Кратный интеграл

интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n -мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n -кратные интегралы.

Пусть функция f (x, y ) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей d i , площади которых равны s i , выберем в каждой области d i точку (ξ i , η i ) (см. рис. ) и составим интегральную сумму

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (ξ i , η i ), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у ) по области D и обозначают

Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n -кратный интеграл.

Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью (См. Квадрируемая область), а функция f (x, y ) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых Интеграл ов. Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу (См. Повторный интеграл). В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула . К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Кратный интеграл" в других словарях:

Интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу от функции одного переменного (см. Интегральное исчисление). В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n… … Большой Энциклопедический словарь

Определенный интеграл от функции нескольких переменных. Имеются различные понятия К. и. (интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Лебега Стилтьеса и др.). Кратный интеграл Римана вводится на основе Жордана меры Пусть Е измеримое по Жордану… … Математическая энциклопедия

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число. Содержание 1… … Википедия

Интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного (см. Интегральное исчисление). В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n… … Энциклопедический словарь

Интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определ. интегралу от функции одного переменного (см. Интегральное исчисление). В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, я… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак имеется в виду (кратный) интеграл Римана, если не оговорено обратное; всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не… … Википедия

Кратный интеграл вида где являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрической суммы. Теорема Виноградова о величине этого интеграла теорема о среднем лежит в основе оценок сумм Вейля. Литература Виноградова инте … Википедия

Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции … Википедия

Интеграл, в к ром последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т. е. интеграл вида (1) Функция f(x, y).определена на множестве А, лежащем в прямом произведении XX Y пространств Xи У, в к рых заданы s конечные меры mx и my,… … Математическая энциклопедия

Интеграл, взятый вдоль какой либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1 го и 2 го типов. К. и. 1 го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается… … Большая советская энциклопедия

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл (ДИ) является обобщением определенного интеграла (ОИ) функции одной переменной на случай функции двух переменных.

Пусть непрерывная неотрицательная функция $z=f\left(x,y\right)$ задана в замкнутой области $D$, расположенной в координатной плоскости $xOy$. Функция $z=f\left(x,y\right)$ описывает некоторую поверхность, которая проецируется в область $D$. Область $D$ ограничена замкнутой линией $L$, граничные точки которой также принадлежат области $D$. Предполагаем, что линия $L$ образована конечным числом непрерывных кривых, заданных уравнениями вида $y=\vartheta \left(x\right)$ или $x=\psi \left(y\right)$.

Разобьем область $D$ на $n$ произвольных участков площадью $\Delta S_{i} $. В каждом из участков выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. Рассмотрим объем под той частью поверхности $z=f\left(x,y\right)$, которая проецируется в участок $\Delta S_{i} $. Геометрически этот объем можно приближенно представить как объем цилиндра с основанием $\Delta S_{i} $ и высотой $f\left(\xi _{i} , \eta _{ii} \right)$, то есть равным произведению $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Тогда объем под всей поверхностью $z=f\left(x,y\right)$ в пределах области $D$ можно приближенно вычислить как сумму объемов всех цилиндров $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Эта сумма называется интегральной суммой для функции $f\left(x,y\right)$ в области $D$.

Назовем диаметром $d_{i} \left(\Delta S_{i} \right)$ участка $\Delta S_{i} $ самое большое расстояние между крайними точками этого участка. Обозначим $\lambda $ самый большой из диаметров всех участков из области $D$. Пусть $\lambda \to 0$ за счет неограниченного $n\to \infty $ измельчения разбивки области $D$.

Определение

Если существует предел интегральной суммы $I=\mathop{\lim }\limits_{\lambda \to 0} \sigma $, то это число называют ДИ от функции $f\left(x,y\right)$ по области $D$ и обозначают $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dS $ или $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

При этом область $D$ называется областью интегрирования, $x$ и $y$ -- переменными интегрирования, а $dS=dx\cdot dy$ -- элементом площади.

Из определения следует геометрический смысл ДИ: он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра.

