В астрофизических и термоядерных задачах значительный интерес представляет поведение частиц в магнитном поле, меняющемся в пространстве. Часто это изменение достаточно слабое, и хорошим приближением является решение уравнений движения методом возмущений, впервые полученное Альфвеном. Термин «достаточно слабое» означает, что расстояние, на котором В существенно изменяется по величине или по направлению, велико по сравнению с радиусом а вращения частицы. В этом случае в нулевом приближении можно считать, что частицы движутся по спирали вокруг силовых линий магнитного поля с частотой вращения, определяемой

локальной величиной магнитного поля. В следующем приближении появляются медленные изменения орбиты, которые можно представить в виде дрейфа их ведущего центра (центра вращения).

Первым типом пространственного изменения поля, которое мы рассмотрим, является изменение в направлении, перпендикулярном В. Пусть имеется градиент величины поля в направлении единичного вектора , перпендикулярного В, так что . Тогда в первом приближении частоту вращения можно записать в виде

здесь - координата в направлении и разложение производится в окрестности начала координат, для которого Поскольку В не меняется по направлению, движение вдоль В остается равномерным. Поэтому мы рассмотрим только изменение поперечного движения. Записав в виде , где - поперечная скорость в однородном поле, a -малая поправка, подставим (12.102) в уравнение движения

(12.103)

Тогда, удерживая только члены первого порядка, получаем приближенное уравнение

Из соотношений (12.95) и (12.96) вытекает, что в однородном поле поперечная скорость и координата связаны соотношениями

(12.105)

где X - координата центра вращения в невозмущенном круговом движении (здесь Если в (12.104) выразить через то получим

Это выражение показывает, что, помимо осциллирующего слагаемого, имеет отличное от нуля среднее значение, равное

Для определения средней величины достаточно учесть, что декартовы составляющие изменяются синусоидально с амплитудой а и сдвигом фазы 90°. Поэтому на среднее значение влияет лишь составляющая параллельная , так что

(12.108)

Таким образом, «градиентная» дрейфовая скорость дается выражением

(12.109)

или в векторной форме

Выражение (12.110) показывает, что при достаточно малых градиентах поля, когда дрейфовая скорость мала по сравнению с орбитальной скоростью .

Фиг. 12.6. Дрейф заряженных частиц, обусловленный поперечным градиентом магнитного поля.

При этом частица быстро вращается вокруг ведущего центра, который медленно движется в направлении, перпендикулярном В и grad В. Направление дрейфа положительной частицы определяется выражением (12.110). Для отрицательно заряженной частицы дрейфовая скорость имеет противоположный знак; это изменение знака связано с определением Градиентный дрейф можно качественно объяснить, рассматривая изменение радиуса кривизны траектории при движении частицы в областях, где величина напряженности поля больше и меньше средней. На фиг. 12.6 качественно показано поведение частиц с различными знаками заряда.

Другим типом изменения поля, приводящим к дрейфу ведущего центра частицы, является кривизна силовых линий. Рассмотрим изображенное на фиг. 12.7 двумерное поле, не зависящее от . На фиг. 12.7, а показано однородное магнитное поле параллельное оси Частица вращается вокруг силовой линии по окружности радиусом а со скоростью и одновременно движется с постоянной скоростью вдоль силовой линии. Мы будем рассматривать это движение в качестве нулевого приближения для движения частицы в поле с искривленными силовыми линиями, показанном на фиг. 12.7,б, где локальный радиус кривизны силовых линий R велик по сравнению с а.

Фиг. 12.7. Дрейф заряженных частиц, обусловленный кривизной силовых линий. а - в постоянном однородном магнитном поле частица движется по спирали вдоль силовых линий; б - кривизна силовых линий магнитного поля вызывает дрейф, перпендикулярный плоскости

Поправку первого приближения можно найти следующим образом. Поскольку частица стремится двигаться по спирали вокруг силовой линии, а силовая линия изогнута, то для движения ведущего центра это эквивалентно появлению центробежного ускорения Можно считать, что это ускорение возникает под действием эффективного электрического поля

(12.111)

как бы добавленного к магнитному полю . Но, согласно (12.98), комбинация такого эффективного электрического поля и магнитного поля приводит к центробежному дрейфу со скоростью

(121,2)

Используя обозначение запишем выражение для скорости центробежного дрейфа в виде

Направление дрейфа определяется векторным произведением, в котором R представляет собой радиус-вектор, направленный от центра кривизны к точке нахождения частицы. Знак в (12.113) соответствует положительному заряду частицы и не зависит от знака Для отрицательной частицы величина становится отрицательной и направление дрейфа меняется на обратное.

