Линеаризация (моделирование) функций преобразования средства измерения

Введение

Развитие науки и техники, повышение требований к качеству продукции и эффективности производства привели к радикальному изменению требований к измерениям. Один из основных аспектов этих требований - обеспечение возможности достаточно достоверной оценки погрешности измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, качестве продукции, об эффективности технологических процессов, о количестве сырья, продукции и т.п., получаемую в результате измерений . Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями, а иногда и техническими последствиями. Заниженная оценка погрешности измерений ведет к увеличению брака продукции, неэкономичному или неправильному учету расходования материальных ресурсов, неправильным выводам при научных исследованиях, ошибочным решениям при разработке и испытаниях образцов новой техники. Завышенная оценка погрешности измерений, следствием чего, как правило, является ошибочный вывод о необходимости применения более точных средств измерений (СИ), вызывает непроизводительные затраты на разработку, промышленный выпуск и эксплуатацию СИ. Стремление максимально приблизить оценку погрешности измерений к ее действительному значению так, чтобы она при этом оставалась в вероятностном смысле "оценкой сверху", - одна из характерных тенденций развития современной практической метрологии. Эта тенденция приобретает особенно большое практическое значение там, где требуемая точность измерений приближается к точности, которую могут обеспечивать образцовые СИ и где повышение корректности оценок точности измерений по существу является одним из резервов повышения точности измерений. Погрешность измерений обусловлена, в общем случае, рядом факторов. Она зависит от свойств применяемых СИ, способов использования СИ (методик выполнения измерений), правильности калибровки и поверки СИ, условий, в которых производятся измерения, скорости (частоты) изменения измеряемых величин, алгоритмов вычислений, погрешности, вносимой оператором . Следовательно, задача оценки погрешности измерений в современных условиях, в частности, технических измерений - сложная комплексная задача.

Уманская А.К. Линеаризация (моделирование)

функций преобразования средства измерения. -

Челябинск: ЮУрГУ, ПС; 2012.18с.4ил.,

библиогр. список - 1 наим.

На основе исходных данных произведена линеаризация (моделирование) функции преобразования средства измерения и рассчитаны погрешности.

Задачи

ЗАДАЧА 1.

Чувствительность СИ и предельную нестабильность чувствительности. Чувствительность СИ:

Предельная нестабильность чувствительности :

ЗАДАЧА 2.

Предельные относительные погрешности, приведенные к выходу и ко входу СИ

Найдем погрешность выходного сигнала.

По определению:

Найдем погрешность выходного сигнала, приведенную к выходу СИ.

По определению:

Определим значения относительной погрешности при значениях входной измеряемой величины:

ЗАДАЧА 3.

Определить абсолютную, относительную и приведенную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде касательной в начальной точке.

Определить наибольшую погрешность нелинейности. Уравнение касательной имеет вид:

Точка, через которую проходит касательная

Угловой коэффициент касательной:

Определим погрешности линеаризации :

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Приведенное значение погрешности (в точке x=x н ):

График аппроксимации функции преобразования в виде касательной в начальной точке:

ЗАДАЧА 4

Определить относительную и абсолютную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде хорды, проходящей через начальную и конечную точки диапазона измерения. Определить наибольшую погрешность нелинейности.

Уравнение хорды имеет вид:

Точки, через которых проходит хорда:

Функция линеаризации принимает вид:

Определим погрешности линеаризации.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Максимальная погрешность нелинейности при x э :

Найдем погрешность:

График аппроксимации функции преобразования в виде хорды, проходящей через начальную и конечную точки нашего диапазона.

ЗАДАЧА 5.

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: . Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации. функция аппроксимации.

Абсолютная погрешность линеаризации.

средство измерения погрешность нелинейность

Запишем условие оптимизации системы:

погрешность в конце диапазона измерения:

погрешность в экстремальной точке:

Расскроем модули и запишем уравнение:

Определим погрешность в

ЗАДАЧА 6.

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: .

Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.

функция аппроксимации.

Абсолютная погрешность линеаризации.

Погрешность принимает наименьшее значение в точке, в которой:

Условие оптимизации системы:

Составим систему:

Из решения системы получим:

Функция аппроксимации имеет вид:

Определим погрешности.

Предельная приведенная погрешность линеаризации равна:

График аппроксимации функции преобразования линейной функцией вида с минимальной наибольшей погрешностью.

