Как найти асимптоты функции. Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами).

Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами через и выберем оси координат так же, как и в § 3. Пусть - произвольная точка гиперболы.

По определению гиперболы

В правой части равенства нужно выбрать знак плюс, если и знак минус, если

Так как то последнее равенство можно записать в виде:

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.

Освобождаясь в этом уравнении от радикалов (как и в § 3), можно привести уравнение к простейшему виду.

Перенося первый радикал в правую часть равенства и возводя обе части в квадрат, после очевидных преобразований получим:

Возведя еще раз обе части равенства в квадрат, сделав приведение подобных членов и разделив на свободный член, получим:

Так как , то величина положительна. Обозначая ее через , т. е. полагая

получим каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1) Симметрии гиперболы. Так как уравнение (3) содержит только квадраты текущих координат, то оси координат являются осями симметрии гиперболы (см. аналогичное утверждение для эллипса). Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии - центр симметрии - называется центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (3), фокальная ось совпадает с осью Ох, а центром является начало координат.

2) Точки пересечения с осями симметрии. Найдем точки пересечения гиперболы с осями симметрии - вершины гиперболы. Полагая в ураннении найдем абсциссы точек пересечения гиперболы с осью

Следовательно, точки являются вершинами гиперболы (рис. 51); расстояние между ними равно 2а. Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим в уравнении Получим для определения ординат этих точек уравнение

т. е. для у мы получили мнимые значения; это означает, что ось Оу не пересекает гиперболы.

В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью симметрии (фокальной осью), ось симметрии, которая не пересекает гиперболы, называется мнимой осью симметрии. Для гиперболы, заданной уравнением (3), действительной осью симметрии является ось , мнимой осью симметрии - ось Отрезок соединяющий вершины гиперболы, а также его длина 2а называются действительной осью гиперболы. Если на мнимой оси симметрии гиперболы отложить в обе стороны от ее центра О отрезки ОБ, и длиною b, то отрезок а также его длина называются мнимой осью гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

3) Форма гиперболы. При исследовании формы гиперболы достаточно рассматривать положительные значения х и у, потому что кривая симметрично расположена относительно осей координат.

Так как из уравнения (3) следует, что 1, то может изменяться от а до Когда увеличивается от а до то У тоже увеличивается от 0 до Кривая имеет форму, изображенную на рис. 51. Она располагается вне полосы, ограниченной прямыми и состоит из двух отдельных ветвей. Для любой точки М одной из этих ветвей (правая ветвь), для любой точки М другой ветви (левая ветвь).

4) Асимптоты гиперболы. Чтобы более ясно представить себе вид гиперболы, рассмотрим две прямые линии, тесно с нею связанные - так называемые асимптоты.

Предполагая х и у положительными, разрешим уравнение (3) гиперболы относительно ординаты у:

Сопоставим уравнение с уравнением прямой линии называя соответствующими две точки расположенные соответственно на этой прямой и на гиперболе и имеющие одну и ту же абсциссу (рис. 51). Очевидно, и разность Y - у ординат соответствующих точек выражает расстояние между ними, т. е.

Покажем, что при неограниченном возрастании расстояние MN, убивая, стремится к нулю. В самом деле,

После упрощения получим:

Из последней формулы мы усматриваем, что при неограниченном возрастании абсциссы расстояние MN убывает и стремится к нулю. Отсюда следует, что когда точка М, двигаясь по гиперболе в первом квадранте, удаляется в бесконечность, то ее расстояние до прямой уменьшается и стремится к нулю. То же обстоятельство будет иметь место при движении точки М по гиперболе в третьем квадранте (вследствие симметрии относительно начала координат О).

Наконец, вследствие симметрии гиперболы относительно оси Оу мы получим вторую прямую симметрично расположенную с прямой к которой также будет неограниченно приближаться точка М при движении по гиперболе и удалении в бесконечность (во втором и четвертом квадрантах).

Эти две прямые линии носят название асимптот гиперболы, они, как мы видели, имеют уравнения:

Очевидно, асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси Ох и равна 2а, другая - параллельна оси Оу и равна а центр лежит в начале координат (см. рис. 51).

При вычерчивании гиперболы по ее уравнению рекомендуется предварительно построить ее асимптоты.

Равносторонняя гипербола. В случае гипербола называется равносторонней; ее уравнение получается из (3) и имеет вид:

Очевидно, угловые коэффициенты асимптот для равносторонней гиперболы будут Следовательно, асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны между собой и делят пополам углы между ее осями симметрии.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые , к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Определение . Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f (x ) , если выполняется хотя бы одно из условий:

При этом функция f (x ) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a .

Замечание:

Пример 1. График функции y =lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Горизонтальные асимптоты

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b ), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f (x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении "икса" к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении "икса" к плюс бесконечности равен бесконечности:

Наклонные асимптоты

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число - точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше - угловой коэффициент k , который показывает угол наклона прямой, и свободный член b , который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё - уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом . Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x ) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

(1)

(2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

Заключение: x = −1 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция - дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой - наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = −3x + 5 .

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты - чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .

Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):

.

Точка x = 2 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 - вертикальная асимптота графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Итак, y = x + 1 - наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :

Итак, y = −x − 1 - наклонная асимптота при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при .

Сколько асимптот может быть у графика функции?

Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса - бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.

Что значит найти асимптоты графика функции?

Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи. Процесс предполагает нахождение пределов функции.

Вертикальные асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрыва функции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.

Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой - зависит от контекста.

Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова - любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация: и ось ординат.

Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на, то вертикальные асимптоты отсутствуют. На ум почему-то пришла парабола. Действительно, где тут «воткнёшь» прямую? …да… понимаю… последователи дядюшки Фрейда забились в истерике =)

Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.

Наклонные асимптоты графика функции

Наклонные (как частный случай - горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если аргумент функции стремится к «плюс бесконечности» или к «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше 2-х наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции обладает единственной горизонтальной асимптотой при, а график арктангенса при - двумя такими асимптотами, причём различными.