Более аккуратный, но менее изящный вывод соотношения (12.113) можно получить непосредственным решением уравнений движения. Если ввести цилиндрические координаты с началом координат в центре кривизны (см. фиг. 12.7,б), то магнитное поле будет иметь только -составляющую Легко показать, что векторное уравнение движения сводится к следующим трем скалярным уравнениям:

(12-114)

Если в нулевом приближении траектория представляет собой спираль с радиусом а, малым по сравнению с радиусом кривизны то в низшем порядке Поэтому из первого уравнения (12.114) получаем следующее приближенное выражение гаусс частицы плазмы с температурой имеют дрейфовую скорость см/сек. Это означает, что за малую долю секунды они вследствие дрейфа выйдут на стенки камеры. Для более горячей плазмы скорость дрейфа соответственно еще больше. Одним из способов компенсации дрейфа при тороидальной геометрии является изгибание тора в виде восьмерки. Так как частица обычно совершает много оборотов внутри такой замкнутой системы, то она проходит области, где как кривизна, так и градиент имеют различные знаки, и дрейфует поочередно в различных направлениях. Поэтому по крайней мере в первом порядке по результирующий средний дрейф оказывается равным нулю. Такой метод исключения дрейфа, обусловленного пространственным изменением магнитного поля, применяется в термоядерных установках типа стелларатора. Удержание плазмы в таких установках в отличие от установок, использующих пинч-эффект (см. гл. 10, § 5-7), осуществляется с помощью сильного внешнего продольного магнитного поля.

Мы хотим описать поведение одной или нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного большинства остальных молекул газа. Будем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отличающиеся от них молекулы получат название «особых» молекул, или (для краткости) S-молекул. Молекула может быть особой по целому ряду причин: она может быть, скажем, тяжелее молекул фона. Может она отличаться от них также химическим составом. А, может быть, особые молекулы несут электрический заряд — тогда это будет ион на фоне нейтральных молекул. Из-за необычности масс или зарядов на S-молекулы действуют силы, отличающиеся от сил между молекулами фона. Изучая поведение S-молекул, можно понять основные эффекты, которые вступают в игру во многих разнообразных явлениях. Перечислим некоторые из них: диффузия газов, электрический ток в батарее, осаждение, разделение при помощи центрифуги и т. д.

Начнем с изучения основного процесса: на S-молекулу в газе из молекул фона действуют какая-то особая сила F (это может быть сила тяжести или электрическая сила) и, кроме того, более обычные силы, обусловленные столкновениями с молекулами фона. Нас интересует общий характер поведения S-молекулы. Детальное описание ее поведения — это непрерывные стремительные удары и следующие одно за другим столкновения с другими молекулами. Но если проследить внимательно, то станет ясно, что молекула неуклонно движется по направлению силы F. Мы говорим, что дрейф накладывается на беспорядочное движение. Но нам хотелось бы знать, как зависит скорость дрейфа от силы F.

Если в какой-то произвольный момент времени начать наблюдать за S-молекулой, то можно надеяться, что попали мы как раз где-то между двумя столкновениями. Это время молекула употребит на то, чтобы в дополнение к скорости, оставшейся у нее после всех столкновений, увеличить составляющую скорости вдоль силы F. Немного погодя (в среднем через время τ) она снова испытает столкновение и начнет двигаться по новому отрезку своей траектории. Стартовая скорость, конечно, будет другой, а ускорение от силы F останется неизменным.

Чтобы упростить сейчас дело, предположим, что после каждого столкновения наша S-молекула выходит на совершенно «свободный» старт. Это значит, что у нее не осталось никаких воспоминаний о прежних ускорениях под действием силы F. Такое предположение было бы разумным, если бы наша S-молекула была намного легче молекул фона, но это, конечно, не так. Позднее мы обсудим более разумное предположение.

А пока предположим, что все направления скорости S-молекулы после каждого столкновения равновероятны. Стартовая скорость имеет любое направление и не может дать никакого вклада в результирующее движение, поэтому мы не будем принимать во внимание начальную скорость после каждого столкновения. Но, кроме случайного движения, каждая S-молекула в любой момент имеет дополнительную скорость в направлении силы F, которая увеличивается со времени последнего столкновения. Чему равно среднее значение этой части скорости? Оно равно произведению ускорения F/m (где m — масса S-молекулы) на среднее время, прошедшее с момента последнего столкновения. Но среднее время, протекшее после последнего столкновения, должно быть равно среднему времени перед следующим столкновением, которое мы уже обозначили буквой τ. Средняя скорость, порождаемая силой F,— это как раз скорость дрейфа; таким образом, мы пришли к соотношению

Это наше основное соотношение, главное во всей главе. При нахождении τ могут появиться всякого рода усложнения, но основной процесс определяется уравнением (43.13).

