Математика, которая мне нравится. Исследовательская работа по математике на тему "Треугольник Паскаля" (7 класс)

21.09.2019

Опубликовано в журнале Hard"n"Soft №10 2003

Удивительный треугольник великого француза

Я хорошо помню одного профессора, имевшего
видение и подумавшего, что он сходит с ума.
Он пришел ко мне в состоянии полнейшей паники.
В ответ я просто взял с полки книгу, написанную
около четырехсот лет назад, и показал пациенту
гравюру по дереву, изображавшую в точности
то, что ему привиделось.
Карл Густав Юнг. Человек и его символы.

Когда я читаю Паскаля, Мне кажется,
что я читаю себя.
Стендаль

Уничижительная формулировка "незаменимых людей нет", столь любимая бездарными управленцами, может и подошла бы, если бы речь шла о копании траншеи или уборке мусора. Всякий же вид деятельности, связанный с творчеством, наоборот, покажет незаменимость и уникальность каждого человека. А когда речь идет о гениях, то мы все должны благодарить судьбу за возможность пользоваться плодами их деятельности, за исходящий от них свет, освещающий пути развития человечества. На сайте журнала "Знание-сила" есть голосование по вопросу о том, кого вы считаете самым значительным ученым за прошедшие 2000 лет. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - посмотрите, кстати, интересно сравнить свои предпочтения с выбором большинства.) И, естественно, среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662).

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Особенно популярен был Турбо Паскаль 5.5 для ДОС, ныне - Борланд Паскаль 7.0 и его дальнейшее развитие в Delphi. Работы Паскаля охватывают самые разные области. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики (широко известен закон Паскаля, в соответствии с которым изменение давления в покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений), создателем механического счетного устройства - "паскалева колеса" - как говорили современники. Паскаль продемонстрировал, что воздух обладает упругостью, и доказал, что он имеет вес, открыл, что показания барометра зависят от влажности и температуры воздуха и потому его можно использовать для предсказания погоды.

Некоторые из практических достижений Паскаля удостоились высшего отличия - сегодня мало кто знает имя их автора. Например, сейчас очень немногие скажут, что самая обыкновенная тачка - это изобретение Блеза Паскаля. Ему же принадлежит идея омнибусов - многоместных конных экипажей с фиксированными маршрутами - первого вида регулярного общедоступного городского транспорта. Уже в шестнадцатилетнем возрасте Паскаль сформулировал теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (теорема Паскаля). (Известно, что позже он получил из своей теоремы около 400 следствий.) Через несколько лет Блез Паскаль создал механическое вычислительное устройство - суммирующую машину, которая позволяла складывать числа в десятичной системе счисления. В этой машине цифры задавались путем соответствующих поворотов дисков (колесиков) с цифровыми делениями, а результат операции можно было прочитать в окошках - по одному на каждую цифру.

Блез Паскаль и другой великий француз, Пьер Ферма, стали основателями теории вероятностей, причем годом ее рождения часто называют 1654-й, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в "безобидную" игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй - три). Как справедливо разделить приз? Хотя, вообще говоря, данная проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых видных ученых ее решить, а также неверные ответы создали легенду о парадоксе. Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5: 3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому - в отношении 2: 1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам).

А между тем делить надо в отношении 7:1. И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, причем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 2 3 = 8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7: 1. (Паскаль и Ферма нашли также общее решение для случая, когда одному игроку для получения приза нужно выиграть еще n партий, а другому - m партий.)

Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами. Рассмотрением этого волшебного треугольника мы и займемся, желающие углубить знания о гениальном ученом найдут на http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm список литературы о нем, а на "Подводной лодке" http://schools.techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm интригующий рассказ о Паскале, его отце, сестре и самом кардинале Ришелье.

Треугольник будет выпит
На ура его даешь!
Будь он хоть параллепипед,
Будь он куб, ядрена вошь
В.Высоцкий

В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть (напрягитесь и представьте!) - итого десять, и так далее. Подробнее о треугольных числах можно прочитать в Hard"n"Soft №4 2002 в статье "Кролики-каннибалы, четверостишия и заповедник последовательностей" доступной также на Арбузе .

