Георг Кантор: теория множеств, биография и семья математика. Игры математического разума. Теоцентрический анализ теории множеств Г.Кантора

Вместо аннотации:

« … диагональное доказательство Кантора представляет собой занятие для идиотов, которое не имеет никакого отношения к тому, что в классической логике принято называть дедукцией».

Л.Витгенштейн

«… канторовская теория представляет собой патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения просто придут в ужас»

К.Бауэр, основатель топологии

1. Кризис современного математического знания.

Ведущую роль в процессе трансформации античной и средневековой нуки в новоевропейскую принадлежит математике, поскольку теоретическое естествознание невозможно без математики. В новоевропейском естествознании математику не случайно называют «царицей наук». Если в эпоху античности она была отделена от наук о природе и её предметом выступала сфера идеальных математических сущностей, то в Новое время ситуация резко меняется. Математика сближается с науками о природе и начинает им диктовать свои собственные правила сосуществования. В этой связи, современное концептуальное естествознание получает определение математического. Своему успеху современные науки о природе во многом обязаны новоевропейской математике. Тем не менее, последний, третий кризис, продолжающийся уже более ста лет, свидетельствует о существовании серьезных проблем в её основаниях.

Существует традиционная точка зрения, что на рубеже XIX- XX вв. имел место 3-й кризис оснований математики, причины которого связывают со сближением математики с логикой, а также c необходимостью уточнения таких математических понятий как число, множество, предел, функции и т.д.

Истоки этого кризиса уходят в XVII-XVIII века, когда математика разрабатывала методы решения задач в естествознании. Математики этого времени не особенно заботились о логическом обосновании собственных методов [Л.С. Фройнман. Творцы высшей математики. М., 1968. С. 83-84]

В XIX в. наблюдается ревизия фундаментальных понятий и становления теоретической математики. Это приводит к формированию теории множеств и арифметизации математики.

Крупнейшие математики XIX столетия стремятся свести все факты математики к числу и усиленно разрабатывают, начиная с «Арифметических исследований» Гаусса (1801), теорию числа [Ф.А.Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965. С. 35-36.]. Прежде всего, это относилось к математическому анализу. Наиболее проблематичным были логические его основания. В связи с этим, в XIX в. начинается разработка оснований математики и более строгих методов ее определений и доказательств.

В процессе перестройки математического анализа, возникает убеждение, что теоремы алгебры и математического анализа могут быть сформулированы как теорема о натуральных числах [Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат. Казань: Изд. Императорского университета, 1905. С. 5].

Результатом этого процесса было осознание числа как фундаментального понятия всей математики и построение теории действительных чисел такими математиками как Больцано, Вейерштрасом, Дедекиндом и Кантором.

Во второй половине XIX века возникает проблема уже обоснования математики. Выдающуюся роль в ее решении сыграло построение теории множеств Г. Кантором. В итоге, понятия анализа и теории функций формулируются в категориях теории множеств. Фундаментальным понятием для последней выступило понятие актуально бесконечного множества.

Разработка теории множеств за счет включения понятия актуальной бесконечности означало, по сути, революцию в истории математики, сравнимую с переворотом Коперника, теорией относительности и квантовой механикой. Теория множеств дала универсальный метод, который стал основой дальнейшего развития математики.

Следующий этап в развитии математики был связан со сближением алгебры, логики и теории множеств. Математика приобретает невиданный доселе абстрактный вид. Это означало переход к логическому основанию математики. Выдающийся вклад в основания математики внес Г.Фреге («Основания арифметики» и «Основные законы арифметики, полученные при помощи исчисления понятий»). Он осуществляет аксиоматическое дедуктивное построение математической логики (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Решается задача логического обоснования числа, независимости, непротиворечивости и полноты систем аксиом. Возникает «логистика», как изложение математики на языке логики. Идет процесс развития мощного логического анализа и формализации логики.

Получает распространение идея выводимости математики из логики. Фреге, определив понятия «числа» и «количества» в логических терминах «класса» и «отношения», удается формализировать теорию множеств, и представить математику как продолжение логики.

Завершается этот процесс созданием фундаментального трехтомного труда Principia Mathematica (1910-1913) Рассела и Уайтхеда.

В конце XIX века в математике сложилась ситуация очень похожая с таковой в физике к началу 90-х годов, когда утвердилось представление о завершенности классической физики. А затем последовали драматические события, на которых мы останавливались ранее.

На рубеже XIX-XX вв. математика вступает в период острого кризиса, вызванного возникновением серии неразрешимых математических, логических и семантических парадоксов, поставивших под сомнение теорию множеств Кантора и оснований классической математики. Это повергло в отчаяние даже таких крупных математиков как Кантор, Фреге и др. Г. Вейль, даже спустя много лет, писал об этом периоде истории математического знания следующие строки: «Сейчас мы менее чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой «кризис» подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет (эти строки написаны в 1946 г.). На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно «безопасными», и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего » [М. Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С. 387]. «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, - пишет Д.Гильберт, - на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» [Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С.349].

Безуспешные попытки разрешения парадоксов привели математиков к убеждению, что причины кризиса лежат в области фундаментальных понятий и способах рассуждений. Назрела необходимость переосмысления принципов математики и отказа от некоторых старых концепций. И это, в первую очередь, касалось перестройки теории множеств и уточнения самого понятия множества на совершенно новой основе [С. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 42.]. Разрушался сам идеал логики как критерий строгости математического доказательства. Поэтому перед математикой встала задача восстановления былой надежности и достоверности математического знания. Интуитивный характер логических рассуждений и соответствующего языка уже не устраивали ученых [Х. Карри. Основания математической логики. М., 1969. С.26.]. Возникают три исследовательских программы: логицизм, формализм и интуитивизм.

Краткий экскурс в историю современной математики показывает, что в её основании, а, следовательно, и всего математического естествознания лежит фундаментальная теория множеств Кантора с базисным научным понятием актуальной бесконечности. А сама математика, настолько тесно связана с понятием бесконечности, что нередко ее определяют как науку о бесконечном.

Математика, как и другие науки (и философия), довольно глубоко детерминирована фундаментальными духовно-историческими парадигмами. Это убеждение подтверждают работы П.П.Гайденко, посвященные эволюции понятия науки в контексте истории философии [П.П.Гайденко. Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ научных). М. «Наука»,1980. – (без сносок) – [Электронный ресурс]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html ]. И хотя в своих исследованиях автор делает акцент на взаимодействие научного и философского знания, тем не менее, воздействие религиозного контекста на научные программы прослеживается в них не менее однозначно. Влияние религиозных, теологических предпосылок на содержание современной математики убедительно представлены также в работах В.Н. Катасонова [ В.Н. Катасонов. Научно-философские концепции бесконечности и христианство. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html ] и А.А.Зенкина [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ] и др.

Таким образом, представление о том, что математика является свободной (независимой) и универсальной наукой, которая развивается по собственным законам, сильно преувеличено.

2. Краткое содержание теории множеств Г.Кантора.

В основу теории множеств Г.Кантор полагает пифагорейско-платоновскую научную программу, критика которой дана Аристотелем, но которая вновь возрождается в философии Возрождения. Для её обоснования используются теологические аргументы католического учения. Философско-математическая мысль, начиная с XV века, постепенно подготавливала создание этой теории.

Георг Кантор - создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. Основная идея его теории бесконечных множеств состояла в решительном отказе от тезиса Аристотеля об актуально бесконечных множествах. В основу исследования бесконечных множеств Кантор положил идею взаимно однозначного соответствия элементов сравниваемых множеств. Если между элементами двух множеств можно установить такое соответствие, то говорят, что множества имеют одну и ту же мощность, то есть они являются равномощными или эквивалентными. «В случае конечных множеств, - писал Кантор, - мощность совпадает с количеством элементов». Вот почему мощность называют также кардинальным (количественным) числом данного множества [П. Стахов. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца.Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита, возможно, сказалось его еврейское - по отцу - происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора) [Кантор Г. О бесконечных линейных точечных образованиях. // Новые идеи в математике, 1994, №6, С.-Пб.].

Кантор придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. Кантор мыслил свою теорию как совершенно новое исчисление бесконечного, «трансфинитную» (то есть «сверхконечную») математику. Актуальная бесконечность представляет собой как бы «вместилище», в котором разворачивается ряд потенциальной бесконечности и это вместилище должно быть уже актуально данным.

По его идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу . Этой задаче он посвятил жизнь. Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями.

Указанный подход привел Кантора ко многим парадоксальным открытиям, резко противоречащим нашей интуиции. Так, в отличие от конечных множеств, на которые распространяется евклидова аксиома «Целое больше части», бесконечные множества этой аксиоме не подчиняются. Легко, например, установить равномощность множества натуральных чисел и его части – множества четных чисел путем установления следующего взаимно однозначного соответствия: [П. Стахов. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца.Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Множество, согласно Кантору, называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств. Счётным называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел, так как его элементы можно занумеровать [Там же].

Кантор полагал, что множества натуральных, рациональных и алгебраических чисел – имеют одну и ту же мощность, т.е. являются счётными [Там же].

Кантор также пытался доказать что множество N натуральных чисел можно отобразить на часть множества R действительных чисел, тогда как мощность действительных чисел больше мощности множества натуральных чисел [Там же].

В 1886 Кантор стремился доказать, что в единичном квадрате не больше точек, чем в единичном отрезке. Следовательно, мощность двумерного континуума равна мощности континуума одного измерения [Там же].

Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел «болезнью», от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер - учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи» [В мире науки. Scientific American · Издание на русском языке № 8 · Август 1983 · С. 76–86/ Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств].

Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики - работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями. Его теория множеств - один из краеугольных камней математики.

В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально-бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.

3. Великое противостояние канторианцев и анти-канторинцев.

Критика А.А.Зенкиным абстрактной теории множеств

Г.Кантора и « Учения о Трасфинитном».

Среди многочисленной критической литературы, посвященной теории множеств Г.Кантора, особенного внимания заслуживают исследования русского математика А.А.Зенкина. По словам известного математика А.П.Стахова, возможно, именно он (Зенкин) поставит последнюю точку в споре с Кантором и в разрешении математического кризиса в современной математике [ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

В оригинальной статье «Трасфинитный рай Георга Кантора. Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса» русский ученый А.А.Зенкин анализирует эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума, основанной на концепции актуальной бесконечности [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

На протяжении тысячелетий, - отмечает А.А.Зенкин, - отрицательное отношение к понятию АБ поддерживали и разделяли такие выдающиеся ученые и философы как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Беркли, Локк, Декарт, Кант, Спиноза, Лагранж, Гаусс, Кронекер, Лобачевский, Коши, Ф.Клейн, Эрмит, Пуанкаре, Бэр, Борель, Брауэр, Куайн, Виттгенштейн, Вейль, Лузин, и уже в наши дни - Эррет Бишоп, Соломон Феферман, Ярослав Перегрин, Владимир Турчин, Петр Вопенка и многие другие.

Начиная с 70-х годов XIX века возникает резко негативное отношение к теории множеств Георга Кантора, основанной на понятии АБ. А.А.Зенкин приводит примеры наиболее категорических высказываний в её адрес. Так, Анри Пуанкаре пришёл к выводу, что «нет актуальной бесконечности; канторианцы забыли об этом и впали в противоречия. Следующие поколения будут рассматривать канторовскую теорию множеств как болезнь, от которой наконец-то удалось избавиться» [А.Пуанкаре, О науке. – М.: Наука, 1983]. Основатель современной топологии, Л.Брауэр, не менее радикален в своих высказываниях: «канторовская теория в целом представляет собой патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения просто придут в ужас» [А.А.Френкель, И.Бар-Хиллел. Основания теории множеств. - М.:"Мир"].

«Тем не менее и сегодня, - пишет русский математик, - как и в начале ХХ века, имеет место быть «великое противостояние» между мета-математической логикой канторианцев, признающих легитимность канторовского «Учения о Трансфинитном» в форме «ненаивной» (см. ниже) версии этого «Учения», т.е. в форме современной аксиоматической теории множеств (далее - АТМ), основанной на (молчаливом – см. далее) использовании концепции АБ, и математической интуицией анти–канторианцев, отвергающих концепцию АБ и на этой концепции основанное «Учение о Трансфинитном» Г.Кантора» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Использование концепции АБ ведёт к парадоксам логики и математики, механизмы порождения которых остаются нераскрытыми до сих пор. В этой связи, раскрытие логической природы парадоксов и правомерность использования концепции АБ в математике являются актуальными и сегодня. Френкель и Бар – Хиллел отмечают, что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела <АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных … способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно» [А.А.Френкель, И.Бар-Хиллел. Основания теории множеств. - М.:"Мир"].

Абстрактная теория множеств и её утверждение в современной науке, является, согласно А.А.Зенкину, ярким образцом лже-науки, беспрецедентным случаем создания ложного мифа в науке посредством применения РR – технологий.

Более того, А.А.Зенкин невольно раскрывает подлинную нелицеприятную сущность современной науки как социального института: «АТМ-инициатива породила такое масштабное негативное явление как бурбакизм, т.е. излишнюю, ненужную, бессмысленную, оглупляющую, отупляющую и зомбирующую формализацию математики и математического образования . Характеризуя негативные последствия подобной бурбакизации, выдающийся российский математик и педагог, академик В.И.Арнольд пишет: «В середине ХХ столетия обладавшая большим влиянием мафия «левополушарных математиков» сумела исключить геометрию из математического образования …, заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями. Подобное абстрактное описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений. Современное формализованное (бурбакизированное) образование в математике - полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества. Будущее математики, инфицированной этой болезнью, выглядит довольно мрачным» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Русский математик формулирует четыре примера «лжи во спасение АТМ Г.Кантора»:

Ложь первая. «Математика – королева всех наук, а АТМ – королева математики»! По этому поводу, А.А.Зенкин пишет, что современная АТМ морочит голову профессиональному математическому сообществу и зомбирует молодое поколение математиков. Канторианцы утверждают, что если в начале XX века немало выдающихся математиков категорически отвергало АТМ как лже-науку, то сегодня, « современные математики, наконец-то, прозрели по тому поводу , что все бесконечности – актуальны , одумались на тот предмет, что теория конечных натуральных чисел «выводима» из теории трансфинитных чисел, что понятие пустого множества дедуцируется из понятия актуально-бесконечного множества, что вся современная математика может быть выведена из АТМ и официально признали, что «Математика – Королева всех наук, и АТМ – Королева Математики»! Все вчерашние противники АТМ сегодня согласны с тем, что АТМ является выдающимся достижением современной математики, достижением, которое изменило лицо всей математики ХХ века» [Там же].

«Это есть эмпирический факт, - уже в наши дни дружно зомбируют научное сообщество Мартин Дэвис и Ройбен Херш, - что около 90% работающих математиков приняли канторовскую теорию множеств, как в теории, так и практически, до некоторой степени » [Там же].

Тогда, как на самом деле, отмечает А.А.Зенкин, канторианцы намеренно лукавят и не проводят существенного различия между языком абстрактной теории множеств и учением Кантора о трансфинитных ординалах и кардиналах. Действительно, язык теории множеств стал универсальным математическим языком. В то время, как учение об трансфинитных ординалах и кардиналах, по причине их абсолютной бесполезности, 90% реально работающих математиков нигде не применяют. Из оставшихся - 9% математиков категорически не приемлют это учение, и только 1% составляют АТМ-адепты или бурбакисты.

Вторая ложь. В основу современной АТМ положен вопиющий лже-научный, полу-криминальный «метод решения» фундаментального научного вопроса о логической природе математической бесконечности . Его сущность состоит в том, что канторовская теория множеств, основанная на концепции АБ, была объявлена «наивной», а сам термин АБ был выведен за рамки респектабельной мета-математической науки. Это была одной из самых эффективных PR-акций, когда-либо реализованных в истории науки.

Тем не менее, современная теория АТМ позаимствовала из «наивной» теории теорему о несчетности континуума, доказательство которой основано на использовании очевидно противоречивого понятия АБ. В этой связи, А.А.Зенкин канторовскую теорию множеств рассматривает как один из основных источников Третьего Великого Кризиса оснований математики, который продолжается до сих пор.

Третья ложь. Условия доказательства АТМ не формулируются явно, а подразумеваются на уровне философских положений. С точки зрения классической логики и математики, «допущение АБ» представляет собой необходимое условие дедукции большинства теорем АТМ.

Четвертая ложь. Теория множеств не смогла, в конечном итоге, устранить потенциальность с помощью научной методологии, т.е. доказать противоречивость концепции ПБ. АТМ пошла по другому пути. Она объявила проблему легитимности применения АБ - философской. А.А.Зенкин усматривает в этом инстинкт самосохранения сторонников АТМ, поскольку попытка дать строгое определение понятию АБ приведёт к очевидному пониманию его противоречивости. А это поставит под угрозу неплохо «фондируемое» и ставшее привычным благополучие АТМ-завсегдатаев канторовского «трансфинитного рая». Таким полукриминальным и лженаучным способом АТМ – «клан», расправился со своими оппонентами.

И, наконец, пятая ложь. Навязывание математическому сообществу «ужастика», что доказательство Теоремы о несчетности континуума является столь сложным, что доступно только избранным профессионалам. Многие математики поверили в этот миф и признали свою некомпетентность при обсуждении фундаментальной теоремы Кантора о несчетности континуума. В качестве доказательства вопиющей ложности этого мифа А.А.Зенкин предлагает сравнить методологию доказательства теоремы Кантора и всем известной теоремы Пифагора.

В теореме Пифагора, отмечает А.А.Зенкин, в доказательстве используются три (!) элементарных понятия математики (понятие прямоугольного треугольника, понятие подобия треугольников, понятие пропорции) и выполняются три (!) математические операции: два умножения и одно сложение алгебраических выражений. Само доказательство (без рисунка) занимает 5 (пять!) строчек. В доказательстве Кантора используются три (!) элементарных понятия математики (понятие натурального числа, понятие действительного числа и понятие бесконечной последовательности занумерованных действительных чисел) и не выполняется ни одной (!) математической операции. Само доказательство занимает 5 (пять!) строчек, написанных на языке элементарной логики второй половины XIX века [Там же].

Корректность этого доказательства встречает серьезные возражения со стороны выдающихся математиков, логиков и философов. «По своим парадигмальным последствиям для философии, логики, математики и психологии познания теорема Кантора не имеет себе равных. Столь различная эпистемологическая «судьба» столь похожих по формальным критериям (и по «кричащей» тривиальности доказательств) указанных теорем объясняется тем, что доказательство теоремы Кантора использует (неявно) противоречивое понятие актуальной бесконечности » [Там же].

