим на шаг 2, либо, если сделали достаточно большое число итераций, то останавливаемся.

Примечание. Если коэффициенты сжатия отображений S i разные, то фрактал будет заполняться точками неравномерно. В случае, если отображения S i являются подобиями, этого можно избежать небольшим усложнением алгоритма. Для этого на 3-ем шаге алгоритма число j от 1 до m надо выбирать с вероятностями p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , где r i обозначают коэффициенты сжатия отображений S i , а число s (называемое размерностью подобия) находится из уравнения r 1 s +...+r m s =1. Решение этого уравнения можно найти, например, методом Ньютона.

О фракталах и их алгоритмах

Фрактал происходит от латинского прилагательного "fractus", и в переводе означает состоящий из фрагментов, а соответствующий латинский глагол "frangere" означает разбивать, то есть создавать неправильные фрагменты. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Термин был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» - «Фрактальная геометрия природы». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Коррективы

Позволю себе внести некоторые коррективы в алгоритмы предложенные в книге Х.-О. Пайтгена и П.Х.Рихтера "Красота фракталов" М. 1993 сугубо для искоренения опечаток иоблегчения понимания процессов поскольку после их изучения многое осталось для меня загадкой. К сожалению эти "понятные" и "простые" алгоритмы ведут качующий образ жизни.

В основе построения фракталов лежит некая нелинейная функция комплексного процесса с обратной связью z=> z 2 +c поскольку z и с -комплексные числа, то z=x+iy, c=p+iq необходимо разложить его на х и у чтобы перейти в более реальную для простого человека плоскость:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Плоскость, состоящая из всех пар (x,y), может рассматриваться, как при фиксированных значениях р и q , так и при динамических. В первом случае перебирая по закону все точки (х,у) плоскости и окрашивая их в зависимости от количества повторений функции необходимых для выхода из итерационного процесса или не окрашивая (черный цвет) при привышении допустимого максимума повторений мы получим отображение множества Жюлиа. Если, напротив, определить начальнуюя пару значений (x,y) и проследить ее колористическую судьбу при динамически изменяющихся значениях параметров p и q, то получаим изображения, называемые множествами Мандельброта.

К вопросу об алгоритмах раскраски фракталов.

Обычно тело множества представляют в виде черного поля, хотя очевидно, что черный цвет может быть заменен на любой другой, но это тоже мало интересный результат. Получить изображение множества раскрашенного во все цвета - задача которая не может решаться при помощи циклических операций т.к. количество итерации формирующих тело множества равно максимально возможному и всегда одно и тоже. Раскрасить множество в разные цвета возможно применив в качестве номера цвета результат проверки условия выхода из цикла (z_magnitude) или подобный ему, но с другими математическими действиями.

Применение "фрактального микроскопа"

для демонстрации пограничных явлений.

Аттракторы - центры ведущие борьбу за доминирование на плоскости. Между аттракторами возникает граница представляющая витееватый узор. Увеличивая масштаб рассмотрения в пределах границ множества можно получать нетривиальные узоры отражаюшие состояние детерминированного хаоса - обычного явления в мире природы.

Исследуемые географами объекты образуют систему с весьма сложно организованными границами, в связи с чем их проведение становится не простой практической задачей. Природные комплексы имеют ядра типичности выступающие в качестве аттракторов теряющих силу влияния на территорию по мере ее удаления.

Используя фрактальный микроскоп для множеств Мандельброта и Жюлиа можно сформировать представление о пограничных процессах и явлениях, одинаково сложных не зависимо от масштаба рассмотрения и таким образом подготовить восприятие специалиста к встрече с динамичным и на первый взгляд хаотичным в пространстве и времени природным объектом, к пониманию фрактальной геометрии природы. Многоцветие красок и фрактальная музыка определенно оставят глубокий след в сознании учащихся.

Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы интернет, однако для многих специалистов далеких от информатики данный термин представляется абсолютно новым. Фракталы, как объекты представляющие интерес для специалистов различных отраслей знания, должны получить надлежащее место в курсе информатики.

Примеры

РЕШЕТКА СЕРПИНСКОГО

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Чтобы получить ковер Серпинского , возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.

КРИВАЯ КОХА

Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТА

Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5.

ПЯТИУГОЛЬНИК ДАРЕРА

Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому. Вариант этого фрактала можно получить при использовании в качестве инициатора шестиугольника. Этот фрактал называется Звезда Давида и он довольно похож на шестиугольную версию Снежинки Коха. Фрактальная размерность пятиугольника Дарера ln6/ln(1+g), где g - отношение длины большей стороны треугольника к длине меньшей. В данном случае, g - это Золотая Пропорция, так что фрактальная размерность приблизительно равна 1.86171596. Фрактальное измерение Звезды Давида ln6/ln3 или 1.630929754.

