Методы математической морфологии при обработке изображений. Обзор применения математической морфологии в распознавания болезней сельскохозяйственных культур

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ И ОБРАБОТКА

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Одним из сравнительно новых направлений в анализе изображений является применение аппарата математической морфологии. Начало математической морфологии, использующей представления теории множеств и интегральной геометрии, было положено работами французских исследователей Ж.Матерона и Дж.Серра , занимавшихся проблемами минералогии и петрографии. Цель их исследований состояла в количественном описании физических и механических свойств материалов посредством анализа их геометрической структуры. За последующее время математическая морфология достигла состояния серьезного инструмента обработки изображений с основным применением в материаловедении, исследовании цитологических препаратов, анализе медицинских изображений.

Конечно, объема одной лекции совершенно недостаточно для сколь-нибудь последовательного изложения теоретических основ. Поэтому данная лекция имеет скорее иллюстративный характер. Здесь фрагментарно обсуждаются основные операции математической морфологии и их свойства, и приводятся результаты применения этих операций для обработки и анализа изображений (в основном двухградационных).

Следует заметить, что публикации, посвященные как теоретическим вопросам математической морфологии, так и ее приложениям в области обработки изображений, в русскоязычной литературе практически отсутствуют. При написании этого материала у нас возникали трудности с некоторыми русскоязычными названиями морфологических операций, адекватно передающими смысл названий, введенных в оригинальных англоязычных работах , на которых базируется изложение. Обозначения в основном совпадают с обозначениями, принятыми в .

Напомним некоторые основные понятия из теории множеств, которые потребуются в дальнейшем. Пусть - n -мерное пространство. Ниже обычно предполагается, что
или
, где
- n -мерное евклидово пространство, а
- n -мерное дискретное пространство (n -мерная решетка). В применении к изображениям, как правило, рассматриваются двумерные пространства. Если
и
- множества в , то объединением множеств
и называется множество , (т.е. множество, состоящее из таких элементов , которые принадлежат или ), а пересечением множеств
называется дополнением множества . Разностью множеств и называется множество . Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается такое множество как
. Справедливы следующие соотношения:

;

; (10.1)

.

Определим на индикаторную функцию множества следующим образом:

.

Определим также меру множества :

- для непрерывного пространства и

- для дискретного пространства .

Для изображений эти определения означают, что мерой множества является его площадь в непрерывном случае и количество узлов решетки, входящих в множество – в дискретном.

10.1. Операции математической морфологии

Двухградационное изображение можно рассматривать как индикаторную функцию набора множеств в
(как, например, индикаторную функцию множества
на рис.10.1). Для данного множества можно зафиксировать некоторый элемент (не обязательно принадлежащий этому множеству), который назовем центром (или началом) множества . Обозначим через
множество , центр которого помещен в точку . Одним из основных понятий математической морфологии является понятие структурного элемента . Структурный элемент - это множество, состоящее из двух непересекающихся подмножеств и
, для которых определено общее начало.

Рис.10.1. Двухградационное изображение

HM-преобразование.

Согласно , базовым преобразованием, позволяющим строить набор различных операций математической морфологии, является преобразование Hit or Miss. Нам не удалось найти адекватного перевода этому названию, поэтому далее будем пользоваться названием “HM-преобразование”. Для данного множества
и данного структурного элемента результат HM-преобразования определяется как

(Здесь через
обозначено дополнение множества .)

Нетрудно видеть (рис.10. 2), что в результате HM-преобразования на исходном изображении выделяются элементы, окрестность которых совпадает со структурным элементом (заметим, что форма окрестности определяется формой структурного элемента). Условие (10.2) выполняется для элементов, лежащих на нижней границе (например, 1- 4 позиции структурного элемента). В позиции 5
, но
, в позиции 6 , наоборот,
, но
, а в позиции 7 не выполняются оба условия.

Применяя HM-преобразование с различными структурными элементами можно выделять специфические геометрические особенности изображений.

Рис.10.2. HM-преобразование

Эрозия.

Частным случаем HM-преобразования является операция эрозии (erosion ) . Пусть в структурном элементе подмножество - пусто (
). При этом условие всегда выполняется, и в множество включаются только те элементы исходного множества , для которых выполняется условие
:

Иначе говоря, если
, а
, то в множество включаются такие элементы, для которых выполняется условие
(рис.10.3).