На этом аргументе А.А.Зенкин не останавливается и переходит непосредственно к анализу диагонального метода (ДМ) как доказательства теоремы Кантора о несчетности континуума.

Рассматривая каноническую форму ДМ, русский ученый приходит к выводу, что «его (Кантора) диагональное доказательство количественной несоизмеримости двух бесконечных множеств X и N основано на том факте, что бесконечное множество X всегда содержит один лишний элемент (канторовское новое АД-д.ч. х*), для нумерации которого, «как всегда», не хватает одного элемента из бесконечного множества N, или, формально, из того факта, что бесконечное множество X имеет на один элемент больше, чем бесконечное множество N. Я думаю, это - именно то место канторовского доказательства, которое всегда вызывало категорическое отторжение (неприятие) со стороны научной интуиции выдающихся математических профессионалов (см. Список-1)» [Там же]. А.А.Зенкин приводит оценку подобного доказательства Витгенштейном: « Человек день за днем трудится в поте лица своего – составляет список всех действительных чисел, и вот, когда список, наконец-то, закончен, появляется фокусник, берет диагональ этого списка и на глазах изумленной публики с помощью таки-довольно «эзотерического» алгоритма превращает ее в … анти-диагональ, т.е. в новое АД-действительных чисел, которое не содержится в исходном списке. Такого рода диагональное доказательство Кантора представляет собой занятие для идиотов, которое не имеет никакого отношения к тому, что в классической логике принято называть дедукцией» .

Более того, русский математик впервые обнаруживает уникальный факт в канторовском доказательстве. Ключевым моментом канторовского доказательства является явное использование метода контр-примера. А « сам контр-пример не отыскивается в множестве всех возможных реализаций данного общего утверждения, а алгоритмически дедуцируется из того общего утверждения, которое этот контр-пример и призван опровергнуть (в форме дедуктивного вывода , здесь B= «список (1) содержит все д.ч. из Х»)» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

В результате знакомства АТМ-профессионалов с открытием А.А.Зенкина возникла острая полемика, в которой « проявился весь липовый профессионализм ряда признанных АТМ-авторитетов именно в области элементарной логики» [Там же].

Резюмируя итоги полемики, А.А.Зенкин приходит к следующему неожиданному выводу: « Возникает скандальная ситуация! – Более ста лет выдающиеся (и не очень) профессионалы в области мета-математики, математической логики, аксиоматической теории множеств и прочие бурбакисты каждый год учат (правильнее сказать зомбируют) новые поколения студентов, «как правильно доказывать» несчетность континуума с помощью знаменитого диагонального метода Кантора, абсолютно не понимая логической природы этого метода!

Воистину, «патологический казус, от которого, - согласно Брауэру, - грядущие поколения придут в ужас»! – Или, скорее, будут смеяться «от глубины души», но … «до полного упаду». – Над кем? – Я думаю, что над теми 90% «работающих» математиков, которые на целое столетие «совершенно бескорыстно» уступили свою «королеву всех наук» для явно «нецелевого использования» «левополушарными больными». Ибо смеяться над больными, даже левополушарными – грешно и бессмысленно» [Там же].

Завершает критический анализ ДМК–доказательства русский математик историей драматического парадокса Давида Гильберта, предложенного около 80 лет назад. В 20-х годах прошлого века Д.Гильберт, для демонстрации фундаментальных различий между конечными и бесконечными множествами в канторовской теории множеств, предложил популярный парадокс под именем «Гранд Отель». Изложение самого парадокса довольно громоздко, поэтому сформулируем его сущность. Парадокс «Гранд Отель» демонстрирует фундаментальное свойство бесконечных множеств: «… если к бесконечному множеству прибавить конечное или счетно-бесконечное множество, то мощность первого множества не изменится» [Там же].

Сравнивая ДМК-доказательство с парадоксом Д.Гильберта, А.А.Зенкин приходит к замечательному выводу: ДМК-доказательство несчетности континуума является дедуктивной моделью (в смысле Тарского) парадокса «Гранд Отель» Д.Гильберта.

В парадоксе Д.Гильберта мы имеем дело потенциально-бесконечным процессом, который имеет следующее фундаментальное свойство: пока этот процесс не закончится, « нет никаких (логических и математических) оснований утверждать, что допущение «Х - счетно» является ложным. Следовательно, в том случае, если множество Y 1 является счетно-бесконечным, утверждение Теоремы Кантора «Х - несчетно» - недоказуемо» [Там же].

Приведенные аргументы, делает вывод А.А.Зенкин, свидетельствуют что «теорема Кантора о несчетности континуума – недоказуема. Это значит, что различение бесконечностей по количеству элементов является мифотворчеством. Но если несчетность континуума недоказуема, то теория трансфинитных множеств Г.Кантора является не просто «наивной», а откровенной лже-наукой, и потому трансфинитный «рай» Г.Кантора может быть закрыт без всякого ущерба для реально «работающей» математики» [Там же].

Завершая изложение критических исследований А.А.Зенкина, посвященных теории бесконечных множеств Георга Кантора, хотелось бы подчеркнуть важность его следующего вывода. Теорема Кантора является неверной с точки зрения классической логики Аристотеля.

4. Критика аксиоматического подхода А.А.Зенкина

Аксиоматический подход, предложенный А.Зенкиным для понятия АБ и ПБ является, с нашей точки зрения, методологически не корректным.

Аксиома Аристотеля и аксиома Кантора сформулированы через понятие бесконечности, которое строго и формально не определено. Исходя из формулировки аксиом следует, что ПБ и АБ являются видами бесконечного как такого, т.е. рода.

Второй момент. Понятие ПБ и АБ Аристотель рассматривал исходя из собственного учения о бытии и сущности основанной на законах классической логики (традиционной). В то время как Кантор, в своей теории множеств исходил из пифагорейско-платоновской исследовательской программы. Учение о бытии и сущности у Платона альтернативное перипатетической философии и согласуется с диалектической логикой и принципом совпадения противоположностей.

Аристотель не рассматривал понятия АБ и ПБ как контрадикторные, прежде всего потому, что понятие бесконечности является очень специфическим и к нему неприложимы принципы и законы традиционной логики. Аристотель называл его незаконнорожденным понятием, которое вообще не дано ни нашему чувству, ни мышлению. Бесконечное существует только в возможности, а не в действительности. Ибо если бы оно существовало в действительности, то было бы неким (определенным) количеством, или конечной величиной. Следовательно, бесконечное существует как свойство.

Бесконечность, согласно Аристотелю, есть там, где беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним. А там где вне ничего нет – это целое. Бесконечное это то что отсутствует у нечто, будучи вне его. «Целым и ограниченным (бесконечное] оказывается не само по себе, а по отношению к другому; и поскольку оно бесконечно, оно не охватывает, а охватывается. Поэтому оно и не познаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы. Таким образом, ясно, что бесконечное скорее подходит под определение части, чем целого, так как материя есть часть целого, как медь для медной статуи. Если же оно охватывает чувственно воспринимаемые предметы, то и в области умопостигаемого «большое» и «малое» должны охватывать умопостигаемые [идеи], но нелепо и невозможно, чтобы непознаваемое и неопределенное охватывало и определяло» [Аристотель. Собр. соч. в 4-х томах. Т.3, Москва, «Мысль», 1981, C.120].

Следовательно, у Аристотеля концепция бесконечности рассматривается в тесной связи с ключевыми категориями его философии: формы - материи, возможности - действительности, части – целого. В этом контексте понятие АБ не контрадикторное ПБ, а совершенно немыслимое с точки зрения логики Аристотеля. Контрадикторное ПБ является скорее понятие конечного, как отношение неопределенного и определенного. Если же ПБ рассматривать в контексте часть – целое, то ему больше подходит определение части. Тогда по отношению к нему, актуально бесконечному более соответствует понятие целого. В этом случае ПБ является понятием соподчиненным понятию АБ. Именно так и трактовал его сам Г.Кантор.

Таким образом, для Аристотеля можно говорить только о бесконечности в единственном смысле как ПБ. Не может к нему находиться в отношении понятие, которое не признаётся как понятие, т.е. АБ. Да и само понятие ПБ является неопределенным, непознаваемым и не имеющим действительности.

Вот этот особенный статус понятия бесконечности, о котором говорит Аристотель, и не позволяет к нему применить традиционные операции формальной логики. Понятие ПБ не является математическим объектом в строгом смысле слова.

То, что понятие бесконечности не принадлежит, в строгом смысле, к математике, следует из определений числа и величины. Приводим, ещё раз, определение Аристотеля. “Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, и величина - если измеримо. Множеством же называется то, что в возможности делимо на части не непрерывные, величиной - на части непрерывные… Из всех этих количеств ограниченное множество есть число, ограниченная длина линия, ограниченная ширина - плоскость, ограниченная глубина - тело» [Аристотель. Соч. в 4-х томах. Том 1. М.: Мысль, 1976, С.164]. Из приведенного отрывка Аристотеля следует, что основным предметом математики выступает понятие величины и числа. Число это ограниченное множество, величина это - ограниченное геометрическое пространство (линия, плоскость, тело). Неограниченное множество и неограниченное пространство и есть бесконечность, как две формы количества, не имеющие границ, конца или предела. Поэтому они являются неопределенными, а, следовательно, и непознаваемыми.