Обратите внимание, что скорость дрейфа пропорциональна силе. К сожалению, о названии для постоянной пропорциональности еще не договорились. Коэффициент перед силой каждого сорта имеет свое название. В задачах, связанных с электричеством, силу можно представить как произведение варяда на электрическое поле: F=qE; в этом случае постоянную пропорциональности между скоростью и электрическим полем Е называют «подвижностью». Несмотря на возможные недоразумения, мы будем применять термин подвижность для отношения скорости дрейфа к силе любого сорта. Будем писать

и называть µ подвижностью. Из уравнения (43.13) следует

Подвижность пропорциональна среднему времени между столкновениями (редкие столкновения слабо тормозят S-молекулу) и обратно пропорциональна массе (чем больше инерция, тем медленнее набирается скорость между столкновениями).

Чтобы получить правильный численный коэффициент в уравнении (43.13) (а у нас он верен), нужна известная осторожность. Во избежание недоразумений нужно помнить, что мы используем коварные аргументы, и употреблять их можно только после осторожного и детального изучения. Чтобы показать, какие бывают трудности, хотя по виду вроде все благополучно, мы снова вернемся к тем аргументам, которые привели к выводу уравнения (43.13), но эти аргументы, которые выглядят вполне убедительно, приведут теперь к неверному результату (к сожалению, такого рода рассуждения можно найти во многих учебниках!).

Можно рассуждать так: среднее время между столкновениями равно τ. После столкновения частица, начав двигаться со случайной скоростью, набирает перед следующим столкновением дополнительную скорость, которая равна произведению времени на ускорение. Поскольку до следующего столкновения пройдет время τ, то частица наберет скорость (F/m)τ. В момент столкновения эта скорость равна нулю. Поэтому средняя скорость между двумя столкновениями равна половине окончательной скорости, а средняя скорость дрейфа равна 1 / 2 Fτ/m. (Неверно!) Этот вывод неверен, а уравнение (43.13) правильно, хотя, казалось бы, в обоих случаях мы рассуждали одинаково убедительно. Во второй результат вкралась довольно коварная ошибка: при его выводе мы фактически предположили, что все столкновения отстоят друг от друга на время τ. На самом деле некоторые из них наступают раньше, а другие позже этого времени. Более короткие времена встречаются чаще, но их вклад в скорость дрейфа невелик, потому что слишком мала в этом случае вероятность «реального подталкивания вперед». Если принять во внимание существование распределения свободного времени между столкновениями, то мы увидим, что множителю 1 / 2 , полученному во втором случае, неоткуда взяться. Ошибка произошла из-за того, что мы, обманувшись простотой аргументов, попытались слишком просто связать среднюю скорость со средней конечной скоростью. Связь между ними не столь уж проста, поэтому лучше подчеркнуть, что нам нужна средняя скорость сама по себе. В первом случае мы с самого начала искали среднюю скорость и нашли ее верное значение! Быть может, теперь вам понятно, почему мы не пытались найти точного значения всех численных коэффициентов в наших элементарных уравнениях?

Вернемся к нашему предположению о том, что каждое столкновение полностью стирает из памяти молекулы все о былом ее движении и что после каждого столкновения для молекулы начинается новый старт. Предположим, что наша S-молекула — это тяжелый объект на фоне более легких молекул. Тогда уже недостаточно одного столкновения, чтобы отобрать у S-молекулы ее направленный «вперед» импульс. Только несколько последовательных столкновений вносят в ее движение «беспорядок». Итак, вместо нашего первоначального рассуждения предположим теперь, что после каждого столкновения (в среднем через время τ) S-молекула теряет определенную часть своего импульса. Мы не будем исследовать детально, к чему приведет такое предположение. Ясно, что это эквивалентно замене времени τ (среднего времени между столкновениями) другим, более длинным τ, соответствующим среднему «времени забывания», т. е. среднему времени, за которое S-молекула забудет о том, что у нее когда-то был импульс, направленный вперед. Если понимать τ так, то можно использовать нашу формулу (43.15) для случаев, не столь простых, как первоначальный.

>> Том 6 >> Глава 29. Движение зарядов в электрическом и магнитном полях

Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях

До сих пор мы говорили о частицах, находящихся только в электрическом или только в магнитном поле. Но есть интересные эффекты, возникающие при одновременном действии обоих полей. Пусть у нас имеется однородное магнитное поле В и направленное к нему под прямым углом электрическое поле Е. Тогда частицы, влетающие перпендикулярно полю В, будут двигаться по кривой, подобной изображенной на фиг. 29.18. (Это плоская кривая, а не спираль.) Качественно это движение понять нетрудно. Если частица (которую мы считаем положительной) движется в направлении поля Е, то она набирает скорость, и магнитное поле загибает ее меньше. А когда частица движется против поля Е, то она теряет скорость и постепенно все больше и больше загибается магнитным полем. В результате же получается «дрейф» в направлении (ЕхВ).