Применение двойных интегралов

Объем тела

В соответствии с геометрическим смыслом ДИ, объем $V$ некоторого тела, ограниченного сверху поверхностью $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, снизу областью $D$ на плоскости $xOy$, по бокам цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси $Oz$, а направляющей является контур области $D$ (линия $L$), вычисляется по формуле $V=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Пусть тело ограничивает сверху поверхность $z=f_{2} \left(x,y\right)$, а снизу -- поверхность $z=f_{1} \left(x,y\right)$, причем $f_{2} \left(x,y\right)\ge f_{1} \left(x,y\right)$. Проекцией обеих поверхностей на плоскость $xOy$ является одна и та же область $D$. Тогда объем такого тела вычисляют по формуле $V=\iint \limits _{D}\left(f_{2} \left(x,y\right)-f_{1} \left(x,y\right)\right)\cdot dx\cdot dy $.

Предположим, что в области $D$ функция $f\left(x,y\right)$ меняет знак. Тогда для вычисления объема соответствующего тела область $D$ надо разбить на две части: часть $D_{1} $, где $f\left(x,y\right)\ge 0$, и часть $D_{2} $, где $f\left(x,y\right)\le 0$. При этом интеграл по области $D_{1} $ будет положительным и равным объему той части тела, которая лежит выше плоскости $xOy$. Интеграл по области $D_{2} $ будет отрицательным и по абсолютной величине равным объему той части тела, которая лежит ниже плоскости $xOy$.

Площадь плоской фигуры

Если везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ положить $f\left(x,y\right)\equiv 1$, то ДИ численно равен площади области интегрирования $D$, то есть $S=\iint \limits _{D}dx\cdot dy $. В полярной системе координат эта же формула приобретает вид $S=\iint \limits _{D^{*} }\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.

Площадь произвольной поверхности

Пусть некоторая поверхность $Q$, заданная уравнением $z=f_{1} \left(x,y\right)$, проецируется на координатную плоскость $xOy$ в область $D_{1} $. В этом случае площадь поверхности $Q$ можно вычислить по формуле $S=\iint \limits _{D_{1} }\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} } \cdot dx\cdot dy $.

Количество вещества

Предположим, что в области $D$ на плоскости $xOy$ распределено некоторое вещество с поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$. Это значит, что поверхностная плотность $\rho \left(x,y\right)$ представляет собой массу вещества, приходящуюся на элементарную площадку $dx\cdot dy$ области $D$. При этих условиях общую массу вещества можно вычислить по формуле $M=\iint \limits _{D}\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Заметим, что в качестве "вещества" может выступать электрический заряд, тепло и т.п.

Координаты центра массы плоской фигуры

Формулы для вычисления значений координат центра массы плоской фигуры таковы:$ $$x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $.

Величины в числителях называются статическими моментами $M_{y} $ и $M_{x} $ плоской фигуры $D$ относительно осей $Oy$ и $Ox$ соответственно.

Если плоская фигура однородна, то есть $\rho =const$, то эти формулы упрощаются и выражаются уже не через массу, а через площадь плоской фигуры $S$: $x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot dx\cdot dy }{S} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot dx\cdot dy }{S} $.

Моменты инерции площади плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости $xOy$ материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область $D$, по которой распределено вещество общей массой $M$ с переменной поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$.

Значение момента инерции площади плоской фигуры относительно оси $Oy$: $I_{y} \; =\; \iint \limits _{D}x^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Значение момент инерции относительно оси $Ox$: $I_{x} \; =\; \iint \limits _{D}y^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции относительно осей координат, то есть $I_{O} =I_{x} +I_{y} $.

Тройные интегралы вводятся для функций трех переменных.

Предположим, что задана некоторая область $V$ трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью $S$. Считаем, что точки, которые лежат на поверхности, также принадлежат области $V$. Предположим, что в области $V$ задана некоторая непрерывная функция $f\left(x,y,z\right)$. Например, такой функцией при условии $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ может быть объемная плотность распределения некоторого вещества, распределение температуры и т.п.

Разобьем область $V$ на $n$ произвольных частей, объемы которых $\Delta V_{i} $. В каждой из частей выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$.

Образуем интегральную сумму $\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)\cdot \Delta V_{i} $ и будем неограниченно измельчать $\left(n\to \infty \right)$ разбивку области $V$ так, чтобы самый большой из диаметров $\lambda $ всех частей $\Delta V_{i} $ неограниченно уменьшался $\left(\lambda \to 0\right)$.