Более того, бесконечность для Аристотеля это свойство мышления, прежде всего, а не предмета физики или математики. « Доверять же мышлению в вопросе о бесконечном нелепо, так как избыток и недостаток (в данном случае) имеются не в предмете, а в мышлении. Ведь каждого из насможно мысленно представить во много раз больше, чем он есть, увеличивая егодо бесконечности, однако не потому находится кто-то за городом или имеет какую-то величину, что так мыслит кто-то, а потому, что так есть [на самом деле]; а то, [что кто-то так мыслит], будет [для него] случайным обстоятельством» [Там же]. Если бесконечное не существует в предмете, то, что мы тогда аксиоматизируем – деятельность мышления? А какое отношение к этому имеет математика? Ведь её предметом является чистое количество: число и величина?

Понятие актуальной бесконечности Кантор конструирует, следуя традиции пифагорейцев, которые, как свидетельствует Аристотель, «составляли величины из чисел». Кантор полагает, что непрерывную величину можно измерить числом как истинным множеством неделимых единиц. Понятно, что такой подход совершенно неприемлем для Аристотеля. Для него величина делится только на делимые части. Следовательно, величина не может быть составлена из неделимых. В противном случае, не получат разрешения апории Зенона о противоречии движения, а также невозможно будет объяснить возможность движения, непрерывность времени и пространства.

Согласно аксиоме Кантора, по Зенкину, следует, что он отрицает потенциальную бесконечность. Кантор не только не отрицал ПБ, но вообще не рассматривал её как собственно бесконечное. Для него ПБ - это переменная конечная величина. Более того, он полагал, что если принимать ПБ, то тем более следует принимать АБ.

Вывод следующий. В аксиомах Аристотеля и Кантора, сформулированных Зенкиным, не отражается действительное отношение к понятию ПБ и АБ Аристотеля и Кантора. В обоих аксиомах, в аксиоме Аристотеля (IV век до н.э.): «Все бесконечные множества являются множествами потенциально-бесконечными», и в более ста лет де-факто существующей и контрадикторной ей аксиоме Кантора (XIX век н.э.): «Все бесконечные множества являются множествами актуально-бесконечными» [ см. А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], родовое понятие «бесконечное множество» - определяется через свой вид. В аксиоме Аристотеля – через потенциально-бесконечные множества, в аксиоме Кантора – через актуально- бесконечные множества. Ни понятие ПБ, ни АБ, не являются математическими объектами в строгом смысле слова, поскольку они существуют только в возможности, непознаваемы и неопределены. Понятие АБ и ПБ не являются ни числом, ни величиной, а есть свойство нашего абстрактного рассудочного мышления.

Все сказанное не имеет отношение к той части работы Зенкина, в которой он на основе классической логики доказывает, что теорема Кантора о несчетности континуума недоказуема. Зенкин показал, что диагональный метод Кантора (ДМК), положенный в основу доказательства теоремы является специфической версией контр-примера, хорошо известному ещё Пифагору и Евклиду. А знаменитый парадокс «Гранд Отель» Д.Гильберта является дедуктивной моделью (в смысле А.Тарского) ДМК-доказательства несчетности континуума Г.Кантора. На основании этой модели, Зенкин делает вывод, что ДМК-доказательство является некорректным с точки зрения классической логики. Следовательно, несчетных множеств не существует, и все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. Таким образом, все грандиозное «Учение о трансфинитном» Г.Кантора терпит крах.

Таким образом, главный вывод, который напрашивается при внимательном изучении теоремы о несчетности континуума и основанная на ней теории трансфинитных чисел Кантора, состоит в том, что её ложность довольно легко (как показал А.А.Зенкин) опровергается на основе классической логики Аристотеля.

И не менее важный, последний вывод. Теория Кантора не случайное явление в европейской математике, а закономерный результат отождествления понятий числа и величины, приведший к постепенной арифметизации математики, её спекулятивности и неумеренной абстрактности.

5. Тайна потенциальной бесконечности

Не менее важный вопрос, который невольно затронул Зенкин, доказывая противоречивость теоремы Кантора о несчетности континуума, имеет непосредственное отношение к сущности признанной в математике потенциальной бесконечности.

В 20-х годах прошлого века Давид Гильберт предложил популярный парадокс под именем «Гранд Отель» (далее, для краткости, - ГО), который иллюстрирует фундаментальное различие между конечными и бесконечными множествами в канторовской (равно как и в современной аксиоматической) теории множеств. Изложение самого парадокса мы не будем делать, поскольку он довольно громоздкий. Его содержание состоит в том, что он очень наглядно демонстрирует основное свойство бесконечных множеств: если к бесконечному множеству прибавить конечное или счетно-бесконечное множество, то мощность первого множества не изменится.

Зенкин показывает, что ДМК-доказательство несчетности континуума является дедуктивной моделью (в смысле Тарского) парадокса ГО Д.Гильберта [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Установив, что в методе ДНК Кантор использует не АБ, а ПБ процесс, Зенкин отмечает, что никто не узнает истинность утверждения этой теоремы, поскольку бесконечный процесс не имеет последнего элемента.

Зенкин показал, актуальная бесконечность Кантора, являясь необходимым условием ДМК-доказательства несчетности континуума, в действительности, представляет собой потенциально -бесконечное «рассуждение». «Это доказывает, что «актуальное » и «бесконечное» в рамках канторовского доказательства Теоремы о несчетности континуума являются (логически и алгоритмически) контрадикторными понятиями, и, следовательно, понятия «актуальное » и «конечное » являются алгоритмически тождественными » [Там же]. А если это потенциально бесконечное утверждение, то его истинность установить невозможно, поскольку бесконечный процесс не имеет последнего элемента. Этот вывод Зенкина подтверждает наше предположение, что понятию ПБ контрадикторно понятие конечного, а не АБ.

«Таким образом, - пишет Зенкин, - впервые доказано великое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Евклида, Лейбница, и многих других (см. Список-1) выдающихся логиков, математиков и философов о том, что «актуальная бесконечность » является внутренне противоречивым понятием (нечто вроде «оконеченной (Кантором) бесконечности ») и потому его использование в математике – недопустимо» [Там же].

К сожалению, доказывать внутреннюю противоречивость понятия актуальной (завершенной, т.е. законченной, оконеченной) бесконечности, является, в известной мере, напрасный труд, ввиду его очевидной непосредственной противоречивости. В рамках классической аристотелевской логики это просто невозможно. В контексте спекулятивной (диалектической) логики, которая отрицает закон противоречия, это вполне допустимо.

Зенкин также обнаруживает, что каноническая форма канторовского диагонального» доказательства теоремы о несчетности континуума, тождественна канонической бесконечной форме (П2) парадокса «Лжеца»:

«Некто утверждает «Я - лжец». - Лжец ли он? Если он лжец, то он лжет, утверждая, что он лжец; следовательно, он не лжец. Но если он не лжец, то он говорит правду, утверждая, что он лжец; следовательно, он лжец, или, короче (здесь А =»Я - лжец»): и [ØA ® A] (П1)» [Там же]

Зенкин также отмечает, « Что моделирование парадокса лжеца не аналоговой вычислительной машине, доказывает. Что этот парадокс имеет не не конечную форму а следующую бесконечную A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® … (П2) и не существует логических и математических причин, поводов или оснований для завершения этого потенциально -бесконечного процесса» [Там же].

В итоге, русский математик делает любопытный вывод. « Следует подчеркнуть, что именно бесконечная форма (П2) реализует необходимые и достаточные условия (в строгом логическом и математическом смысле) самого феномена парадоксальности. В таком случае истинная «семантика» этого парадокса состоит вовсе не в том, что высказывание «Я - лжец» «не может быть ни истинным, ни ложным», а в том, что это высказывание, напротив, является одновременно и истинным, и ложным «в одно и то же время, в одном и том же месте и в одном и том же отношении». Другими словами, в парадоксе «Лжец» в форме (П2) смешаны-перемешаны истина и ложь, а это значит, что истина и ложь становятся неразличимыми »[Там же].

С этим трудно не согласиться. Согласно Платону, беспредельное есть то, что имеет неопределенно-количественную характеристику и не допускает строгого определения. Беспредельное он называет «неопределенной двоицей», оно всегда имеет два значения и не может принять одного значения, не может определиться «… бесконечное может существовать так, как существует день или как состязание - в том смысле, что оно становится всегда иным и иным » [П.П.Гайденко. История греческой философии в её связи с наукой. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Возникает вопрос, каков логический смысл платоновского понятия бесконечного как процесса «становления всегда иным и иным»? На наш взгляд, в самом понятии потенциальной бесконечности неявно заложен принцип, отрицающий закон противоречия. Это «иное и иное», вместо «нечто либо иное», есть принцип неопределенности. Если закон противоречия в интерпретации Аристотеля формулируется следующим образом: «Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же смысле», то, в нашем случае с определением ПБ, «одно и то же» тождественно по смыслу понятию «иного» у Платона. Следовательно, в определении Платона, мы имеем дело с утверждением, отрицающим закон противоречия. Например, рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5… как пример потенциальной бесконечности. Если мы возьмем любую пару соседних чисел, то невозможно, чтобы истинными были все три типа их отношений по величине: 3 >4, 4 >3, или 3 =4. Если мы возьмём конечное число 4, то, например, в отношении его величины, оно не может быть больше самого себя. Тогда как, в бесконечном числовом ряде, значение числа всегда меняется, и мы не можем применить закон противоречия как закон определенности к нему. Поэтому, потенциальной бесконечности, в равной степени, присущи все числа натурального ряда: и 1, и иное(2), и иное (3), и иное (4). Поэтому знак дизъюнкции надо заменить на конъюкции. А введение закона coincidentia oppositorum вместо закона противоречия, приводит к парадоксам. А что такое парадокс? Это противоречивое суждение.