Мы можем показать, что такое движение есть по существу суперпозиция равномерного движения со скоростью v d = E / B и кругового, т. е. на фиг. 29.18 изображена просто циклоида. Представьте себе наблюдателя, который движется направо с постоянной скоростью. В его системе отсчета наше магнитное поле преобразуется в новое магнитное поле плюс электрическое поле, направленное вниз. Если его скорость подобрана так, что полное электрическое поле окажется равным нулю, то наблюдатель будет видеть электрон, движущийся по окружности. Таким образом, движение, которое мы видим, будет круговым движением плюс перенос со скоростью дрейфа v d = E / B . Движение электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях лежит в основе магнетронов, т. е. осцилляторов, применяемых при генерации микроволнового излучения.

Есть еще немало других интересных примеров движения частиц в электрическом и магнитном полях, например орбиты электронов или протонов, захваченных в радиационных поясах в верхних слоях стратосферы, но, к сожалению, у нас не хватает времени, чтобы заниматься сейчас еще и этими вопросами.

Лекция № 3. ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости, дреЛекция № 3.
ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости,
дрейфовая скорость. Дрейфы в неоднородном магнитном поле. Адиабатический инвариант.
Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях.
Движение в скрещенных однородных E H полях.
Дрейфовое приближение применимо в случае, если можно выделить
некоторую одинаковую для всех частиц одного сорта постоянную скорость
дрейфа, не зависящую от направления скоростей частиц. Магнитное поле не
влияет на движение частиц в направлении магнитного поля. Поэтому скорость
дрейфа может быть направлена только перпендикулярно магнитному полю.
E H
Vдр c
H2
- скорость дрейфа.
Условие применимости дрейфового движения E H
в полях:
E
V
H
c
Для определения возможных траекторий заряженных частиц в полях рассмотрим
уравнение движения для вращающейся компоненты скорости:
. q
mu
c
u H

В плоскости скоростей (Vx, Vy) можно
выделить четыре области характерных
траекторий.
Область 1. Круг, описываемый
неравенством 0 u Vдр в координатах
(x,y) соответствует трохоиде без петель
(эпициклоида) с «высотой», равной, 2 re
где re u / л
Область 2. Окружность, задаваемая
уравнением u Vдр, соответствует
циклоиде. При вращении вектора
вектор скорости на каждом периоде
будет проходит через начало координат,
то есть, скорость будет равна нулю.
Область 3. Область вне круга,
соответсвует трохоиде с петлями
(гипоциклоида).
V
Vy
0
V др
u
Vx
1
2
3
Области характерных траекторий в
плоскости скоростей.
e
E
i
H
1
e
2
i
e
3
i
Область 4: Точка
V0 Vдр
- прямой.
4

В случае невыполнения условия дрейфового приближения, то есть при или при действие электрического поля не компенсируется действием магни

В случае невыполнения условия дрейфового приближения, то есть при или
при E H действие электрического поля не компенсируется действием
магнитного, поэтому частица переходит в режим непрерывного
E H
ускорения
H
y
e
x
H
e
E
E
x
E
H
Ускорение электрона в
полях при E H
.
Ускорение электрона в полях
E H
Все выводы, сделанные выше, верны, если вместо электрической силы
использовать произвольную силу, действующую на частицу, причем F H
Скорость дрейфа в поле произвольной силы:
c F H
Vдр
q H2

Дрейфовое движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле.

Если магнитное поле медленно меняется в пространстве, то движущаяся
в нем частица совершит множество ларморовских оборотов, навиваясь на
силовую линию магнитного поля с медленно меняющимся ларморовским
радиусом.
Можно рассматривать движение не собственно частицы, а её
мгновенного центра вращения, так называемого ведущего центра.
Описание движения частицы как движение ведущего центра, т.е.
дрейфовое приближение, применимо, если изменение ларморовского
радиуса на одном обороте будет существенно меньше самого
ларморовского радиуса.
Это условие, очевидно, будет выполнено, если характерный
пространственный масштаб изменения полей будет значительно
превышать ларморовский радиус:
хар
lполя
что равносильно условию: rл
H
H
rл
1.
Очевидно, это условие выполняется тем лучше, чем больше величина
напряженности магнитного поля, так как ларморовский радиус убывает
обратно пропорционально величине магнитного поля.

Рассмотрим задачу о движении
заряженной частицы в
магнитном поле со скачком,
слева и справа от плоскости
которого магнитное поле
однородно и одинаково
направлено При движении
частицы её ларморовская
окружность пересекает
плоскость скачка. Траектория
состоит из ларморовских
окружностей с переменным
ларморовским радиусом, в
результате чего происходит
«снос» частицы вдоль плоскости
скачка. Скорость дрейфа можно
определить как
l 2V H 2 H1 V H
Vдр
t
H 2 H1 H
H1 H 2
V др е
e
H
Vдр i
i

Дрейф заряженных частиц вдоль плоскости скачка магнитного поля. Градиентный дрейф.