Определение

При перечисленных условиях предел $I$ этой интегральной суммы существует, называется тройным интегралом от функции $f\left(x,y,z\right)$ по области $V$ и обозначается $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ или $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\; \cdot dz $.

Двойные интегралы для чайников

Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов, с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями , поэтому сразу же разберёмся с вопросом: сложно или нет? Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи – для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками. Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Логично. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Кому придётся туговато? Понятное дело. Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу – на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи.

На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты:

– Понятие двойного интеграла

– Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

После того, как вы ХОРОШО поймёте все азы, можно будет перейти к статье Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах и типовое приложение о нахождении центра тяжести плоской ограниченной фигуры .

Начнём с насущного вопроса – что это такое?

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
– область интегрирования (плоская фигура);
– подынтегральная функция двух переменных , часто она довольно простая;
– значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО . Самое обычное число:

И крайне желательно найти его правильно =)

Результат (число ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».

Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам . Сделать это можно двумя способами . Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса у внешнего интеграла – это числа , а двойные знаки вопроса у внутреннего интеграла – это функции одной переменной , зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения . Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа , а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же :

Пожалуйста, запомните это важное свойство , которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить . Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми , параболами , гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций , Геометрические преобразования графиков . Итак, этап первый – выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.
Как изменить порядок обхода?

В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:

И так:

На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1

Дан двойной интеграл с областью интегрирования . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Обычная плоская фигура и ничего особенного.

Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх , то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением и выходит из области через параболу (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси от 0 до 1 (зелёная стрелка).

Итак, что получилось:
«игрек» изменяется от 0 до ;
«икс» изменяется от 0 до 1.

В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования

После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:

Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения , тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек» , является .

Если , то , причём:
обратная функция задает правую ветку параболы;
обратная функция задает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение :

Получено верное равенство, значит, функция определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда , после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обходим область интегрирования вторым способом:

Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо . В данном случае он входит в область через ветвь параболы и выходит из области через прямую, которая задана уравнением (красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси строго снизу вверх от 0 до 1 (зеленая стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от до 1;
«игрек» изменяется от 0 до 1.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Пример 2

Дан двойной интеграл с областью интегрирования . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Пример 3

Построить область интегрирования и

Решение: По условию дан первый способ обхода области. Решение опять начинается с чертежа. Здесь область не лежит на блюдечке с голубой каёмочкой, но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: , . Функция , понятно, задаёт прямую , но что задаёт функция ? Давайте её немного преобразуем:
– окружность с центром в начале координат радиуса 2. Функция же задаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0.

Выполним чертёж:

Для наглядности я указал стрелками первый способ обхода области, который соответствует повторным интегралам условия: .

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»):

Недавно мы преобразовали функцию к уравнению окружности , далее выражаем «икс»:
В результате получаем две обратные функции:
– определяет правую полуокружность;
– определяет левую полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.

Изменим порядок обхода области:

Согласно второму способу обхода, лазерный луч входит в область слева через левую полуокружность и выходит справа через прямую (красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:

В общем-то, можно записать ответ:

Пример 4

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие непривычно даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из получаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»). Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: из выражаем «игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через и выходим через . При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0. После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный образец оформления решения в конце урока.

Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже.

Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла . Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я еще не всё рассмотрел!

В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й координатных четвертях. Всегда ли это так? Нет, естественно.

Пример 5

Изменить порядок интегрирования

Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции фактически представляет собой кубическую параболу, просто она «лежит на боку»:

Порядок обхода области, который соответствует повторным интегралам , обозначен стрелками. Обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ординат). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру.

Перейдем к обратным функциям:
– нужная нам правая ветвь параболы;

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу и выходит через прямую (красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:

2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (коричневая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы и выходит через ту же прямую (малиновая стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности , то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать:
– а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Пример 6

Изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце урока.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Пример 7

Изменить порядок интегрирования

Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: и .
С линейной функцией всё просто:

График функции представляется собой параболу с претензией на каноничность.

Выразим «игрек» через «икс»:

Получаем две ветви параболы: и . Какую из них выбрать? Проще всего сразу выполнить чертёж. И даже если вы крепко позабыли материал аналитической геометрии о параболе , то всё равно обе ветви можно построить поточечно:

Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов:
, при этом не забывайте, что обратная функция задаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов .

Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования.

Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области:

Обратные функции уже найдены, и требуемый порядок обхода области:

Ответ:

Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения:

Пример 8

Изменить порядок интегрирования

Полное решение и ответ в конце урока.

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла ! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: Изобразим область на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Скачать с Depositfiles

Лекции 5-6

Тема2. Кратные интегралы.

Двойной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть функция z = f (x , y ) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на n элементарных замкнутых областей  1 , … , n , имеющих площади   1 , …,   n и диаметры d 1 , …, d n соответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей  1 , … ,  n . В каждой области  k выберем произвольную точку P k (x k ,y k ) и составим интегральную сумму функции f (x,y )

S =
(1)

Определение. Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел интегральной суммы

, (2)

если он существует.

Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек P k (k =1, …, n ). Однако, предел
, если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек P k .

Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f (x,y ) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D . В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f (x,y ) ≥0 в области D , то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:

V =
(3)

Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D , сверху  частью поверхности z = f (x , y ), с боков  вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.

Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.

Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х, у ), тогда разбивая пластину D на части D i и выбирая произвольные точки
, получим для массы пластины
, или, сравнивая с формулой (2):

(4)

4. Некоторые свойства двойного интеграла.

Линейность. Если С – числовая константа, то

Аддитивность. Если область D « разбита” на области D 1 и D 2 , то

3) Площадь ограниченной области D равна

(5)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть задана область

Рисунок 1

D = { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Область D заключена в полосе между прямыми x = a , y = b , снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = φ 1 (x ) и y = φ 2 (x ) .

Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:

(7)

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутреннийинтеграл

по переменной y , п ри этомx считаетсяпостоянной. В результате получится функция от переменной x , а затем вычисляется « внешний” интеграл от этой функции по переменной x .

Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.

Пусть теперь область D имеет вид

D = { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Тогда

. (9)

Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство

(10)

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.

Примеры.

1) Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение. По виду повторного интеграла находим область

D = { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Изобразим область D . По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y =0, y =2 и между линиями x =0 и x = D

Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:

,
(11)

Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:

(12)

Предостережение.При вычислении несобственных интегралов с особыми точками внутрипромежутка интегрирования нельзямеханически применять формулу Ньютона – Лейбница, поскольку это может привести к ошибкам.

Общее правило: формула Ньютона – Лейбница верна, если первообразная от f(x) в особой точке последней непрерывна.

Пример 2.11.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Формула Ньютона–Лейбница, применяемая формально, дает

Однако общее правило здесь не выполняется; для f(x) = 1/x первообразная ln |x| не определена в х = 0 и является бесконечно большой в этой точке, т.е. не является непрерывной в этой точке. Непосредственной проверкой легко убедиться, что интеграл расходится. Действительно,

Полученная неопределенность может быть раскрыта по-разному, поскольку e и d стремятся к нулю независимым образом. В частности, полагая e = d, получаем главное значение несобственного интеграла, равное 0. Если e = 1/n, а d =1/n 2 , т.е. d стремится к 0 быстрее, чем e, то получаем

при и , наоборот,

т.е. интеграл расходится.n

Пример 2.12.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Первообразная от функции имеет вид и непрерывна в точке х = 0. Поэтому можно применить формулу Ньютона – Лейбница:

Естественным обобщением понятия определенного интеграла Римана на случай функции нескольких переменных является понятие кратного интеграла. Для случая двух переменных такие интегралы называют двойными.

Рассмотрим в двумерном евклидовом пространстве R ´ R , т.е. на плоскости с декартовой системой координат, множество Е конечной площади S .

Обозначим через (i = 1, …, k ) разбиение множества Е , т.е. такую систему его подмножеств E i , i = 1,. . ., k , что Ø при i ¹ j и (рис. 2.5). Здесь через обозначено подмножество E i без его границы, т.е. внутренние точки подмножества E i , которые вместе с его границей Гр E i образуют замкнутое подмножество E i, . Ясно, что площадь S (E i) подмножества E i совпадает с площадью его внутренней части , поскольку площадь границы ГрE i равна нулю.

Через d(E i) обозначим диаметр множества E i , т.е. максимальное расстояние между двумя его точками. Величину l(t) = d(E i) назовем мелкостью разбиения t. Если функция f(x),x = (x, y), определена на E как функция двух аргументов, то всякую сумму вида

X i Î E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

зависящую как от функции f и разбиения t , так и от выбора точек x i Î E i Ì t, называют интегральной суммой функции f .