И наконец, пример парадокса Лжеца. Некто говорит: «Я лгу». Если он при этом лжет , то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно [Логический словарь-справочник. Н.И. Кондаков. Наука. М.,1976. С.433]. В этом парадоксе мы имеем дело с сознательным нарушением закона противоречия. Невозможно, чтобы некто в одном и том же отношении лгал и не лгал. А это нарушение заложено в структуре парадокса.

Таким образом, как показывает Зенкин, и это следует из анализа этого парадокса на основе классической логики, нарушение закона противоречия неявно заложено в содержании понятия потенциальной бесконечности, которая и приводит к феномену парадоксальности . Если мы говорим о ряде натуральных чисел, то каждое из натуральных чисел составляющих ряд, и входит и не входит в бесконечный ряд натуральных чисел. Сначала число, например 5, входит, когда мы при исчислении дошли до него, а затем, его меняет число 6 и так далее. Определенность постоянно меняется, а, следовательно, возможно невозможное, появления парадоксов.

Если в понятии АБ противоречивость и парадоксальность этого понятия очевидна, то в понятии ПБ она скрыта.

Постигая природу ПБ, нельзя обойти вниманием понятия арифметической и геометрической бесконечности. Рассмотрим эти понятия подробнее.

Последовательность натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, (1)

представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Уже со времен Гегеля арифметическую бесконечность натурального ряда 1+1+1+ … в силу ее бесперспективности именуют «плохой» или «дурной» бесконечностью.

Геометрическая бесконечность состоит в неограниченном делении отрезка пополам. Паскаль писал по поводу геометрической бесконечности следующее: «Нет геометра, который бы не полагал, что пространство делимо до бесконечности. Без этого нельзя ему обойтись, как человеку нельзя быть без души. И тем не менее нет человека, который понимал бы бесконечную делимость …» [ А.П. Стахов Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. Потенциальная и актуальная бесконечности. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Действительно, это предельно важнейший вопрос, который неразрешим в рамках господствующей сейчас антропоцентрической парадигмы.

«Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, - пишет Д.Гильберт, - является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый объём жидкости, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в физике материи достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «natura non facit saltus» (природа не делает скачков) противопоставить антитезу: «природа делает скачки» [Гильберт Д. О бесконечном. Источник сканирования: Гильберт Д. О бесконечном //Его же. Основания геометрии. - М.-Л., 1948. 491 c. (сокращённая статья из Mathematischen Annalen, т. 95.) – [Электронный ресурс]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm ].

«Бесконечная делимость существует только в математике. В природе, опытами физики и химии нигде не встречается – следовательно, это только математическая идея – продукт математического мышления! Идея бесконечной вселенной господствовала долгое время до Канта и после. Но это представление является оборотной стороной ограниченности нашего опыта и процесса познания» [Там же].

Свойство геометрической бесконечности как неограниченной делимости отрезка пополам неразрешимо в рамках геометрии, а требует привлечения философии и теологии.

Во-первых, процесс деления отрезка выражает фундаментальное свойство рассудочного мышления - разрушение (деление) исследуемого предмета. Рассудок по отношению к своим предметам действует разделяющим образом, благодаря этому достигается определенность.

Во-вторых. Бесконечная делимость отрезка связана с тем, что геометрический отрезок есть форма непрерывного количества. А само количество есть абстракция чувственных вещей безразличная к качеству.

В предметном вещном мире чистого количества нет, все вещи имеют меру и благодаря ей тождественны себе и отличаются от других. Мера же есть непосредственное единство качества и количества. В геометрическом отрезке мы имеем дело с безмерностью, т.е. выхождением меры за пределы своей качественной определенности. Любая предметная вещь имеет границы своего качественного бытия. Если они разрушаются, то и разрушается сама вещь. Поэтому чувственную (конечную) вещь нельзя делить до состояния потенциальной (дурной) бесконечности. Качественная определенность вещи противостоит этому процессу деления. Например, кусок дерева можно делить до тех пор, пока куски от деления сохраняют свойства этого дерева, т.е. до молекулярной границы молекулы целлюлозы. Дальнейшее деление молекулы целлюлозы это процесс деления уже другой вещи, следовательно, процесс деления древесины имеет нижнюю границу - молекулы целлюлозы. Молекулярное деление нижнюю границу будет иметь на атомном уровне. Деление конкретных атомов элементов приведет к делению до уровня субатомных частей и т.д. Следовательно, любое деление предметных вещей конечно. Если же мы рассматриваем процесс деления без учёта качества и меры, то процесс деления действительно становится бесконечным. Но, что мы тогда мерим? Абстракцию конечных вещей – материю. Материи как предметной чувственной вещи (в естественной, нативной, неизмененной реальности) не существует, это такой же продукт отвлеченной мысли, как и сам геометрический отрезок.

Таким образом, и геометрический отрезок и материя делимы до дурной (потенциальной) бесконечности. Но здесь мы имеем дело не с реальными чувственными вещами, а с чистым количеством, которое не имеет меры в самом себе, поэтому постоянно выходит за свои пределы. Не случайно, Гегель в «Науке логики» писал, что понятие количества содержит в себе необходимость выхождения за свои границы.

Возвращаясь к определению Аристотеля: «Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто…» [Аристотель. Соч. в 4-х томах. Том 1. М.: Мысль, 1976, С.164], очевидно, что математика имеет дело с чистым количеством, т.е. не с чувственным количеством конечных вещей, которые изучает физика, а с абстрактным чистым безмерным количеством – числом и величиной. Поэтому в чувственной природе как предмете физики нет не только актуальной, ни потенциальной бесконечности. Мир конечен как в экстенсивном, так и в интенсивном смысле. Не случайно, Аристотель отмечал, что бесконечное не дано ни чувству, ни уму, и называл его незаконным понятием . Бог расположил всё в тварном мире согласно мере, числу и величине (Священное Писание).

В своей иерархии форм познания, Аристотель после метафизики (под которой он в строгом смысле понимал теологию как науку о вечном) как первой философии, ставил физику, а уже затем математику. И это совершенно справедливо, поскольку предмет математики – чистое количество, имеет свои корни в чувственной вещественной природе. Её предметом выступают число и величина как формы абстрактного количества. Историческое развитие абстрактной формы в математике привело к тому, что основным предметом её изучения стала сфера идеальных математических объектов: число, величина, точка, прямая, множество и т.д., во многом не совпадающая с миром реальных физических объектов. Понятие потенциальной бесконечности – одно из них. Следовательно, вывод, который здесь напрашивается, состоит в том, во-первых, что необходимо чётко осознавать особенности и границы математики и естественных наук. И, во-вторых, в исследовании природы (физике, биологии и т.д.) необходимо опираться и исходить из содержания непосредственного предмета, а не из априорных математических моделей. И хотя история математики имеет много примеров обратного взаимодействия, тем не менее, эта практика имеет много принципиальных исключений.

6. Теория чисел и теория множеств Г.Кантора

«Предмет теории чисел совпадает с

предметом (изучения) всей математики».

А.М.Виноградов

Исторически, формирование понятия числа происходило на основе формальной операции обобщения (расширения) объема за счёт включения в состав его новых видов чисел (множеств).

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …

При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости - при помощи мерного сосуда и т.д.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: где m и n - целые числа; - сокращение дроби; - расширение. Дроби со знаменателем 10 n , где n - целое число, называются десятичными.

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа, давшего его геометрическое истолкование как направленности отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Введение действительных чисел происходило путём присоединения к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней, примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Отчётливое определение понятия действительного числа даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного числа, рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором - самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных чисел разбить на два класса так, что каждое число первого класса будет меньше каждого число второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего числа, а во втором - наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные числа, нуль и все положительные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму - все положительные числа., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального числа.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных чисел сопоставляется иррациональное число, которое считается большим, чем любое число первого класса, и меньшим, чем любое число верхнего класса. Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного числа отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное число определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных чисел, которая мыслится как данная вся целиком.

Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая):

а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением;

б) начало отсчета - точка 0;

в) единица масштаба

[Большая советская энциклопедия. – [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Число ].

К настоящему времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней

[Анищенко Евгений Александрович. «Число как основное понятие математики». – [Электронный ресурс]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401 ].

Русский ученый Озолин Э.Э. высказал важную мысль, которая очень точно передаёт современную интеллектуальную атмосферу в математическом сообществе. Все знают, что теория чисел является самым сложным и важным разделом математики. Тем не менее, теорию чисел как бы не замечают. Тогда как самые незначительные изменения в этой теории, способны вызвать «шторм» во всех разделах математики [Озолин Э.Э. (Ozes) Октябрь 2004 года. Понятие числа. – [Электронный ресурс]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm ].

Более того, - с удивлением пишет Э.Э.Озолин, - несмотря на то, что древние греки знали о числах далеко не всё, более печальным является то обстоятельство, что «у современных математиков (не говоря уж обо всех остальных) понятия и знания о числе порой уступают древнегреческим.

Это, согласитесь, уже нонсенс » [Там же].