Дрейф возникает и том случае, когда слева
и справа от некоторой плоскости магнитное
поле по величине не меняется, но изменяет
направление Слева и справа от границы
частицы вращаются по ларморовским
окружностям одинакового радиуса, но с
противоположным направлением вращения.
Дрейф возникает, когда ларморовская
окружность пересекает плоскость раздела.
Пусть пересечение плоскости слоя
частицей происходит по нормали, тогда
ларморовскую окружность следует
«разрезать» вдоль вертикального диаметра
и затем, правую половину следует отразить
зеркально вверх для электрона, и вниз для
иона, как это изображено на рисунке. При
этом за ларморовский период смещение
вдоль слоя, очевидно, составляет два
ларморовских диаметра, так что скорость
дрейфа для этого случая:
4
Vдр
H1
H2
Vдр е
H1 H 2
e
Vдр i
i
V
2rл
л 2V
T
2
2
л
Градиентный дрейф при смене
направления магнитного поля

Дрейф в магнитном поле прямого тока.

Дрейф заряженных частиц в
неоднородном магнитном поле прямого
проводника тока связан, прежде всего с
тем, что магнитное поле обратно
пропорционально расстоянию от тока,
поэтому будет существовать градиентный
дрейф движущейся в нем заряженной
частицы. Кроме этого дрейф связан с
кривизной магнитных силовых линий.
Рассмотрим две составляющие этой силы,
вызывающей дрейф, и соответственно
получим две составляющие дрейфа.
Вращающуюся вокруг силовой линии
заряженную частицу можно рассматривать
как магнитный диполь эквивалентного
кругового тока. Выражение для скорости
градиентного дрейфа можно получить из
известного выражения для силы,
действующей на магнитный диполь в
неоднородном поле:
H
F H
H
W
H
Для магнитного поля, как можно показать,
справедливо соотношение:
H
Hn
Rкр
r
b r n
i
n
Rкр
H
R
Vдр i
Vдр е
e
Диамагнитный дрейф в магнитном
поле прямого тока.
c mV 2 H H
Vдр
2
q 2H
H
2
V H H
V 2
b
2
2 л
2 л Rкр
H

Центробежный (инерционный) дрейф.

При движении частицы,
навивающейся на силовую
линию с радиусом
кривизны R, на нее
действует центробежная
mv||2
сила инерциии
Fцб
n
R
возникает дрейфовая
скорость, равная по
величине
v цб
2
2
2
mv
v
v
c
|| 1
|| | B|
e RB
R B
и направленная по
бинормали
v цб
v||2 [ B B ]
B2

Поляризационный дрейф.

Дрейф в неоднородном магнитном поле прямого проводника тока
представляет собой сумму скоростей градиентного и
V2
центробежного дрейфов (тороидальный дрейф):
Так как ларморовская частота
содержит заряд, то электроны и
ионы в неоднородном магнитном
поле дрейфуют в
противоположных направлениях,
ионы в направлении протекания
тока электроны – против тока,
создавая диамагнитный ток.
Кроме того, при разделении
зарядов в плазме возникает
электрическое поле, которое
перпендикулярно магнитному
полю. В скрещенных полях
электроны и ионы дрейфуют уже
в одном направлении то есть
происходит вынос плазмы на
стенки как целого.
H
V||2
Vдр 2
b
л Rкр
Vдр
E

10. Тороидальный дрейф и вращательное преобразование

Картина принципиально
изменится, если внутри, в центре
сечения соленоида, поместить
проводник с током, или
пропустить ток непосредственно
по плазме. Этот ток создаст
собственное магнитное поле В,
перпендикулярное к полю
соленоида Вz, так что суммарная
силовая линия магнитного поля
пойдет по винтовой траектории,
охватывающей ось соленоида.
Образование винтовых линий
магнитного поля получило
название вращательного (или
ротационного) преобразования.
Эти линии будут замыкаться
сами на себя, если коэффициент
запаса устойчивости,
представляющий собой
отношение шага винтовой
силовой линии к длине оси тора:
Bz a
q

Сначала рассмотрим наиболее простой случай дви­жения отдельных заряженных частиц. С известным при­ближением это рассмотрение применимо к потокам ча­стиц, когда плотности их настолько малы, что всяким взаимодействием между частицами можно пренебречь. Например, для слабых пучков электронов или ионов в вакууме можно не принимать во внимание действие их собственного объемного заряда.

Движение отдельной заряженной частицы описывает­ся следующим общим уравнением:

где М j - масса частицы (электрона или иона); Z j - зарядовое число (для электронаZ e =-1);
- скорость частицы; Н о - напряженность магнитного по­ля; с-скорость электромагнитных волн в вакууме; F - равнодействующая всех энергетических сил, воз­действующих на частицы (электрических, гравитацион­ных и т. п.).