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

Как же нам нарисовать треугольник Паскаля чтобы поиграть с ним? Лучше всего использовать идею, рассмотренную нами при программировании шестиугольной жизни в Hard"n"Soft №5 2002 (на Арбузе), а именно - берется обычный двумерный массив, но при выводе на экран ряды через один сдвигаются - четные ряды вправо на четверть шага, нечетные влево на четверть шага, и тогда ряды смещены на полшага, что дает нам шестиугольную структуру поля при прямоугольном массиве. А двумерность массива позволяет очень легко с ним работать, задав в цикле по строкам и рядам действия над ячейкой.

Повозившись пару минут, вы будете вознаграждены появившимся на экране треугольником и, значит, готовы к предстоящим необычным экспериментам. (Слишком много рядов задавать не стоит, так как с 13-14 рядов в середине начинают появляться четырех и пятизначные числа, они сливаются с рядом стоящими и картина смазывается. Можно, конечно, увеличить радиус ячейки и уменьшить шрифт, но все равно, числа в середине треугольника быстро растут и будут сливаться, хоть и на пару рядов ниже.)

Но сначала еще парочка интересных свойств треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр. Попробуйте с вишнями или яблоками одинакового размера, только не пытайтесь выйти с ними в четвертое измерение, они могут исчезнуть.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность Фибоначчи. Смотрите, например, вышеупомянутую статью "Кролики-каннибалы, четверостишия..." или многочисленные материалы на Арбузе.

Но в предыдущих публикациях мы не говорили о том, что числа Фибоначчи часто встречаются и в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, ... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, ..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y) n по степеням x и y. Например, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 и (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3 . Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y) n , достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

Предположим (пример от Мартина Гарднера), что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35. Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. И еще раз, для тех, кто хоть что-то понял. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

Где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. И тех же трех жен из семи можно выбрать столькими вариантами: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35, что мы раньше и получили. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Кстати, из формулы сочетаний следует, что количество вариантов выбора трех из семи равно количеству вариантов выбора четырех из семи, или, число вариантов заполнения карточек Спортлото 5 из 36 равно количеству выбора 31 из 36, поразмышляйте об этом приятном предмете.

Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба - в трех случаях, один герб - также в трех случаях и ни одного герба - в одном случае. Числа благоприятных испытаний для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля. Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться следующим свойством биномиальных коэффициентов: сумма коэффициентов бинома (х+у) n , а именно они и стоят в n-й строке треугольника Паскаля, равна 2 n . Действительно, сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... . Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256 . Желающее подробнее узнать о связи треугольника Паскаля с комбинаторикой могут посетить страничку http://combinatorica.narod.ru/third.html .

Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мыль - а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех-...) аналог? Оказывается можно! В статье О. В. Кузьмина (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) рассмотрен трехмерный аналог треугольника - пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами и приведены примеры процессов, которые такая модель может отражать.

Теперь, наконец-то, переходим к самому интересному для нас удивительному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо-удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Узоры эти таят в себе много неожиданностей. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел. У вершины треугольника Паскаля "притаился" треугольник состоящий из одной - единственной точки, затем идут треугольники, содержащие 6, 28, 120, 496, ... точек. Три из названных чисел - 6, 28 и 496 - известны как совершенные, поскольку каждая из них равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа. Например, 6=1+2+3. Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также существует ли хоть одно нечетное совершенное число. Подробнее о совершенных числах можно прочитать на Арбузе .

Приведем программу, реализующую расцветку треугольника в соответствии с четностью каждого числа треугольника. Вместо значения числа на его месте рисуется круг, заливаемый черным цветом для нечетных значений и белым для четных.

Четность числа легко определить сравнением остатка от деления на два с нулем, для четного остаток нуль, для нечетного - единица. А для определения остатка можно использовать функцию Mod, имеющуюся практически во всех языках программирования. Если же вам лень программировать, а увидеть это чудо непременно хочется, то зайдите на http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html и найдете там аплет, рисующий треугольник Паскаля точками с учетом четности.

Там же есть ссылка на исходный код на языке Java, можете разобраться и улучшить по своему усмотрению. Любителям математики сразу же бросится в глаза "фрактальность" полученного объекта, а точнее, мы видим не что иное, как "Треугольник Серпинского", аналог знаменитого "Ковра Серпинского". Особенно популярны эти модели, наряду со "Снежинкой Коха" и множествами Мандельброта и Жюли стали в последние годы ввиду повального увлечения фракталами и синергетикой. Поясним вкратце для новичков.