Заключение

Построив линейные модели функций преобразования средств измерения разными способами, мы убедились, что способ моделирования функции преобразования линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна, самый эффективный, т.к. в нем была наименьшая погрешность и постоянная чувствительность.

Библиографический список

1. Аксенова, Е.Н. Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений / учебное пособие для вузов. - М.: Изд-во Логос; Университетская книга, 2007.

Линеаризация

Для того, чтобы оценить неизвестные параметры β 0 , … , β n нелинейной регрессионной модели, необходимо привести ее к линейному виду. Суть линеаризации нелинейных по независимым переменным регрессионных моделей заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные. В общем случае полиномиальной регрессии процесс замены нелинейных переменных функции п-го порядка выглядит следующим образом: x = с 1 , ; х 2 = c 2 ; x З = с 3 ; ... ; x п = c п.

Тогда уравнение множественной нелинейной регрессии можно записать в виде линейного множественного регрессионного уравнения

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Гиперболическую функцию также можно привести к линейному виду с помощью замены нелинейной факторной переменной на линейную. Пусть 1/х = с. Тогда исходное уравнение гиперболической функции можно записать в преобразованном виде:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 с i + ε i

Таким образом, и полиномиальную функцию любой степени, и гиперболоид можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический МНК) и стандартные методы проверки различных гипотез.

Ко второму классу нелинейных моделей относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная y i нелинейно связана с параметрами уравнения β 0 ,…, β n . К такому типу регрессионных моделей относятся:

1) степенная функция

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) показательная функция

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) логарифмическая парабола

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) экспоненциальная функция

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) обратная функция

и другие.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели в свою очередь делятся на модели подлежащие линеаризации (внутренне линейные функции) и неподлежащие линеаризации (внутренне нелинейные функции) . Примером моделей, которые можно свести к линейной форме, является показательная функция вида y i = β 0 · β 1 x i · ε i , где случайная ошибка ε i мультипликативно связана с факторным признаком x i . Д анная модель нелинейна по параметру β 1 . Для ее линеаризации вначале осуществим процесс логарифмирования:

ln y i = ln β 0 + x i ·ln β 1 + ln ε i

Затем воспользуемся методом замен. Пусть ln y i = Y i ; ln β 0 = А; ln β 1 =В; ln ε i =Е i .

Тогда преобразованная показательная функция имеет следующий вид:

Y i = А + В x i + Е i .

Следовательно, показательная функция y i = β 0 · β 1 x i · ε i является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов.

Если же взять показательную функцию, включающую случайную ошибку ε i аддитивно, т.е. y i = β 0 · β 1 x i + ε i , то данную модель уже невозможно привести к линейному виду с помощью логарифмирования. Она является внутренне нелинейной.

Пусть задана степенная функция вида y i = β 0 · x i β 1 · ε i . Прологарифмируем обе части уравнения:

ln y i = ln β 0 + β 1 ·ln x i + ln ε i

Теперь воспользуемся методом замен: ln y i = Y i ; ln β 0 = А; ln x i =X i ; ln ε i = Е i .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения минимума функции двух переменных методом непосредственной линеаризации.

Количество нелинейных ограничений, {g i (x), h i (x)} нет ограничений 1 2 3 4
Количество линейных ограничений нет ограничений 1 2 3 4

Правила ввода функций:

1. Все переменные выражаются через x 1 ,x 2
2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x 1 2 +x 1 x 2 , записываем как x1^2+x1*x2 .

Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:

где – отбрасываемый член второго порядка малости.
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание . Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.

Общая задача нелинейного программирования

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:

Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:

может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .

Пример №1 .

Построим допустимую область S (см. рис.).


Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:

Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:

так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:


Новое решение лежит на пересечении прямых и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство () все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2

Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций:

Итерация	f	g	h
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Оптимум	2	0	0

Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.

chx=(e x +e - x)/2

shx=(e x -e -x)/2

chx 2 +shx 2 =ch2x

c
thx=chx/shx

Лекция №12

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

уравнение прямой: Y=kx+b

y 0 =f(x 0)=kx 0 +b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x 0)+f(x 0)-f’(x 0)x 0

Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y 1 =f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) a =f’(x 0)+f’(x 0)∆x

df(x 0)=f’(x 0)∆x

Геометрический смысл дифференциала :

df(x 0) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х 0 ;f(x 0).