Если для функции f существует ,не зависящий ни от разбиений t , ни от выбора точек (i = 1, …, k), то этот предел называется двойным интегралом Римана от f(x,y) и обозначается

Саму функцию f называют в этом случае интегрируемой по Риману .

Напомним, что в случае функции одного аргумента в качестве множества Е , по которому производится интегрирование, обычно берется отрезок , а в качестве его разбиения t рассматривается разбиение, состоящее из отрезков. В остальном, как нетрудно убедиться, определение двойного интеграла Римана повторяет определение определенного интеграла Римана для функции одного аргумента.

Двойной интеграл Римана от ограниченных функций двух переменных обладает обычными свойствами определенного интеграла для функций одного аргумента – линейностью, аддитивностью относительно множеств, по которым производится интегрирование, сохранение при интегрировании нестрогих неравенств , интегрируемость произведения интегрируемых функций и т.п.

Вычисление кратных интегралов Римана сводится к вычислению повторных интегралов . Рассмотрим случай двойного интеграла Римана. Пусть функция f(x,y) определена на множестве Е, лежащем в декартовом произведении множеств X ´ Y, E Ì X ´ Y.

Повторным интегралом от функции f(x, y) называется интеграл, в котором последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т.е. интеграл вида

Множество E(y) = {x: Î E} Ì X называется сечением множества E, соответствующим заданному y, y Î E y ; множество E y называется – проекцией множества E на ось Y.

Для повторного интеграла используют также такое обозначение:

которое, как и прежнее, означает, что сначала при фиксированном y, y Î E y , проводится интегрирование функции f(x, y) по x по отрезку E (y ), являющемуся сечением множества Е , соответствующим этому y. В результате внутренний интеграл определяет некоторую функцию одной переменной – y. Эта функция интегрируется затем как функция одной переменной, на что указывает символ внешнего интеграла.

При изменении порядка интегрирования получается повторный интеграл вида

где внутреннее интегрирование проводится по y, а внешнее – по x. Как соотносится этот повторный интеграл с повторным интегралом, определенным выше?

Если существует двойной интеграл от функции f , т.е.

то существуют и оба повторных интеграла, причем они одинаковы по величине и равны двойному, т.е.

Подчеркнем, что сформулированное в этом утверждении условие возможности перемены порядка интегрирования в повторных интегралах является лишь достаточным , но не необходимым.

Другие достаточные условия возможности перемены порядка интегрирования в повторных интегралах формулируются следующим образом:

если существует хотя бы один из интегралов

то функция f(x, y) интегрируема по Риману на множестве Е , оба повторных интеграла от нее существуют и равны двойному интегралу. n

Конкретизируем записи проекций и сечений в обозначениях повторных интегралов.

Если множество Е является прямоугольником

то E x = {x: a £ x £ b}, E y = {y: c £ y £ d}; при этом E(y) = E x для любого y, y Î E y . , а E(x) = E y для любого x, x Î E x ..

Формальная запись: "y y Î E y Þ E(y) = E x Ù"x x Î E x Þ E(x) = E y

Если множество Е имеет криволинейную границу и допускает представления

В этом случае повторные интегралы записываются так:

Пример 2.13.

Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, сведя его к повторному .

Поскольку выполняется условие sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, то проверку выполнимости достаточных условий существования двойного интеграла I в форме существования любого из повторных интегралов

здесь проводить специально не следует и можно сразу переходить к вычислению повторного интеграла

Если он существует, то существует и двойной интеграл, причем I = I 1 . Поскольку

Итак, I = .n

Пример 2.14.

Вычислить двойной интеграл по треугольной области (см. рис. 2.6), сведя его к повторному

Гр(E) = {: x = 0, y = 0, x + y = 2}.

Сначала убедимся в существовании двойного интеграла I. Для этого достаточно убедиться в существовании повторного интеграла

т.е. подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования, поскольку все они степенные. Следовательно, интеграл I 1 существует. В этом случае двойной интеграл тоже существует и равен любому повторному, т.е.

Пример 2.15.