У мэтра популярной математики Мартина Гарднера найдём, что ещё в 1905 году на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии предлагалась задача: "Квадрат разделён на 9 частей (как для игры крестики-нолики) и центральный квадрат удалён. Затем каждый из оставшихся 8 квадратов разделён на 9 частей, центральный квадрат удалён и процедура повторяется многократно. Найти предел, к которому стремится площадь полученной фигуры". Так вот - полученная фигура и есть ковёр Серпинского - квадрат настолько дырявый, что он уже ближе к линии. Аналогично можно получить и увиденный нами треугольник - первоначально у треугольника соединяются середины сторон и полученный треугольник удаляется.

На втором этапе эта же операция проводится с тремя оставшимися треугольниками, потом с девятью оставшимися и так далее. Сможете ли вы найти предел, к которому стремится оставшаяся площадь? И как объяснить совпадение двух моделей?

Авторы странички http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ предлагают сразу строить треугольник Паскаля заполняя его не числами, а нулями или единицами по правилу: сумма двух нулей или двух единиц дает нуль (то есть, сумма двух четных или двух нечетных чисел всегда четна), а сумма нуля и единицы дает единицу (как сумма четного числа с нечетным). Этот прием позволит строить сколь угодно большой треугольник, а при заполнении его "настоящими" цифрами мы можем столкнуться с ограничением на машинное представление чисел, и с тем, что функция Mod на пределе числа, объявленного как Double начинает сбоить. Еще авторы упомянутой странички предлагают организовать треугольник как двумерный массив (что мы с вами и проделали) и использовать его поле для моделирования Клеточных Автоматов, чем мы и занимались в статье об игре Жизнь (на Арбузе), правда, не ограничивая поле треугольником.

Движемся далее - пробуем проверять не четность, а остаток от деления на другие числа, и каждый раз удивляемся открывающимся видом треугольника. Поиграв некоторое время, заметим, что при задании числа, деление на которое мы проверяем, простым, получаются красивые орнаменты с ярко выраженной закономерностью (попробуйте задать 3, 5, 7, 11, 13, 17....), а при делении на составное число орнамент рассыпается, сохраняя, впрочем, симметрию и закономерность в чередовании узоров. Причем, чем больше делителей имеет проверяемое число (например, 12 делится на2, на 3, 4 и 6), тем более "размытым" получается узор.

Рассмотрите треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым, и попробуйте увидеть закономерности.

Желающим углубиться в связи комбинаторики, теории вероятности и треугольника Паскаля рекомендуем статью Грегори Дж.Чейтин "Случайность в арифметике" из журнала В МИРЕ НАУКИ. (Scientific American. Издание на русском языке). № 9 1988, расположенную на http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html , а мы пока займемся новой забавой - попробуем раскрасить треугольник Паскаля. Для этого назначим три переменных (r,g,b), ответственных, соответственно, за красную, зеленую и синюю составляющую раскраски ячейки и привяжем их значение (максимальное может быть равным 255) к проверке делимости на разные числа. В приведенном листинге программы красный цвет зависит, по-прежнему, от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11. Многочисленные варианты экспериментов помечены апострофами как комментарии, вы можете их "оживить" или придумать свои "контрольные числа" и их цветовые оттенки.

Dim a(100, 100) As Double Dim radius As Byte, i As Byte, kol As Byte Dim sdvig As Integer, X As Integer, Y As Integer, X1 As Integer, Y1 As Integer Private Sub Form_Load() For Y = 1 To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y radius = 5 " радиус ячейки в пикселя kol = 20 " Количество рядов a(Int(kol / 2), 0) = 1 " первая единица, от которой и растет треугольник DrawWidth = 1 " Толщина линии For Y = 0 To kol For X = 1 To kol sdvig = radius / 2 * (-1) ^ Y " Сдвиг каждого ряда то влево, то вправо If Y > 0 Then If sdvig > 0 Then a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Else a(X, Y) = a(X + 0, Y - 1) + a(X - 1, Y - 1) End If End If X1 = 60 + X * radius * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * radius * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0: b = 0 If a(X, Y) > 0 Then If (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Then r = 250 "If (a(X, Y) / 4) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Then r = 120 "If (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Then r = 180 "If (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Then r = 250 "If (a(X, Y) / 3) - Int(a(X, Y) / 3) = 0 Then g = 60 If (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Then g = 250 "If (a(X, Y) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Then g = 180 "If (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Then g = 250 If (a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Then b = 250 "If (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13) = 0 Then b = 120 "If (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Then b = 180 "If (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Then b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Цвет заливки Circle (X1, Y1), radius, RGB(90, 90, 90) End If Next X Next Y " Выход из программы Private Sub Exit_Click() End End Sub