Замечание : Часто говорят о касательной проведённой в точке х 0 .

Линеаризация функции.

Определение : Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х 0) заменяется отрезком касательной в точке х 0 .

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – уравнение касательной в точке х 0

Формула получена из определения дифференциала в точке х 0 функции

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х 0 .

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x) х=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12(x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y кас =2+1/12(x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) при хх 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x в точке х 0 =4, если ∆х=0,001 х=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М 0 tg >0; Справа от М 0 tg <0

tg f’(x)>0 слева от М 0

tg f’(x)<0 справа от М 0

Теорема : Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A (| x1 | x2) b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Надо доказать: f(x 1)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х 1 ,x 2) Т еорема.

f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1) где c(x 1 ,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Экстремумы функции.

Можно указать О(х 1) в которой все значения функции

f(x)

f(x)>f(x 1) b и О  2 (х 1). Значенгие функции в точке М 1 , М 3 и М 5 –

max; M 2 и М 4 – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение : (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х 0) и f(x)>f(x 0) в

О(х 0) или f(x)

Замечание:

f(x)f(x 1) в О  1 (х 1)

f(x)f(x 2) в О  2 (х 2)

говорят, что точки х 1 и х 2 точки не строгого локального

экстремума.

Теорема : (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х 0 и точка х 0 – точка экстремума, тогда f(x 0)=0

Доказательсто : Заметим, что х 0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x 0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) то при х – достаточно близких к х 0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x 0)0 (x-x 0) – меняет знак при переходе черех точку х 0  f’(x 0)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке , то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x) (const)’=0.

Пусть m

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке

Геометрический смысл .

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа :

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на отрезке (а,b), тос(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство :

F(x)=f(x)+xгде- пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке F(x) принимало равное значение.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке c(a,b):F’(c)=0, то естьF’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

/=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Теорема : (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в О(х 0). Еслиf’(x) меняет знак при переходе через точку х 0 , то точка х 0 – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство :х 1 О - (х 0) на ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f’(c 1)(x 0 -x 1)f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 х 2 О + (х 0) на ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f’(c 2)(x 2 -x 0)f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)точка х точка максимума.

Если в точке х 0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которыхf(x) существует, аf’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке .

Ход решения:

Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 илиf’(x)  x 1 ,x n

Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)

Определение : точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Обычно автоматические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях можно их линеаризовать, т. е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнении в линейные называют линеаризацией.

В атоматических системах должен поддерживаться некоторый заданный режим. При этом режиме входные и выходные величины звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого (заданного), поэтому текущие значения входных и выходных величин не равны значениям, соответствующим заданному режиму. В нормально функционирующей автоматической системе фактический режим немного отличается от требуемого режима и отклонения входных и выходных величин входящих в нее звеньев от требуемых значений малы. Это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно производить по звеньям.

Пример 2.1. Проиллюстрируем изложенное на примере звена, описываемого уравнением (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют

Обозначим отклонения реальных значений и, и у от требуемых через . Тогда и Подставим эти выражения в (2.1) и, рассматривая как функцию от независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3) и отбросим малые члены более высокого порядка, чем отклонения. Тогда (2.1) примет вид

Здесь звездочка сверху обозначает, что соответствующие функции и производные вычисляются при значениях аргумента, определяемых соотношениями (2.3). Когда в системе устанавливается заданный режим, уравнение (2.1) принимает вид . Вычтя это уравнение из (2.4), получим искомое уравнение звена в отклонениях:

Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим - величины не зависят от времени, то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.5) являются постоянными.

Звенья и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют соответственно линейными звеньями и линейными системами.

Уравнение (2.5) было получено при следующих предположениях: 1) отклонения выходной и входной величин достаточно малы; 2) функция обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то линеаризацию производить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.

Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически.

Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.2) означает замену исходной кривой А В отрезком ее касательной в точке О, соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.

В зависимости от того, входит или нет время явно в уравнение, системы разделяют на стационарные и нестационарные.

Автоматические системы управления (звенья) называют стационарными если они при постоянных внешних воздействиях описываются уравнениями, не зависящими явно от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В противном случае система называется нестационарной. Для линейных систем можно дать также следующее определение: стационарными линейными системами (звеньями) называют системы (звенья), которые описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарными линейными системами (звеньями) или системами с переменными параметрами - системы (звейья), которые описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.