В качестве подтверждения этого соображения, Э.Э.Озолин проводит исторический анализ принципов построения понятия числа и приходит к следующему выводу. Европейская математика, особенно с XIII века, понятие числа строит по принципу вложенности сфер Фалеса, «то есть, множество натуральных чисел вкладывают в множество целых чисел, множество целых чисел вкладывают в множество рациональных чисел, множество рациональных чисел вкладывают в множество действительных чисел, множество действительных чисел вкладывают в множество комплексных чисел и т.д.)» [Там же]. « И, несмотря на то, что и Курт Гёдель с позиций формальной логики (еще в 1931 году), и я с позиций метаматематики, уже давно доказали и передоказали, что пятислойная структура вложенных сфер не может быть полной и логически верной, мы вновь и вновь сталкиваемся с ошибочными «школьными догмами» в виде якобы справедливых утверждений о том, например, что натуральные числа являются подмножеством рациональных чисел.

Поэтому я еще раз хочу обратить Ваше внимание на то, что такого не может быть. Например, в рамках математики мы можем говорить лишь о формальном равенстве натурального числа 1 (единица) рациональному числу 1.00(0) единице. При этом логический, математический (и физический!) смысл этих чисел совершенно разный. Например, натуральная единица есть число, которое при сложении с имеющимся дает следующее число, рациональная единица - число, при умножении на которое данное число не меняет смысл!!! Как единица может изменить смысл» [Там же] ???

«Более того, - продолжает Э.Э.Озолин, - натуральные и рациональные числа принадлежат совершенно разным металогическим структурам. Поэтому мы не можем говорить даже о формальном математическом родстве этих чисел.

На первый взгляд может показаться, что обозначенная мной проблема логического различия натуральных и рациональных чисел «яйца выеденного не стоит». А большинство математиков, если и согласятся со мной, но наверняка скажут, что «единицы - они и в Африке единицы, и какая разница какой математический и логический смысл в них вкладывать, одинаковый или разный» [Там же].

Но такой взгляд большое заблуждение - “вредный миф школьного образования», который не имеет под собой никакой математической и логической базы. «И при более внимательном и подробном рассмотрении оказывается, что различие в логическом смысле натуральных и рациональных чисел влечет за собой достаточно серьезные последствия практического применения математики» [Там же].

И в заключение, Э.Э.Озолин делает следующий откровенный вывод: «… математика - очень вольная наука, и строгость математики лишь кажущаяся. В математике можно строить любые, самые невероятные аксиоматические структуры, и исследовать их, какими бы бессмысленными и отвлеченными от реальной действительности они не были. Другими словами, выдумывай и пробуй сколько душе угодно. В метаматематике это сделать практически невозможно, и все структуры метаматематики, так или иначе, связаны с реальной действительностью. Как это ни парадоксально, но реальная действительность оказывается гораздо богаче «нашего воображения «[Там же].

Возвращаясь к непосредственной теме нашего исследования, можно сделать следующий вывод. Все виды чисел (числовых множеств) имеют различную логическую природу и математические свойства. Поэтому методологически неверно строить теорию чисел путём непосредственного обобщения. Первостепенное отношение этот вывод касается натуральных и действительных чисел. Единица натуральных чисел и единица действительных чисел имеют совершенно различное происхождения и различные математические свойства. Нельзя линейкой измерить количество яблок; в равной мере, невозможно, только умея считать и не имея под рукой линейки, - измерить длину стола. Невозможно одно свести к другому. Единица первых неделима, тогда как вторых обязательно делима. Натуральные целые числа и есть собственно числа в строгом смысле, тогда как действительные числа принадлежат к такой форме количества как величина. Смешение формы числа и величины, идущее ещё от пифагорейцев, является главным источником современного кризиса в математике и важнейшей предпосылкой арифметизации геометрии и теории множеств Г.Кантора, поскольку идея построения делимых математических объектов из неделимых лежит в основе конструирования понятия актуальной бесконечности Г.Кантора.

Ещё одно замечание. Современные математики не только не понимают природу числа, как правильно подметил Э.Озолин, но и не понимают логической и математической природы величины и других фундаментальных понятий математики (например, множества).

Вот, например, что пишут известные математики о величине:

«Величина - одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений», - пишет А.Н. Колмогоров [ Колмогоров А.Н. Величина. - БСЭ. - Т. 7. - М., 1951. C. 340]. «Эта … теория - учение о величине - играет вряд ли не важнейшую роль в деле обоснования всей математики», - писал крупный советский математик В.Ф. Каган [ Каган В.Ф. Очерки по геометрии. - М.: Московский университет, 1963. С. 109].

Остановимся на последнем, у которого смысл понятия величины наиболее последователен и ясен. «…для математика, - писал В.Ф.Каган, - величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения» [Там же, С. 107]. Другими словами, величина– это множество однородных предметов, сопоставление элементов которых позволяет применить термины «равно», «больше», «меньше». Возникает встречный вопрос, если мы сопоставим определенное множество натуральных чисел с другим определенным множеством тех же натуральных чисел, например числа 5 и числа 7, то мы можем применить к ним вышеупомянутые термины? Вопрос риторический. Предложенное определение понятия величины, на самом деле, свидетельствует о том, что его автор совершенно не различает эти два фундаментальные понятия (числа и величины). Сторонники теории множеств и сам Кантор также сетовали, что основное понятие этой теории также трудно поддаётся определению. Э.Озолин в своей статье отмечает, что очень трудно дать определения математики как предмету [Озолин Э.Э. (Ozes) Октябрь 2004 года. Понятие числа. – [Электронный ресурс]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm ].

Чтобы убедиться, что все эти сомнения не имеют под собой оснований, необходимо снова вернутся к Аристотелю, который в нескольких определениях даёт исчерпывающие ответы на наши вопросы.

“Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, а величина - если измеримо. Множеством же называется то, что в возможности делимо на части не непрерывные, величиной - на части непрерывные…Из всех этих количеств ограниченное множество есть число, ограниченная длина линия, ограниченная ширина - плоскость, ограниченная глубина - тело» [Аристотель. Соч. в четырех томах. Т.1. Метафизика. С.164].

Из этого фрагмента Аристотеля. Мы получаем следующие строгие определения.

Математика – это наука, предметом которой является чистое количество.

Количество - это то, что делимо на составные части, каждая из которых будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто.

Множество – это количество, которое счислимо, т.е. делимо на части не непрерывные.

Величина – это количество, которое измеримо, т.е. делимо на части непрерывные

Число – это ограниченное множество.

Линия – ограниченная длина.

Плоскость – ограниченная ширина.

Тело – ограниченная глубина.

Из этих положений следует:

Единица числа не имеет размерности, является единицей счёта, т.е. неделима, поскольку мы считаем только целыми числами.

Единица величины всегда делима.

Единица числа – это самая чистая форма абстрактного количества, т.е. это форма безразличная к геометрическому пространству.

Единица величины это чистое количество плюс геометрическое пространство.

Геометрическое пространство – это абстракция физической реальности. Физическая реальность имеет качественную определенность и протяженность. Если абстрагироваться от качественной определенности физической реальности мы получим геометрическое пространство.

Формально и единица числа и единица величины – есть число, но сущность и математические свойства этих чисел различны. Из единицы числа невозможно получить единицу величины. Тогда как из величины можно получить чистое число. Для этого необходимо абстрагироваться от геометрического пространства – размерности. Эти моменты хорошо разобраны в «Физике» Аристотеля.

Следовательно, из числа (в строгом смысле) нельзя получить величину. А поскольку предметом арифметики выступает понятие числа, а предметом геометрии величина, то геометрию невозможно свести к арифметике. Это разные способы существования количественной определенности материального мира.

Таким образом, в основе современной математики лежит глубокое заблуждение – незаконное отождествление числа и величины, арифметики и геометрии. Понятие величины более фундаментально, поскольку из него мы можем получить понятие числа. Кроме того, это понятие «связывает» математику с физикой, создаёт препятствия для неоправданной формализации и спекулятивных построений. Поэтому арифметизация геометрии привела к вырождению предмета математики, её формализации (бурбакизации) и теории трасфинитных чисел. Арифметизация математики это, по сути, процесс редукции предмета математики к числу.

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
Георг Кантор (1845 – † 1918), основатель теории множеств До второй половины 19 века понятие «множества» не рассматривался как математическое («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т. д. – все это чисто бытовые обороты). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был быть тем или иным «множеством». Например, натуральное число за Кантором следует рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом», который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», который рассматривался им как центрального для математики, Кантор давал весьма размытые определения, вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, что подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позже), а «учением о множествах» (Mengenlehre).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему известных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а все остальное – дело рук человеческих »). Однако, некоторые другие математики – в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт – поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики состоит в ее свободе») несовершенна изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
В начале 20 века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом была продемонстрирована противоречивость наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.
После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надежной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.
Особенностью аксиоматического подхода является отказ от заложенного в программу Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишенной всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек является некая единая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признается как аксиома континуум-гипотеза, или его отрицание.
Сейчас наиболее распространенной аксиоматической теорией множеств является ZFC – теория Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более – о существовании модели для нее) остается нерешенным.
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как – «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важными являются следующие:
Над множествами определены следующие операции:
Для множеств определены следующие бинарные отношения:

I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

За тысячи лет своего существования от простейших представлений о числе и фигуре математики пришла к образованию многих новых понятий и методов. Она превратилась в мощное средство изучения природы и гибкое орудие практики. XX век принес математике новые идеи, теории, расширилась сфера её применения. Математика занимает особое положение в системе наук - её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Но она ввела те основные понятия, которые используются в них. Таким понятием является понятие «множество», которое впервые возникло в математике и в настоящее время является общенаучным.

