Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А

Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.

Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.

Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.

Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .

Разложение ∆ 3-его порядка по элементам первой строки: ∆=а11А11+а12А12+а13А13 .

Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл. рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.

Кв. матрица наз. невыражденой, если её det≠0.

Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.

Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (АЕ) - метод Жордано.

Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)(E|A¯¹).

Ах=В уА=В

х=А¯¹В у=ВА¯¹

Ранг матрицы

В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1≤S≤min(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.

Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.

Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,≠0.

Если все миноры =0, то ранг =0.

Свойства ранга

1. R транспонир. матр. = R исходн.

2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.

3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ≠0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.

Матричная запись линейной ситемы

А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)

Невыражд. сист.

|a11 a12 .. b1 .. a1m|

∆=|кооф.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2 .. bm ..amm|

Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆ , х2=∆2/∆………

Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)

Заключ. в эл. преобраз. матр.

ВЕКТОЫ

Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.

Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.

Протиположными наз. векторы и имеющие равные длины.

Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.

Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.

Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

Единичный вектор e=(cos,cos,cosγ)

Коорд. лин. комбинации векторов

Даны n векторов. Лин. комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…

Деление отрезка в данном отношении

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – в отношении ℓ.

Скалярн. произведение векторов

ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos φ=пр a b , |a|cosφ=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a

Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba

2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)

3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac

Правило лев. и прав. тройки В.

3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.

Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…

Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор и удовл. след. усл.:1)||=|a||b|sinα ;2)┴a и b;3)тройка a b имеет ту же ориентацию,что и i jk.

Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.

0 < = > a комплан. b

Свойства: 1.Антиперестановочности =-

2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α

3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=+

=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2 z2|

Смешанное произведение векторов

Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.

V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.

abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |

V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |

|x4-x1 … … |

Линейная завис. Векторов

a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.

Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.

Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.

Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.

Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3

Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.

Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…

F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде

F(ρ,φ)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).

y= φ (t) / - параметрические уравнения линии.

Если дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически ур-я записываются x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ

Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.

Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:

х²/a²+y²/b²=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)

Эпсиктриситетом эл. наз. ξ=√(1-(b/a)²) Директрисами эл. наз. прямые x=a/ξ и x=--a/ξ

х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)

х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.

в сл. А*С>0 линии элипсического типа

х²/a² -- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы – геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \

F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Ассимптоты: у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы: x=-a/ξ и x=a/ξ |

Равносторонние Г. – с равными полуосями. /

х²/a² -- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа

у²=2px – парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы \

Симметрин. относит. ох: у²=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |

oy: x²=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |

y²=b² - пара || прямых > - линии параболического типа

y²=0 – пара совпавших прямых /

y²=--b² - неудовл. коорд. ни одной т.

Если С=0, А≠0, то (1) приводится х²=2qy

Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):

Ур-е нормали: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)

Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2

Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R

Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0: d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)

Ур-е окружности: (x-a)²+(y-b)²=R²

Упрощ. общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

При повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A- C)/2B

x=x’ cos α –y’ sin α

y=x’ sin α +x’ cos α

Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .

Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.

Действия над матрицами

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).

Определим основные операции над матрицами .

Сложение матриц

Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле . Обозначается C = A+B.

Пример 6 . .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Вычитание матриц

Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.

Умножение матриц

Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .
Определение . Пусть даны две матрицы и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле .
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .

Пример 7 . Даны матрицы и . Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение. Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.

Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).

Пример 8 . Дана матрица . Найти 3A 2 – 2A.
Решение.

.
; .
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

С каждой квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Так, например, понятие о функции от матрицы, которое мы введем в следующей главе, будет целиком основываться на понятии о минимальном многочлене матрицы. В этой главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена. Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными коэффициентами и о действиях над ними.

§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов

Рассмотрим квадратную многочленную матрицу , т. е. квадратную матрицу, элементами которой являются многочлены относительно (с коэффициентами из данного числового поля ):

Матрицу можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, расположенного по степеням :

. (3)

Число называется степенью многочлена, если . Число называется порядком многочлена. Многочлен (1) будем называть регулярным, если .