Рис.10.3. Эрозия

С другой стороны, если пробегает все возможные положения в , условие выполняется тогда и только тогда, когда принадлежит смещенному множеству
(рис.10.4). Поэтому другое, эквивалентное, представление операции эрозии имеет вид

где
- множество, симметричное относительно его начала. Это представление может оказаться полезным при численной реализации операции эрозии.

Другое представление дилатации имеет вид

, (10.4’)

как это показано на рис.10.6.

Если рассматривать множество как объект, а как фон в изображении, то дилатацию объекта можно интерпретировать как эрозию фона:

. (10.5)

Действительно,

Алгебраические свойства дилатации и эрозии.

Приведем здесь без доказательства ряд полезных свойств рассмотренных операций.

a) Дистрибутивность:

дилатация дистрибутивна относительно объединения

, (10.6)

а эрозия - относительно пересечения множеств

. (10.6’)

Свойство дистрибутивности с учетом соотношения (10.5) позволяет выполнять операции над по фрагментам, комбинируя затем результаты посредством объединения или пересечения.

б) Итеративность:

Это чрезвычайно важное свойство, поскольку оно позволяет разлагать сложные структурные элементами в композицию более простых (рис.10.7). Соответственно, операции со сложными элементами могут быть заменены последовательностью операций с более простыми. Так, эрозию некоего множества посредством структурного элемента
, приведенного на рис.10.7,

можно заменить четырьмя последовательными эрозиями со структурными элементами
.

в) инвариантность к изменению масштаба:

В этих соотношениях через
,
обозначены множества

И (рис.10.8).

Применение эрозии и дилатации.

Эрозия и дилатация – операции, предназначенные в первую очередь для выявления морфологических особенностей изображений, причем для выявления различных особенностей используются различные структурные элементы. Например, эрозия посредством круга с радиусом позволяет найти в изображении объекты, минимальный поперечный размер которых превышает
. Если же в качестве структурного элемента взять две точки, смещение между которыми определяется вектором , эрозия позволит выделить объекты, имеющие соседей в направлении и на расстоянии, заданных эти вектором (рис.10.9). (Под объектами здесь подразумеваются односвязные множества).

Более интересное применение эрозии с двухточечным структурным элементом заключается в том, что с ее помощью можно вычислять автокорреляцию изображения. Автокорреляция изображения, заданного индикаторной функцией
определяется как

где
можно интерпретировать как индикаторную функцию множества
, зависящего от параметра , поскольку

.

Нетрудно убедиться, что
, поэтому

С другой стороны, посредством эрозии и дилатации можно осуществлять фильтрацию изображений. Условной эрозией назовем операцию

а условной дилатацией - операцию

где - некоторое множество.

Введем последовательность структурных элементов
и обозначим (10.10)

последовательные эрозии и

последовательные дилатации множества посредством структурных элементов . Последовательной условной эрозией назовем операцию

а последовательной условной дилатацией – операцию

Последовательность может быть как конечной, так и бесконечной. Отметим, однако, не приводя доказательства, что если множество ограничено, то последовательные условные операции сходятся к устойчивому результату за конечное число шагов.

Пусть - бесконечная последовательность одинаковых структурных элементов, скажем, кругов радиуса с началом в центре круга. Тогда операция

Позволяет удалить из изображения все объекты с поперечными размерами менее , полностью сохранив форму оставшихся объектов. Напротив, операция удаляет внутри объектов полости с поперечным размером менее , сохраняя при этом неизменными внешние границы объектов (рис.10.10).

Заполнение и пополнение.

Выше мы видели, что в общем случае невозможно точно восстановить исходное множество после эрозии
с помощью только дилатации посредством того же структурного элемента . Дилатация восстанавливает только часть множества , имеющую меньше деталей, но наиболее существенную с точки зрения характеристик формы и размера.

Определим операцию заполнения (opening в оригинальных работах) множества посредством структурного элемента как

. (10.12)

Аналогично определим операцию пополнения (closing ) множества посредством структурного элемента :

. (10.13)

Легко показать, что

и
. (10.14)

В применении к изображениям эти соотношения означают, что заполнение (соответственно, пополнение) объектов и пополнение (соответственно, заполнение) фона суть операции эквивалентные.

Приведем без доказательства важное свойство этих операций – их идемпотентность :

и
. (10.15)

Применение заполнения и пополнения.