Воздействие магнитного поля учитывается для удоб­ства отдельно от остальных сил, поскольку оно, дейст­вуя перпендикулярно направлению движения, не изме­няет энергии частиц.

Уравнение (6.1) можно решить лишь в некоторых простейших случаях. Рассмотрим некоторые из них, а затем перейдем к так называемому дрейфовому приближению.

4.2. Движение частиц в электрическом полеE 0

В данном случае уравнение (6.1) запишем

(6.2)

где q j - заряд частицы.

В зависимости от вида поля, т. е. в зависимости его от координат и времени, интегрирование (6.2) дает различные результаты. Рассмотрим некоторые частные примеры, которые пригодятся нам для дальнейшего изложения.

Пример 1. Пусть напряженность поля постоянна как в пространстве, так и во времени (Е 0 =const). Найдем траекторию движения иона, влетевшего в это электрическое поле под некоторым углом θ с начальной скоростью u 0 . (рис.1)

Интегрируя (6.2), получаем

(6.3)

где u 0 x иu 0 y –компоненты начальной скорости. Исключая t, получаем

(6.5)

Это уравнение параболы. Движение аналогично движению камня, брошенного под углом к горизонту. Это понятно, поскольку электрическое поле и поле тяготения – суть потенциальные.

Пример 2. Электрическое поле однородно в пространстве, но изменяется во времени (для простоты примем гармонический закон изменения E 0 ). В поле влетает электрон, направление начальной скорости которого перпендикулярно направлению переменного электрического поля. Определим закон движения электрона.

Направим ось у вдоль поля. Тогда

(6.7)

Здесь E m 0 – амплитуда напряженности электрического поля; ψ – фазовый угол поля в момент t=0, когда электрон начинает свое движение.

Проинтегрировав (6.6), (6.7), получим

где u 0 x , u 0 y – компоненты начальной скорости электрона. В нашем случае u 0 y =0.

Перемещение частицы определяется системой

Из формул (6.8), (6.9) видно, то происходит стационарный дрейф частиц с постоянной скоростью, на который наложено синусоидальное колебание с амплитудой (рис.2).

Это происходит, например, в высокочастотных разрядах низкого давления или при очень высоких частотах, когда число упругих соударений электронов с молекулами или ионами ν m намного меньше, чем частота поля ω. Интересно отметить, что в идеальном приближении (ν m →0) поглощения высокочастотной энергии не происходит, так как колебательная составляющая скорости сдвинута по фазе с полем на угол π/2, а постоянная в разные полупериоды связана то с поглощением энергии, то с отдачей ее обратно полю.

4.3. Движение частиц в магнитном поле Н 0

Если все силы, кроме магнитного поля, отсутствуют, то уравнение движения (6.1) запишемв виде

(6.3)

Решение этого уравнения зависит, как и в случае электрического шля, отвида правой части. Рассмотрим два примера.

Пример 1 . Частица (электрон или ион) с некоторой скоростью u j влетает в однородное постоянное магнитное поле напряженностью H 0 . Необходимо определить закон ее движения.

Разложим полную скорость движения частицы в магнитном поле на две компоненты: u пр – вдоль поля, u пер – перпендикулярную к нему:

Из уравнения (6.12) следует, что

Следовательно,

т. е. частица вдоль поля движется равномерно. Для другой компоненты

(6.16)

Скорость изменения вектора u пер перпендикулярна вектору. В связи с этим изменение этого вектора во времени можно пред­ставить как вращение с некоторой угловой скоростью ω j

Частица равномерно вращается вокруг направления Н 0 с угловой скоростью ω j , называемой циклотронной или ларморовской частотой, по окружности с ларморовским радиусом,

(6.19)

Для положительно заряженной частицы угловая скорость ω j направлена против Н 0 , для электронов - по вектору Н 0 (рис. 3). Из-за большой разности в массах электронов и ионов радиусы их ларморовских окружностей отличаются друг от друга на много порядков.

Периоды обращения по ларморовским окружностям

Кроме вращения, частица движется поступательно со скоростьюu пр , следовательно, полное ее движение происходит по винтовой линии, которая навивается на силовую линию поляН о . Шагэтой винтовой линии

(6.21)

При увеличенииН о, как видно из выражений (6.19) и (6.21), уменьшается радиус ларморовской окружности и шаг винтовой линии, но линейная скорость при этом не меняется.

Циклотронное вращение в постоянном однородном магнитном поле сохраняет свой вращательный момент (момент количества движения)

где W ⊥ – кинетическая энергия циклотронного вращения

Следовательно, и

Величина W ⊥ /H 0 равна магнитному моменту вращающегося в магнитном поле заряда. В самом деле, движение заряда по ларморовской окружности можно рассматривать как круговой ток

(6.25)

его магнитный момент

где S - площадь ларморовской окружности.

Пример 2. Теперь рассмотрим, что произойдет, если частица влетает в медленно изменяющееся (во времени) магнитное поле.