Для лучшего понимания связи между понятиями двойного и повторных интегралов рассмотрим следующий пример, который при первом чтении может быть опущен. Задана функция двух переменных f(x, y)

Отметим, что эта функция при фиксированном х нечетна по y , а при фиксированном y – нечетна по x. В качестве множества Е, по которому интегрируется эта функция, возьмем квадрат E = {: -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 }.

Вначале рассмотрим повторный интеграл

Внутренний интеграл

берется при фиксированном y, -1 £ y £ 1. Поскольку подынтегральная функция при фиксированном y нечетная по x, а интегрирование по этой переменной осуществляется по отрезку [-1, 1], симметричному относительно точки 0, то внутренний интеграл равен 0. Очевидно, что внешний интеграл по переменной y от нулевой функции также равен 0, т.е.

Аналогичные рассуждения для второго повторного интеграла приводят к тому же результату:

Итак, для рассматриваемой функции f(x, y) повторные интегралы существуют и равны друг другу. Однако двойной интеграл от функции f(x, y) не существует. Чтобы убедиться в этом, обратимся к геометрическому смыслу вычисления повторных интегралов.

Для вычисления повторного интеграла

используется разбиение квадрата Е специального вида, равно как и специальным образом проводимый подсчет интегральных сумм. Именно, квадрат Е разбивается на горизонтальные полосы, (см. рис.2.7), а каждая полоса – на маленькие прямоугольники. Каждая полоска соответствует некоторому значению переменной y; например, это может быть ордината горизонтальной оси полосы.

Подсчет интегральных сумм производится так: сначала подсчитывается суммы для каждой полосы в отдельности, т.е. при фиксированном y для разных x, а затем эти промежуточные суммы суммируются для разных полос, т.е. для разных y. Если мелкость разбиения устремить к нулю, то в пределе мы получим указанный выше повторный интеграл.

Ясно, что для второго повторного интеграла

множество Е разбивается вертикальными полосами, соответствующими разным x. Промежуточные суммы подсчитываются внутри каждой полосы по маленьким прямоугольникам, т.е. по y, а затем они суммируются для разных полос, т.е. по х. В пределе, при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, получаем соответствующий повторный интеграл.

Чтобы доказать, что двойной интеграл не существует, достаточно привести один пример разбиения, расчет интегральных сумм по которому в пределе при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, дает результат, отличный от значения повторных интегралов. Приведем пример такого разбиения, соответствующего полярной системе координат (r, j) (см. рис. 2.8).

В полярной системе координат положение любой точки на плоскости М 0 (x 0 , y 0), где x 0 ,y 0 – декартовы координаты точки М 0 – определяется длиной r 0 радиуса, соединяющего ее с началом координат и углом j 0 , образуемым этим радиусом с положительным направлением оси x (угол отсчитывается против часовой стрелки). Связь между декартовыми и полярными координатами очевидна:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Разбиение строится следующим образом. Сначала квадрат Е разбивается на сектора радиусами, исходящими из центра координат, а затем каждый сектор – на маленькие трапеции линиями, перпендикулярными оси сектора. Подсчет интегральных сумм проводится так: сначала по маленьким трапециям внутри каждого сектора вдоль его оси (по r), а затем – по всем секторам (по j) . Положение каждого сектора характеризуется углом его оси j, а длина его оси r(j) зависит от этого угла:

если или , то ;

если , то ;

если , то

если , то .

Переходя к пределу интегральных сумм полярного разбиения при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, получим запись двойного интеграла в полярных координатах. Такую запись можно получить и чисто формальным образом, заменяя декартовы координаты (x, y) на полярные (r, j).

По правилам перехода в интегралах от декартовых координат к полярным следует писать, по определению:

В полярных координатах функция f(x, y) запишется так:

Окончательно имеем

Внутренний интеграл (несобственный) в последней формуле

где функция r(j) указана выше, 0 £ j £ 2p , равен +¥ для любого j, ибо

Следовательно, подынтегральная функция во внешнем интеграле, вычисляемом по j, не определена ни для какого j . Но тогда не определен и сам внешний интеграл, т.е. не определен исходный двойной интеграл.

Отметим, что для функции f(x, y) не выполнено достаточное условие существования двойного интеграла по множеству Е. Покажем, что интеграл

не существует. Действительно,

Аналогично устанавливается такой же результат для интеграла