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В конце 19 века Георг Кантор, немецкий математик, основоположник теории множеств, дал интуитивное определение понятию «множеству» так: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое» . Такое определение множества потребовало введения трех символов .

Первый из них должен представлять множество как нечто «единое», т.е. являться представителем самого множества. В качестве такого символа принято применять любую прописную букву какого-либо алфавита: например, обозначать множества прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению.

Второй символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z.

Третий символ должен однозначно соотнести элемент множеству. В качестве соответствующего символа определен знак , который происходит от первой буквы греческого слова (быть). Запись определяет отношение: х есть элемент Х. Для того чтобы указать, что х не есть элемент Х, пишут .

Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории - так называемым парадоксам.

Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер
(элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х - множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То есть или ? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что , сразу приходим к противоречию: , и обратно.

В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .

На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств:

Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем.

Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики.

Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В.

Для пояснения данной аксиомы нам необходимо использовать термин «подмножество»: Если каждый элемент множества A является элементом множества Z, то говорят, что А - подмножество Z, и пишут . Символ именуется «включение». Если не исключается возможность ситуации, когда Z=A, то для того чтобы акцентировать на этом внимание, пишут .

Введя термин «подмножество», сформулируем аксиому 1 в символьном виде: .

Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.

Данная аксиома используется при пояснении декартова произведения множеств, где первоначальным понятием является «упорядоченная пара». Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, каждый из которых занимает в записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b).

Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит.

В символьном виде аксиому Z3 можно записать так: . На основании данной аксиомы и вытекающих из неё теорем указываются свойства операций множеств, описание которых будут изложены в пункте 3. Аксиомы Z1 и Z2 позволяют нам ввести понятие операции объединения, пересечения, дополнение, разности множеств.

Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).

Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество - натуральный ряд чисел.

Аксиома выбора (Z7) . Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция называется функцией выбора для заданного семейства.

Стоит отметить важность соответствующих аксиом, так как множества и отношения между ними являются предметом изучения любой математической дисциплины.

Укажем ещё одно важное открытие в теории множеств - изображение отношений между подмножествами, для наглядного представления . Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано. Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна, а в некоторых книгах их называют также диаграммами Эйлера-Венна . Диаграммы Эйлера-Венна используются не только в математике и логике, но и в менеджменте и других прикладных направлениях.

II. Отношения между множествами и способы их задания

Итак, под множествами понимается совокупность любых объектов, мыслимая как единое целое. Множества могут состоять их объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложение к самым разнообразным областям знания (математике, физике, экономике, лингвистике и т. д.).

Считают, что множество определяется своими элементами, то есть множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Различают два способа задания множеств.

1. перечисления элементов .

Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}.

Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел - бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}.

1. Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства.

Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.

Например, В={1,2,3}. Нетрудно заметить, что каждый элемент множества В - натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по - другому: или , и т.д.

При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .

Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества , т.е. множества, элементами которого являются числа . Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N = {1, 2, 3, 4, …} - множество натуральных чисел;

Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);

Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} - множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);

J - множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей, например: 1,23456342 …;, и др.)

R = (-∞; +∞) - множество действительных чисел.

Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)

Cтоит отметить, что все любые числовые множества можно задать с помощью числового промежутка. (Рис. 2)

Типы числовых промежутков

Множество С, рассмотренное выше, это числовое множество и его можно указать с помощью числового промежутка (Рис. 3)

Рисунок 3 - Числовой промежуток

Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.

В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым . Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2

Стоит отметить, когда речь идет о двух и более множествах, то между ними могут быть какие-либо отношения или нет. Если множества находятся в каких-либо отношениях, то речь идет или об отношении равенства или отношении включении .

Множество А включается во множество В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначается данное отношение так: A⊂B. Или, по-другому говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Множества А и В называются равными , тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В и вместе с этим каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначается данное отношение так: А=В

Например:

1) A={a,b,c,d} и B={b,d}, эти множества находятся в отношении включения B⊂A, т.к. каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

2) M={x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)

Рисунок 4 - Числовой промежуток

3) A={x|x∈N∧x:2}={2,4,6,8,10,...} и B={x|x∈N∧x:3}={3,6,9,12,...}, эти два множества не находятся ни в каких отношениях A⊄B, так как во множестве А есть элемент 2, не принадлежащий множеству В

и B⊄A, т.к. во множестве В есть элемент 3, не принадлежащий множеству А.

Следовательно, данные множества не находятся ни в каких отношениях.

III. Операции и свойства операций над множествами

Опр.1. Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.

A∩B={x|x∈A∧x∈B}

Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).

A∪B={x|x∈A∨x∈B}

Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.

А\ В ={x∈A∧x∉B}

Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.

Выражения с множествами

Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С.

Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.

Порядок выполнения операций

если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.

Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)" .

Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.

Круги Эйлера

Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником

Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)"∩С.

Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)"∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения

Свойства операции над множествами (рис.5)

Свойства I - 8 и 1 0 - 8 0 связаны между собой гак называемым принципом двойственности:

если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств.

IV. Разбиение множества на классы

Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) пересечение любых двух подмножеств пусто;

2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

V. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А×В={(x,y)|x∈A˄y∈B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В — числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.

VI. Правила суммы и произведения

Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются, то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются, то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В).

Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) . n (В).

Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств в комбинаторике носит название прави-ла суммы, если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у — m способами, причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно осуществить k + m способами.

Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y - m способами, то пару (х,y) можно выбрать km способами.

VII. Список использованных источников

Асеев Г.Г. Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: «Феникс», Харьков: «Торсинг», 2003, -144с.

Виленкин Н. Я. Алгебра. Учебное пособие для IX - X классов средних школ с математической специализацией, 1968

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Изд-во «Наука». - 1965. - 128с

Диаграммы Эйлера - Венна.URL:http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html

Киреенко С.Г., Гриншпон И. Э. Элементы теории множеств (учебное пособие). - Томск, 2003. - 42 с.

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир, 1970, - 416с.

Понятие множества является исходным не определяемым строго понятием. Приведем здесь определение множества (точнее, пояснение идеи множества), принадлежащее Г. Кантору: "Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое".

Множества будем, как правило, обозначать большими буквами латинского алфавита, а их элементы - малыми, хотя иногда от этого соглашения придется отступать, так как элементами некоторого множества могут быть другие множества. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству A , записывается в виде a\in A .

В математике мы имеем дело с самыми различными множествами. Для элементов этих множеств мы используем два основных вида обозначений: константы и переменные.

Индивидная константа (или просто константа) с областью значений A обозначает фиксированный элемент множества A . Таковы, например, обозначения (записи в определенной системе счисления) действительных чисел: 0;\,2;\,7,\!34 . Для двух констант b и b с областью значений A будем писать a=b , понимая под этим совпадение обозначаемых ими элементов множества A .

Индивидное переменное (или просто переменное) с областью значений A обозначает произвольный, заранее не определенный элемент множества A . При этом говорят, что переменное x пробегает множество A или переменное x принимает произвольные значения на множестве A . Можно фиксировать значение переменного x , записав x=a , где a - константа с той же областью значений, что и x . В этом случае говорят, что вместо переменного x подставлено его конкретное значение a , или произведена подстановка a вместо x , или переменное x приняло значение a .

Равенство переменных x=y понимается так: всякий раз, когда переменное x принимает произвольное значение a , переменное y принимает то же самое значение a , и наоборот. Таким образом, равные переменные "синхронно" принимают всегда одни и те же значения.

Обычно константы и переменные, область значений которых есть некоторое числовое множество, а именно одно из множеств \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\, \mathbb{R} и \mathbb{C} , называют соответственно натуральными, целыми (или целочисленными), рациональными, действительными и комплексными константами и переменными. В курсе дискретной математики мы будем использовать различные константы и переменные, область значений которых не всегда является числовым множеством.

Для сокращения записи мы будем пользоваться логической символикой, позволяющей коротко, наподобие формул, записывать высказывания. Понятие высказывания не определяется. Указывается только, что всякое высказывание может быть истинным или ложным (разумеется, не одновременно!).

Логические операции (связки) над множествами

Для образования из уже имеющихся высказываний новых высказываний используются следующие логические операции (или логические связки).

1. Дизъюнкция \lor : высказывание P\lor Q (читается: "P или Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний P и Q .

2. Конъюнкция \land : высказывание P\land Q (читается: "P и Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания P и Q .

3. Отрицание \lnot : высказывание \lnot P (читается: "не P ") истинно тогда и только тогда, когда P ложно.

4. Импликация \Rightarrow : высказывание P \Rightarrow Q (читается: "если P , то Q " или "P влечет Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание или оба высказывания ложны.

5. Эквивалентность (или равносильность) \Leftrightarrow : высказывание (читается: "P , если и только если Q ") истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания P и Q либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания P и Q , такие, что истинно P \Leftrightarrow Q , называют логически эквивалентными или равносильными.

Записывая высказывания с помощью логических операций, мы предполагаем, что очередность выполнения всех операций определяется расстановкой скобок. Для упрощения записи скобки зачастую опускают, принимая при этом определенный порядок выполнения операций ("соглашение о приоритетах").