Под таким полем мы будем подразумевать поле, в котором за один оборот по ларморовской окружности радиус ее почти не меняется:

Покажем, что и в этом случае магнитный момент приблизительно сохраняет свою величину (в этом случае его называют адиабатическим инвариантом).

Если магнитное поле представляет собой функцию времени, то, как известно, возникает вихревое электрическое поле, циркуляция которого по замкнутому контуру не что иное, как электродвижущая сила (э. д. с).

(6.28)

где Е l -напряженность электрического поля вдоль ларморовскойокружности, по которой производится интегрирование; φ- магнитный поток через площадь ларморовского круга.

Изменение энергии циклотронного вращения по времени, учитывая выражения (6.24) и (6.27), равно

(6.29)

При медленном изменении магнитного поля величину можно вынести за знак дифференцирования:

Перепишем выражение (6.24) в виде

и продифференцируем его по времени:

(6.32)

Если сравнить это выражение сполученным ранее непосредственно из энергетических соображений (6.30), то сразу становится очевидным равенство нулю второго члена

Магнитный поток Ф, пронизывающий циклотронную орбиту, Также остается неизменным в процессе движения

. (6.33)

Дрейфы в магнитных полях

Уравнение движения (6.1) можно решить точно толь­ко в простых случаях, аналогичных уже рассмотренных. При наличии магнитного поля, постоянного во времени и однородного в пространстве, и отсутствии электриче­ских и других сил имеет место движение, которое сла­гается из двух движений - поступательного вдоль по­ля и вращательного в поперечной плоскости. Если маг­нитное поле неоднородно, или на частицу кроме него действуют еще какие-то силы, то такого движения мы уже не получим. Однако в некоторых случаях с извест­ным приближением можно свести реальное движение к вращению частицы по ларморовской окружности, центр которой (так называемый ведущий центр) пере­мещается поперек магнитного поля.

Движение ведущего центра поперек поля называют дрейфом в магнитном поле. Кроме того, при наличии компоненты скорости вдоль направления магнитного поля происходит смещение центра и в этом направле­нии. Такое рассмотрение можно проводить только в случае, когда влияние различных сил проявляется слабо в течение периода обращения частицы в магнитном поле, т. е., иначе говоря, когда выполняются условия адиабатичности (6.27) и (6.34). В этом случае ведущий центр заряженной частицы с магнитным моментом μ j движется как некая частица в поле силой F с кинетиче­ской энергией W пер [см. формулу (6.26)].

Приближенная теория движения частиц в адиабати­ческих системах называется дрейфовым приближением, а уравнения, описывающие усредненное движение веду­щего центра и изменение ларморовского радиуса, - дрейфовыми уравнениями. Строгий вывод их довольно сложен. По существу он сводится к рассмотре­нию условий, при которых движение мало отличается от движения в постоянных полях. Действующие силы не должны сильно меняться на протяжении ларморов­ского радиуса, в частности, поперечная сила F пер не должна приводить к чрезмерному росту поперечных ско­ростей частицы и ларморовского радиуса, что нарушило бы условия адиабатичности. Не может быть большой и продольная сила F пр . Кроме того, при рассмотрении процессов в плазме, когда применимо дрейфовое при­ближение, не учитывают влияния движения самих частиц на поля, в которых они перемещаются.

Рассмотрим сначала дрейфы в постоянных во време­ни полях. Уравнение (6.1) в проекциях на оси декарто­вых координат:

Эту систему можно записать в комплексном виде

Решение неоднородного уравнения (6.39) состоит из общего решения однородного уравнения

котороесоответствует циклотронному вращению, и частного решения

(6.41)

(6.42)

В векторном виде

Это и есть скорость дрейфового движения, происхож­дение которого можно наглядно пояснить следующим образом: сила в течение одной половины периода цикло­тронного вращения действует вдоль направления дви­жения частицы, скорость ее возрастает и она должна пройти больший путь, чем за вторую половину периода, когда сила действует против движения.

Как уже было сказано, дрейфовое уравнение (6.43) описывает усредненное движение ведущего центра приблизительно с постоянной скоростью. Быстрое ос­циллирующее движение по ларморовской окружности при этом не принимается в расчет. Следует отметить, что дрейфовое движение (перемещение осциллирующего центра) на первый взгляд обладает рядом свойств, как бы нарушающих привычные представления о законах механики. Действительно, постоянная сила в данном случае вызывает не равномерно ускоренное, а равно­мерное движение. В дальнейшем увидим, что электри­ческое поле не разделяет заряды, а заставляет их дви­гаться в одном направлении, в то время как силы не­электрического происхождения создают электрические токи. Дело в том, что истинным движением все же яв­ляется движение по ларморовской окружности, которое связано с отбором (и отдачей) энергии и подчиняется обычным законам механики.