Сложные фракталы

Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала а затем проделаете то же самое с маленькой областью этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными.

Рис 1. Приближение множества Мандельброта

Сравните, например приведенные здесь картинки множества Мандельброта, одна из которых получена при увеличении некоторой области другой. Как видно, они абсолютно не являются идентичными, хотя на обоих мы видим черный круг, от которого в разные стороны идут пылающие щупальца. Эти элементы повторяются бесконечно долго во множестве Мандельброта в уменьшающейся пропорции.

Детерминистские фракталы являются линейными, тогда как сложные фракталы таковыми не являются. Будучи нелинейными, эти фракталы генерируются тем, что Мандельброт назвал нелинейными алгебраическими уравнениями. Хороший пример - это процесс Zn+1=ZnІ + C, что является уравнением, используемым для построения множества Мандельброта и Жулии второй степени. Решение этих математических уравнений вовлекает комплексные и мнимые числа. Когда уравнение интерпретируется графически на комплексной плоскости, результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной.

Как можно увидеть, смотря на картинки, сложные фракталы действительно очень сложны и их невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. В отличии от детерминистских фракталов, сложные фракталы не вычисляются за 5-10 итераций. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал. Во время математической обработки, каждая точка рассматривается как отдельный рисунок. Каждой точке соответствует определенное значение. Уравнение встраивается, применительно к каждой точке и производится, к примеру 1000 итераций. Для получения сравнительно неискаженного изображения за приемлемый для домашних компьютеров промежуток времени, для одной точки возможно проводить 250 итерации.

Большинство фракталов, которые мы видим сегодня, красиво раскрашены. Возможно фрактальные изображения получили такое большое эстетическое значение именно благодаря своим цветовым схемам. После того, как уравнение посчитано, компьютер анализирует результаты. Если результаты остаются стабильными, или колеблются вокруг определенного значения, точка обычно принимает черный цвет. Если значение на том или ином шаге стремится к бесконечности, точку закрашивают в другой цвет, может быть в синий или красный. Во время этого процесса, компьютер назначает цвета для всех скоростей движения.

Обычно, быстро движущиеся точки закрашивают в красный цвет, тогда как более медленные в желтый и так далее. Темные точки, вероятно, самые стабильные.

Сложные фракталы отличаются от детерминистских в том смысле, что они бесконечно сложные, но, при этом, могут быть сгенерированы очень простой формулой. Детерминистским фракталам не нужны формулы или уравнения. Просто возьмите чертежную бумагу и вы можете построить решето Серпинского до 3 или 4 итерации без каких-либо затруднений. Попробуйте сделать это с множеством Жулиа! Легче пойти мерить длину береговой линии Англии!

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА

Рис 2. Множество Мандельброта

Множества Мандельброта и Жулиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.

Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.
Рис 3. Появление пузырьков при a=3.5

Также популярен процесс Z=Z*tg(Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.

МНОЖЕСТВО ЖУЛИА

Удивительно, но множества Жулиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жулиа это "если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?" Сначала посмотрите на картинки множества Жулиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жулиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жулиа.

Рис 4. Множество Жулиа

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жулиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жулиа. Множества Жулиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жулиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жулиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.

Зачастую гениальные открытия, совершенные в науке, способны кардинально изменять нашу жизнь. Так, например, изобретение вакцины может спасти множество людей, а создание нового вооружения приводит к убийству. Буквально вчера (в масштабе истории) человек «укротил» электричество, а сегодня уже не может представить свою жизнь без него. Однако существуют и такие открытия, которые, что называется, остаются в тени, причем несмотря на то, что они также оказывают то или иное влияние на нашу жизнь. Одним из таких открытий стал фрактал. Большинство людей даже не слышали о таком понятии и не смогут объяснить его значение. В этой статье мы попробуем разобраться с вопросом о том, что такое фрактал, рассмотрим значение этого термина с позиции науки и природы.

Порядок в хаосе

Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.

Немного сухих фактов

Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.

Историческая справка, или Как все начиналось

На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора - «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид - С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.

Динамические, или алгебраические фракталы

К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.

Человек с пространственным воображением

Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени.

Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, отличающийся богатым и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.

Жюлиа - Мандельброт

Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал - это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.

Решение Карпентера

Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные на мелкие элементы, а те - на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.

Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме

Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте - анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма "Star Trek". Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.

Том Беддард

В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.

Фракталы в природе

Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина - они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.

Музыкальная пауза

Оказывается, фракталы - это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.

Индикатор-фрактал

Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.

В заключение

Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.