Многочлен с матричными коэффициентами мы будем иногда называть матричным многочленом. В отличие от матричного многочлена обычный многочлен со скалярными коэффициентами будем называть скалярным многочленом.

Рассмотрим основные действия над матричными многочленами. Пусть даны два матричных многочлена одного и того же порядка и . Обозначим через наибольшую из степеней этих многочленов. Эти многочлены можно записать в виде

т. е. сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.

Пусть даны два матричных многочлена и степеней и одного и того же порядка :

Если бы мы перемножили на (т. е. изменили бы порядок сомножителей), то мы получили бы, вообще говоря, другой многочлен.

Умножение матричных многочленов обладает еще одним специфичным свойством. В отличие от произведения скалярных многочленов произведение матричных многочленов (4) может иметь степень, меньшую , т. е. меньшую суммы степеней сомножителей. Действительно, в (4) произведение матриц может равняться нулю при и . Однако, если хотя бы одна из матриц и неособенная, то из и следует: . Таким образом, произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотябы один из двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.

Матричный многочлен -го порядка можно записать двояко:

Обе записи при скалярном дают один и тот же результат. Однако если мы пожелаем вместо скалярного аргумента подставить квадратную матрицу -го порядка , то результаты подстановок в (5) и (5") будут, вообще говоря, различны, так как степени матрицы могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами .

и будем называть правым, а левым значением матричного многочлена при подстановке вместо матрицы .

Рассмотрим снова два матричных многочлена

,

и их произведение

Преобразования в тождестве (7") сохраняют свою силу при замене матрицей -го порядка , если только матрица перестановочна со всеми матричными коэффициентами . Аналогично в тождестве (7") можно заменить скаляр матрицей , если матрица перестановочна со всеми коэффициентами . В первом случае получаем: любой матрицей -го порядка всегда справедливы тождества

, . (9)

Матричным многочленом от переменной называется выражение вида

F(л) = Ао лm + А1 лm-1 + А2 лm-2 + … + Аm , (1)

где Ао, …, Аm - квадратные матрицы одного и того же порядка с элементами из основного поля К. Число m называется степенью многочлена, если Ао?0. Два многочлена называются равными, если равны матрицы, стоящие в этих многочленах при одинаковых степенях переменной л. Складываются и перемножаются матричные л-многочлены по обычным правилам. Ясно, что каждый л-многочлен можно записать в виде одной матрицы, элементами которой являются обыкновенные многочлены от л, и обратно. Например,

1 2 + 5 6 л + 1 0 лІ = лІ +5л + 1 6+ 2

0 3 7 -2 0 1 7л лІ-2л + 3 .

Поэтому матричные л-многочлены являются лишь особым видом записи л-матриц.

Многочлен F(л) называется регулярным, если матрица Ао обратима.

Сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.

Произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотя бы один их двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.

Пусть даны два матричных многочлена А(л) и В(л) одного и того же порядка n, причем В(л) - регулярный многочлен:

А(л) = Аолm + А1лm-1 + … + Аm (Ао?0),

В(л) = Волр + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).

Будем говорить, что матричные многочлены Q(л) и R(л) являются соответственно правым частным и правым остатком при делении А(л) на В(л), если

А(л) = Q(л)В(л) + R(л)(2)

и степень R(л) меньше степени В(л).

Совершенно аналогично будем называть многочлены ^Q(л) и ^R(л) соответственно левым частным и левым остатком при делении А(л) на В(л), если

А(л) = В(л) ^Q(л) + ^R(л)(3)

и степень ^R(л) меньше степени В(л).

В общем случае многочлены Q(л) и R(л) не совпадают с ^Q(л) и ^R(л).

Покажем, что как правое, так и левое деление матричных многочленов одного и того же порядка всегда выполнимо и однозначно, если делитель - регулярный многочлен.