И вот результат работы программы. Не правда ли красиво? Видны красные треугольные "зоны Серпинского", которые, накладываясь на зеленые окошки от девяток, дают желтые зоны, а с синими участками от деления на 11 дают сиреневые участки. Имеет ли эта красота прикладное значение кроме узора для обоев пока не ясно, но от треугольника Паскаля, особенно цветного, можно ожидать любых чудес, возможно, и в скором будущем. А вот еще один вариант раскраски, выполненный по алгоритму

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Рассмотрите картинку, попытайтесь увязать ее с алгоритмом, а еще лучше, попробовать свой вариант. В статье http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm предлагается использовать для построения треугольника Паскаля рекурсию. Что такое рекурсия, и насколько она оптимальна при программировании, можно посмотреть на http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm . На страницах http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html и http://dkws.narod.ru/math/tpas.html вы найдете программы для составления треугольника Паскаля, а на странице http://galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html еще и аплет, рисующий его на экране, правда, вы теперь уже и так во всеоружии, но эти странички могут натолкнуть вас на новые идеи.

О треугольнике Паскаля есть еще хорошая статья ведущего рубрики занимательного программирования "Компьютерных вестей" А. Колесникова на http://www.kv.by/index2002151201.htm . Мы начинали рассмотрение треугольника Паскаля с вариантов движения, ими и закончим. На страничке, посвященной головоломкам, выложена книга Евгения Гика "Шахматы и математика". В главе, посвященной геометрии шахматной доски (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски.) А связь с нашей темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках. И используйте это в ваших эндшпилях.

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Рассмотрите сами, начиная сверху эти суммы, и увидите значения 1, 3, 7, 15, 31,... Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2 n -1. А причем здесь шахматы? По общеизвестной легенде раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его завхозы-кладовщики прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. (Кстати, можно прикинуть высоту слоя зерна, задавшись объемом зернышка, например, 1 мм 3 , умножить на 2 64 , непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности.) Так вот - на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника. На этой изобильной фантазии и завершим его рассмотрение.

Числовой треугольник Паскаля

В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше - слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю. Треугольник бесконечно простирается вниз; мы приводим лишь восемь верхних строчек: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …

Обозначим буквой n номер строки треугольника, а буквой k - номер числа в строке (нумерация начинается в обоих случаях с нуля). Чаще всего число в n -ой строке и на k -ом месте в этой строке обозначается C n k , реже - n k .

Назовём лишь некоторые факты, относящиеся к треугольнику Паскаля.

Числа в n -ой строке треугольника являются биномиальными коэффициентами , то есть коэффициентами в разложении n -ой степени бинома Ньютона : a + b n = ∑ k = 0 n C n k ⁢ a k ⁢ b n − k .

Сумма всех чисел в n -ой строке равна n -ой степени двойки: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Эта формула получается из формулы бинома, если положить a = b = 1 .

Можно доказать явную формулу для вычисления биномиального коэффициента: C n k = n ! k ! ⁢ n − k ! .

Если строки в треугольнике Паскаля выровнять по левому краю, то суммы чисел, расположенных вдоль диагоналей, идущих слева направо и снизу вверх, равны числам Фибоначчи - 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих, а начинают последовательность две единицы): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 6 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃

Если раскрасить нечётные числа в треугольнике Паскаля в один цвет, а чётные - в другой, получится такая картина (на рисунке 10.1. «Треугольник Паскаля - Серпинского» указанным образом раскрашены числа в первых 128 строчках):

Похожее изображение можно построить следующим образом. В закрашенном треугольнике перекрасим в другой цвет его серединный треугольник (образованный серединами сторон исходного). Три маленьких треугольника, расположенные по углам большого, останутся закрашенными в прежний цвет. Поступим с каждым из них точно так же, как мы поступили с большим, то есть перекрасим в каждом серединный треугольник. То же самое сделаем с оставшимися треугольниками старого цвета. Если эту процедуру проделывать до бесконечности, на месте исходного треугольника останется двухцветная фигура. Та её часть, которая не перекрашена, называется треугольником Серпинского . Несколько первых этапов построения треугольника Серпинского показаны на рисунке 10.2. «Построение треугольника Серпинского» .

Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие - ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам). Самоподобие - одно из характерных свойств фракталов , о которых мы ещё поговорим в главе 44. «L-системы » . Треугольник Серпинского также будет упомянут в этой главе.

О таинственной связи треугольника Паскаля с простыми числами мы вычитали в книге в небольшой заметке Ю. Матиясевича . Заменим в треугольнике Паскаля числа на их остатки от деления на номер строки. Расположим строки в полученном треугольнике таким образом, чтобы следующая строка начиналась на две колонки правее начала предыдущей (см. рисунок 10.3. «Связь треугольника Паскаля с простыми числами»). Тогда столбцы с простыми номерами будут состоять из одних нулей, а в столбцах, чьи номера составные, найдётся ненулевое число.

История треугольника. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Свойства треугольника Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятностей обладает занимательными свойствами.

Свойства треугольника Паскаля. Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси. первое и последнее числа равны 1. второе и предпоследнее числа равны n. третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк. четвёртое число является тетраэдрическим. Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи. Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n. Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные в белый, то образуется треугольник Серпинского. Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом. Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Знаменитый американский учёный Мартин Гарднер сказал: «треугольник Паскаля так прост, что выписать его может и десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Числовой треугольник Паскаля

Назовём лишь некоторые факты, относящиеся к треугольнику Паскаля.

Можно доказать явную формулу для вычисления биномиального коэффициента: C n k = n ! k ! ⁢ n − k ! .

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Его творческая биография еще раз подтверждает истинность выражения Лиона Фейхтвангера «Талантливый человек, талантлив во всем». Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Несколько слов о гении

Блез Паскаль по современным меркам умер рано, в возрасте 39 лет. Однако за свою короткую жизнь он проявил себя как выдающийся физик, математик, философ и писатель. Благодарные потомки назвали в его честь единицу давления и популярный язык программирования Pascal. Он уже почти 60 лет используется для обучения написания различных кодов. Например, с его помощью каждый школьник может написать программу для вычисления площади треугольника на «Паскале», а также исследовать свойства схемы, о которой речь пойдет ниже.

Деятельность этого ученого с экстраординарным мышлением охватывает самые разные области науки. В частности, Блез Паскаль является одним из основателей гидростатики математического анализа, некоторых направлений геометрии и теории вероятностей. Кроме того, он:

создал механический калькулятор, известный под названием Паскалева колеса;
представил экспериментальное доказательство того, что воздух обладает упругостью и имеет вес;
установил, что барометр можно использовать для предсказания погоды;
изобрел тачку;
придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Арифметический треугольник Паскаля

Как уже было сказано, этот великий французский ученый внес огромный вклад в математическую науку. Одним из его безусловных научных шедевров является «Трактат об арифметическом треугольнике», который состоит из биномиальных коэффициентов, расставленных в определенном порядке. Свойства этой схемы поражают своим разнообразием, а сама она подтверждает пословицу «Все гениальное — просто!».

Немного истории

Справедливости ради нужно сказать, что на самом деле треугольник Паскаля был известен в Европе еще в начале 16 века. В частности, его изображение можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета. Похожий треугольник представлен и в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй, изданной в 1303 году. О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

Описание

Прежде чем исследовать интереснейшие свойства треугольника Паскаля, прекрасного в своем совершенстве и простоте, стоит узнать, что он из себя представляет.

Говоря научным языком, эта числовая схема - бесконечная таблица треугольной формы, образованная из биномиальных коэффициентов, расположенных в определенном порядке. В его вершине и по бокам находятся цифры 1. Остальные позиции занимают числа, равные сумме двух чисел, расположенных над ними рядом выше. При этом все строки треугольника Паскаля симметричны относительно его вертикальной оси.

Основные свойства

Треугольник Паскаля поражает своим совершенством. Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

первое и последнее числа — 1;
второе и предпоследнее — n;
третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде т. е. 1, 3, 6, 10): T n -1 = n (n - 1) / 2.
четвертое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании.