Дрейфовое же движение представляет собой усред­ненное движение, как следствие циклотронного враще­ния в магнитных полях.

Электрический дрейф

Оба вида дрейфа в неодно­родном магнитном поле зависят от знака частиц. От них отличается в этом отношении электрический дрейф, т. е. дрейф ча­стиц в магнитном поле при на­личии электрического. Скорость электрического дрейфа

Действительно, электрический заряд в формулу не входит, а с ним исключается зависимость скорости от знака частиц. Электрический дрейф для ионов и для электронов происходит в одну сторону и с одинаковой скоростью, несмотря на большое различие в их массах.

Следует иметь в виду, что формула (6.47) примени­ма только при Е 0 <<Н 0 , иначе скорость дрейфа получается соизмеримой со скоростью света. Весь же наш вы­вод для дрейфовых скоростей сделан исходя из по­стоянства массы частиц, т. е. для нерелятивистских ско­ростей.

Формулу (6.47) мы получили, подставив в общее вы­ражение (6.43) для скорости дрейфов в магнитном поле значение электрической силы

Однако ее можно вывести несколько иначе - из об­щего уравнения (6.1). Это целесообразно, если учитывать некоторые полученные полезные физические вы­воды.

Преобразуем уравнение (6.1) в систему отсчета, ко­торая движется относительно исходной (лабораторной) системы координат с постоянной скоростью u " Д . Ско­рость частицы в движущейся системе u ", имлульср". Скорость в лабораторной системе координат

(6.50)

Найдем изменение импульса р :

где Е 0|| и Е 0 ⊥ ,-слагающие электрического поля вдоль и перпендикулярно магнитному полю.

Величинуu " Д можно выбрать таким образом, чтобы выполнялись два условия:

(6.53)

Условия (6.52) и (6.53) определяют u " Д совершенно однозначно. Из условия (6.52) сразу же следует, чтоu " Д ⊥Н 0 . Умножим второе условие (6.53) векторно наН о:

Член H 0 /c·(u " Д Н 0) =0 согласно условию (6.52). Следовательно,

(6.55)

т.е. представляет собой дрейфовую скорость. Уравнение движения (6.51) при учете (6.53) запишем

(6.56)

Из него полностью выпала компонента E 0пер. Отсюда можно сделать вывод, что влияние E 0пер сводится к созданию дрейфа в направлении, перпендикулярном к магнитному полю. Таким образом, получаем равномерно ускоренное движение вдоль поля и дрейфовое поперек него. Оба движения складываются в движение по па­раболе (рис. 8 ). Если Е 0 лежит в плоскости уz, то и ведущий центр не выйдет из этой плоскости. Поскольку выбор осей х и у произволен, случай, показанный на рис. 8, можно считать довольно общим.

Дрейф в скрещенных полях

Частным случаем электрического дрейфа является движение в скрещенных электрическом н магнитном полях (E o ┴H o и u 0пр =0), где u 0пр - начальная скорость частицы вдоль направленияН о . Ускорение в направлении Н 0 отсутствует. Частица движется по циклоиде, нормальной или укороченной, в зависимости от соотно­шения между угловой скоростью ω j и скоростью движения центра самой окружности. Последняя зависит от E 0 и начальной скорости u 0 =u 0пер вдоль оси у.

Разберем подробнее характер движения в скрещенных полях, поскольку этот случай имеет практическое назначение, особенно для плазменных ускорителей. Рассмотрим движение электрона, а затем определим, в чем состоит отличие для ионов. Нарис. 9, а показано, что происходит, если начальная скорость u 0 >0. В этом слу­чае возникает лоренцева сила

направленная антипараллельно оси х. К электрической силе -еЕ 0 добавляется магнитная F л. Они ускоряют ча­стицу совместно. За ларморовский период τ е она долж­на пройти большее расстояние, чем при действии только одной -еЕ 0 . Это воздействие на частицу определяет движение ее по удлиненной циклоиде.

На рис. 9,б приведен случай, соответствующий на­чальной скорости u 0 =0. При этом получается нормаль­ная циклоида. Далее, если u0<0и , циклоида становится укороченной (рис. 9, в). При уравновешивании обеих сил траектория остается прямолинейной (рис. 9, г). При дальнейшем увеличении u 0 траектория переходит на правую сторону оси х, причем повторяются в обратном порядке те же формы циклоид - укороченная, нормальная и удлинен­ная (рис.9,д - ж). Расстояние между последователь­ными вершинами циклоид

Это расстояние не зависит от величины первоначальной скорости u 0 .

Для ионов дрейф осуществляется в том же направ­лении, однако вращение происходит в противоположную сторону (рис. 10-сплошные линии). Нетрудно видеть, что дрейф в скрещенных полях происходит по эквипо­тенциальным поверхностям электрического поля, поскольку он направлен по нормали к электрическому полю.