Рассмотрим правое деление А(л) на В(л). Если m

А(л)= АоВо -1лm-pВ(л) + А(1)(л).(4)

Степень m(1) многочлена А(1)(л) меньше m:

А(1)(л) = Ао(1) лm(1) + … (Ао(1)?0, m(1)

Если m(1)?p, то повторя этот процесс, получаем:

А(1)(л) = Ао(1)Во -1 лm(1)-р В(л) + А(2)(л), (6)

А(2)(л) = А(2)лm(2) + … (m(2)

Так как степени многочленов А(л), А(1)(л), А(2)(л), … убывают, то на некотором этапе мы придем к остатку R(л), степень которого меньше р. Тогда из (4), (6) будет следовать:

А(л) = Q(л) В(л) + R(л),

где Q(л) = АоВо-1 лm-р + Ао(1)Во-1 лm(1)-р + …(7)

Докажем теперь однозначность правого деления. Пусть одновременно

А(л) = Q(л) В(л) + R(л)(8)

А(л) = Q*(л) В(л) + R*(л),(9)

где степени многочленов R(л) и R*(л) меньше степени В(л), т.е. меньше р. Вычитая почленно (8) из (9) получим:

В(л) = R*(л) - R(л).(10)

Если бы Q(л) - Q*(л) ? 0, то поскольку |Во|?0, степень левой части равенства (10) равнялось бы сумме степеней В(л) и Q(л) - Q*(л) и потому была бы?р. Это невозможно, так как степень многочлена, стоящего в правой части равенства (10), меньше р. Таким образом, Q(л) - Q*(л)?0, а тогда из (10) R*(л) - R(л)?0, т.е.

Q(л) = Q*(л), R(л) = R*(л).

Совершенно аналогично устанавливаются существование и единственность левого частного и левого остатка.

Т е о р е м а 1. (Обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении матричного многочлена F(л) на бином лЕ-А остаток от деления равен F(А)(соответственно ^F(A)).

Доказательство. Рассмотрим произвольный матричный многочлен n-го порядка

F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm (Fо?0)(11)

Этот многочлен может быть записан и так:

F(л) = лm Fо + лm-1 F1 + … + Fm (12)

Обе записи при скалярном л дают один и тот же результат. Однако если вместо скалярного аргумента л подставить квадратную матрицу n-го порядка А, то результаты подстановки в (11) и (12) будут различны, так как степени матрицы А могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами Fо, F1, …, Fm.

F(А) = Fо Аm+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(А) = Аm Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14)

и будем называть F(А) правым, а ^F(А) - левым значением многочлена F(л) при подстановке вместо л матрицы А.

Разделим многочлен F(л) на бином лЕ-А. В данном случае правый остаток R и левый остаток ^R не будут зависеть от л. Для определения правого остатка рассмотрим обычную схему деления:

F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm = Fо лm-1(лЕ-А) + (Fо А + F1) лm-1 + F2 лm-2 + …=

= (лЕ-А) + (Fо А2 + F1А1+ F2) лm-2 + F3 лm-3 + … = …

… = (лЕ-А) +

Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

Мы нашли, что

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15)

Совершенно аналогично

Из доказанной теоремы следует, что многочлен F(л) делится без остатка справа (слева) на бином лЕ-А тогда и только тогда, когда F(А)=0 (соответственно ^F(А)=0).

Проверить, что А()=Q()В() + R().

А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

В()= - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2 ,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | = 1, B o -1 = 1 2 , А 0 B 0 -1 = 2 5 , А 0 B 0 -1 В() = - 2 +1 3 2 +12 ,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

А (1) ()= - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11 ,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

А (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0 ,

А 0 (1) В 0 -1 ()= -2 0 1 2 = -2 -2 ,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

А 0 (1) В 0 -1 В()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6 ,

R()= А (1) () - А 0 (1) В 0 -1 В()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = А 0 В 0 -1 + А 0 (1) В 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2