Кроме того, сравнительно недавно, в 1972 году, было установлено еще одно свойство треугольника Паскаля. Для того чтобы его обнаружить, нужно записать элементы этой схемы в виде таблицы со сдвигом строк на 2 позиции. Затем отмечают числа, делящиеся на номер строки. Оказывается, что номер столбца, в котором выделены все числа, является простым числом.

Тот же трюк можно осуществить и по-другому. Для этого в треугольнике Паскаля заменяют числа на остатки от их деления на номер строки в таблице. Затем располагают строки в полученном треугольнике так, чтобы следующая из них начиналась правее на 2 колонки от первого элемента предыдущей. Тогда столбцы, имеющие номера, являющиеся простыми числами, будут состоять только из нулей, а в тех, у которых они составные, будет присутствовать хотя бы один ноль.

Связь с биномом Ньютона

Как известно, так называется формула для разложения на слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, которая имеет вид:

Присутствующие в них коэффициенты равны C n m = n! / (m! (n - m)!), где m, представляет собой порядковый номер числа в строке n треугольника Паскаля. Иными словами, имея под рукой эту таблицу, можно легко возводить в степень любые числа, предварительно разложив их на два слагаемых.

Таким образом, треугольник Паскаля и бином Ньютона взаимосвязаны самым тесным образом.

Математические чудеса

При внимательном изучении треугольника Паскаля можно обнаружить, что:

сумма всех чисел в строке с порядковым номером n (отсчет ведется с 0) равна 2 n ;
если строки выровнять по левому краю, то суммы чисел, которые расположены вдоль диагоналей треугольника Паскаля, идущих снизу вверх и слева направо, равны числам Фибоначчи;
первая «диагональ» состоит из натуральных чисел, идущих по порядку;
любой элемент из треугольника Паскаля, уменьшенный на единицу, равен сумме всех чисел, расположенных внутри параллелограмма, который ограничен левыми и правыми диагоналями, пересекающимися на этом числе;
в каждой строке схемы сумма чисел на четных местах равна сумме элементов на нечетных местах.

Треугольник Серпинского

Такая интересная математическая схема, достаточно перспективная с точки зрения решения сложных задач, получается, если раскрасить четные числа Паскалевого изображения в один цвет, а нечетные — в другой.

Треугольник Серпинского можно выстроить и другим образом:

в закрашенной схеме Паскаля перекрашивают в другой цвет серединный треугольник, который образован путем соединения середин сторон исходного;
точно также поступают с тремя незакрашенными, расположеными в углах;
если процедуру продолжать бесконечно, то в итоге должна получиться двухцветная фигура.

Самое интересное свойство треугольника Серпинского — его самоподобие, так как он состоит из 3-х своих копий, которые уменьшены в 2 раза. Оно позволяет отнести эту схему к фрактальным кривым, а они, как показывают новейшие исследования лучше всего подходят для математического моделирования облаков, растений, дельт рек, да и самой Вселенной.

Несколько интересных задач

Где используется треугольник Паскаля? Примеры задач, которые можно решать с его помощью, достаточно разнообразны и относятся к различным областям науки. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.

Задача 1. У некоторого большого города, обнесенного крепостной стеной, только одни входные ворота. На первом перекрестке основная дорога расходится на две. То же происходит и на любом другом. В город заходят 210 человек. На каждом из встречающихся перекрестков они делятся пополам. Сколько человек будет находить на каждом перекрестке, когда делиться будет уже невозможно. Ее ответом является 10 строка треугольника Паскаля (формула коэффициентов представлена выше), где по обе стороны от вертикальной оси расположены числа 210.

Задача 2. Имеется 7 наименований цветов. Нужно составить букет из 3 цветков. Требуется выяснить, сколькими различными способами это можно сделать. Эта задача из области комбинаторики. Для ее решения опять же используем треугольник Паскаля и получаем на 7 строке на третьей позиции (нумерация в обоих случаях с 0) число 35.

Теперь вы знаете, что изобрел великий французский философ и ученый Блез Паскаль. Его знаменитый треугольник при правильном использовании может стать настоящей палочкой-выручалочкой для решения множества задач, особенно из области комбинаторики. Кроме того, его возможно использовать для разгадывания многочисленных загадок, связанных с фракталами.