Операция отрицания всегда выполняется первой, и потому ее в скобки не заключают. Второй выполняется операция конъюнкции, затем дизъюнкции и, наконец, импликации и эквивалентности. Например, высказывание (\lnot P)\lor Q записывают так: \lnot P\lor Q . Это высказывание есть дизъюнкция двух высказываний: первое является отрицанием P , а второе - Q . В отличие от него высказывание \lnot (P\lor Q) есть отрицание дизъюнкции высказываний P и Q .

Например, высказывание \lnot P\land Q\lor\lnot Q\land P \Rightarrow\lnot Q после расстановки скобок в соответствии с приоритетами примет вид

\bigl(((\lnot P)\land Q)\lor ((\lnot Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnot Q).

Сделаем некоторые комментарии по поводу введенных выше логических связок. Содержательная трактовка дизъюнкции, конъюнкции и отрицания не нуждается в специальных разъяснениях. Импликация P \Rightarrow Q истинна, по определению, всякий раз, когда истинно высказывание Q (независимо от истинности P ) или P и Q одновременно ложны. Таким образом, если импликация P\Rightarrow Q истинна, то при истинности P имеет место истинность Q , но обратное может и не выполняться, т.е. при ложности P высказывание Q может быть как истинным, так и ложным. Это и мотивирует прочтение импликации в виде "если P , то Q ". Нетрудно также понять, что высказывание P\Rightarrow Q равносильно высказыванию \lnot P\lor Q и тем самым содержательно "если P , то Q " отождествляется с "не P или Q ".

Равносильность \Leftrightarrow есть не что иное, как "двусторонняя импликация", т.е. P\Leftrightarrow Q равносильно (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P) . Это означает, что из истинности P следует истинность Q и, наоборот, из истинности Q следует истинность P .

Пример 1.1. Для определения истинности или ложности сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности входящих в него высказываний используют таблицы истинности.

В первых двух столбцах таблицы записывают все возможные наборы значений, которые могут принимать высказывания P и Q . Истинность высказывания обозначают буквой "И" или цифрой 1, а ложность - буквой "Л" или цифрой 0. Остальные столбцы заполняют слева направо. Так для каждого набора значений P и Q находят соответствующие значения высказываний.

Наиболее простой вид имеют таблицы истинности логических операций (табл. 1.1-1.5).

Рассмотрим сложное высказывание (\lnot P\land Q)\Rightarrow (\lnot Q\land P) . Для удобства вычислений обозначим высказывание \lnot P\land Q через A , высказывание \lnot Q\land P через B , а исходное высказывание запишем в виде A \Rightarrow B . Таблица истинности этого высказывания состоит из столбцов P,\,Q,\,A,\,B и A \Rightarrow B (табл. 1.6).

Предикаты и кванторы

Сложные высказывания образуются не только посредством логических связок, но и с помощью предикатов и кванторов.

Предикат есть высказывание, содержащее одно или несколько индивидных переменных. Например, "x есть четное число" или "x есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.". В первом предикате x есть целочисленное переменное, во втором - переменное, пробегающее множество "человеческих индивидов". Примером предиката, содержащего несколько индивидных переменных, может служить: "x есть сын y ", "x,y и z учатся в одной и той же группе", "x делится на y ", "x меньше y " и т.п. Предикаты будем записывать в виде P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z) , полагая, что в скобках перечислены все переменные, входящие в данный предикат.

Подставляя вместо каждого переменного, входящего в предикат P(x_1,\ldots,x_n) , конкретное значение, т.е. фиксируя значения , где a_1,\ldots,a_n - некоторые константы с соответствующей областью значений, получаем высказывание, не содержащее переменных. Например, "2 есть четное число", "Исаак Ньютон есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.", "Иванов есть сын Петрова", "5 делится на 7" и т.п. В зависимости от того, истинно или ложно полученное таким образом высказывание, говорят, что предикат P выполняется или не выполняется на наборе значений переменных x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n . Предикат, выполняющийся на любом наборе входящих в него переменных, называют тождественно истинным, а предикат, не выполняющийся ни на одном наборе значений входящих в него переменных, - тождественно ложным.

Высказывание из предиката можно получать не только подстановкой значений его переменных, но и посредством кванторов. Вводят два квантора - существования и всеобщности, обозначаемые \exists и \forall соответственно.

Высказывание (\forall x\in A)P(x) ("для каждого элемента x , принадлежащего множеству A , истинно P(x) ", или, более коротко, "для всех x\in A истинно P(x) ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда предикат P(x) выполняется для каждого значения переменного x .

Высказывание (\exists x\in A)P(x) ("существует, или найдется, такой элемент x множества A , что истинно P(x) ", также "для некоторого x\in A истинно P(x) ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда на некоторых значениях переменного x выполняется предикат P(x) .

Связывание переменных предикатов кванторами

При образовании высказывания из предиката посредством квантора говорят, что переменное предиката связывается квантором. Аналогично связываются переменные в предикатах, содержащих несколько переменных. В общем случае используют формы высказываний вида

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

где вместо каждой буквы Q с индексом может быть подставлен любой из кванторов \forall или \exists .

Например, высказывание (\forall x\in A)(\exists y\in B)P(x,y) читается так: "для всякого x\in A существует y\in B , такой, что истинно P(x,y) ". Если множества, которые пробегают переменные предикатов, фиксированы (подразумеваются "по умолчанию"), то кванторы записываются в сокращенной форме: (\forall x)P(x) или (\exists x)P(x) .

Заметим, что многие математические теоремы можно записать в форме, подобной только что приведенным высказываниям с кванторами, например: "для всех f и для всех a истинно: если f - функция, дифференцируемая в точке a , то функция f непрерывна в точке a ".

Способы задания множеств

Обсудив особенности употребления логической символики, вернемся к рассмотрению множеств.

Два множества A и B считают равными, если любой элемент x множества A является элементом множества B и наоборот. Из приведенного определения равных множеств следует, что множество полностью определяется своими элементами.

Рассмотрим способы задания конкретных множеств. Для конечного множества, число элементов которого относительно невелико, может быть использован способ непосредственного перечисления элементов. Элементы конечного множества перечисляют в фигурных скобках в произвольном фиксированном порядке \{1;3;5\} . Подчеркнем, что поскольку множество полностью определено своими элементами, то при задании конечного множества порядок, в котором перечислены его элементы, не имеет значения. Поэтому записи \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} и т.д. все задают одно и то же множество. Кроме того, иногда в записи множеств используют повторения элементов. Будем считать, что запись \{1;3;3;5;5\} задает то же самое множество, что и запись \{1;3;5\} .

В общем случае для конечного множества используют форму записи . Как правило, при этом избегают повторений элементов. Тогда конечное множество, заданное записью \{a_1,\ldots,a_n\} , состоит из n элементов. Его называют также n-элементным множеством.

Однако способ задания множества путем непосредственного перечисления его элементов применим в весьма узком диапазоне конечных множеств. Наиболее общим способом задания конкретных множеств является указание некоторого свойства, которым должны обладать все элементы описываемого множества, и только они.

Эта идея реализуется следующим образом. Пусть переменное x пробегает некоторое множество U , называемое универсальным множеством. Мы предполагаем, что рассматриваются только такие множества, элементы которых являются и элементами множества U . В таком случае свойство, которым обладают исключительно элементы данного множества A , может быть выражено посредством предиката P(x) , выполняющегося тогда и только тогда, когда переменное x принимает произвольное значение из множества A . Иначе говоря, P(x) истинно тогда и только тогда, когда вместо x подставляется индивидная константа a\in A .

Предикат P называют в этом случае характеристическим предикатом множества A , а свойство, выражаемое с помощью этого предиката, - характеристическим свойством или коллективизирующим свойством.

Множество, заданное через характеристический предикат, записывается в следующей форме:

A=\bigl\{x\colon~ P(x)\bigr\}.

Например, A=\{x\in\mathbb{N}\colon\, 2x\} означает, что "A есть множество, состоящее из всех таких элементов x , что каждое из них есть четное натуральное число".

Термин "коллективизирующее свойство" мотивирован тем, что это свойство позволяет собрать разрозненные элементы в единое целое. Так, свойство, определяющее множество G (см. ниже), в буквальном смысле слова формирует некий "коллектив":

Если мы вернемся к канторовскому определению множества, то характеристический предикат множества и есть тот закон, посредством которого совокупность элементов соединяется в единое целое. Предикат, задающий коллективизирующее свойство, может быть тождественно ложным. Множество, определенное таким образом, не будет иметь ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают \varnothing .

В противоположность этому тождественно истинный характеристический предикат задает универсальное множество.

Обратим внимание на то, что не каждый предикат выражает какое-то коллективизирующее свойство.

Замечание 1.1. Конкретное содержание понятия универсального множества определяется тем конкретным контекстом, в котором мы применяем теоретико-множественные идеи. Например, если мы занимаемся только различными числовыми множествами, то в качестве универсального может фигурировать множество \mathbb{R} всех действительных чисел. В каждом разделе математики рассматривается относительно ограниченный набор множеств. Поэтому удобно полагать, что элементы каждого из этих множеств суть также и элементы некоторого "объемлющего" их универсального множества. Зафиксировав универсальное множество, мы тем самым фиксируем область значений всех фигурирующих в наших математических рассуждениях переменных и констант. В этом случае как раз и можно не указывать в кванторах то множество, которое пробегает связываемое квантором переменное. В дальнейшем изложении мы встретимся с разными примерами конкретных универсальных множеств.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств .

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое» .

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества . Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.