Так же как эрозия и дилатация, заполнение и пополнение могут быть использованы для фильтрации изображений, сглаживания границ объектов, удаления мелких объектов и узких “хвостов” (заполнение), удаления мелких полостей и узких “каналов” (пополнение). Степень сглаживания и размеры удаляемых артефактов зависят от размеров структурного элемента, который обычно выбирается в форме круга для непрерывных изображений или правильного выпуклого многоугольника – для дискретного случая. Отметим, что при фильтрации одинаковыми структурными элементами степень искажений, вносимых в полезные детали изображения, при использовании заполнения (пополнения), оказывается значительно меньшей, чем при использовании эрозии (соответственно, дилатации). Сравните, например, на рис.10.10 результаты операций и
(
и
, соответственно). Поскольку в этом примере структурный элемент симметричен относительно отражения от начала, т.е.
, то
, а
.

Более интересным представляется применение операции заполнения для описания формы объектов. Пусть анализируемое множество - круг радиуса и структурный элемент
- круг радиуса с началом в центре круга. Рассмотрим поведение функции

Легко понять, что до тех пор, пока радиус структурного элемента не превышает радиуса анализируемого множества,
. Как только превысит ,
, поскольку в результате эрозии, являющейся первой операцией в заполнении, будет получено пустое множество. В результате получим

.

Пусть теперь множество - область, ограниченная эллипсом с полуосями и , причем
. Радиус кривизны эллипса достигает своего минимального значения
при пересечении с большой осью. Поэтому до тех пор, пока радиус структурного элемента будет меньше, чем
, заполнение не будет приводить к изменению исходного множества и следовательно . С другой стороны, ясно, что как только радиус структурного элемента станет больше малой полуоси эллипса , в результате заполнения получится пустое множество и
примет нулевое значение. В промежутке от до
будет монотонно убывать от
до нуля. Поэтому
примет вид:

,

где
- монотонно убывающая функция (
).

Иногда удобнее пользоваться функцией
, характеризующей изменение меры анализируемого множества при заполнении его семейством монотонно увеличивающихся структурных элементов. На рис.10.11 приведены примеры объектов разной формы и соответствующие им функции
.

Функция может быть вычислена не для одиночного объекта, а, скажем, для изображения, содержащего множество объектов. Можно предполагать, что если все объекты имеют близкие размеры, то будет унимодальной, а если объекты образуют несколько групп по размерам, то в появиться несколько выраженных пиков при значениях , соответствующих этим размерам.

Аналогичным образом сформировав функцию

для операции пополнения, можно использовать ее для анализа расстояний между объектами и обнаружения пространственной группировки объектов.

10.2. Морфологические операции в дискретном пространстве

Обычно -мерные дискретные данные упорядочиваются в соответствии с целочисленными параметрами, образуя некоторую пространственную структуру. Если эти параметры изменяются регулярным образом (например, номера столбцов и строк в дискретном изображении), структура может быть представлена в виде решетки. Построим двумерную решетку следующим образом: определим в
два линейно независимых вектора и . Решеткой назовем множество вершин всех возможных векторов вида
, где
- целые числа. Примеры наиболее распространенных решеток приведены на рис.10.12.

Переход от непрерывного к дискретному пространству создает ряд проблем не только формального, но и практического характера. Принципиальная анизотропия дискретного пространства делает невозможным, например, поворот на произвольный угол. Возникает проблема и с определением расстояния, которое в непрерывном пространстве вводится достаточно естественным образом. Для некоторых типов решеток неоднозначным образом определяется понятие соседства. Последнее обстоятельство иллюстрирует рис.10.13. Назовем множество связным, если из одной его точки к любой другой можно проложить путь, проходящий только по точкам, принадлежащим этому множеству, при этом каждая следующая точка пути должна соседствовать с текущей.

На рис.10.13а слева приведено три возможных определения соседства для прямоугольной решетки: соседство через стороны решетки, соседство через узлы решетки и соседство через стороны и узлы. Если мы примем первое определение соседства, то обнаружим, что белое поле в правой части рисунка состоит из двух частей, не связных между собой. Следовательно, их должна разделять связная область черного цвета. Между тем, такой области нет, поскольку точки черного контура тоже не связны между собой. Если воспользуемся вторым определением соседства, получим не менее парадоксальную ситуацию: теперь точки и вне и внутри связного контура принадлежат односвязной области. Та же ситуация возникает и при третьем определении соседства.

Один из способов устранения этого противоречия состоит в том, чтобы определять по-разному соседство для белых и черных областей, скажем, для белых определить соседство через стороны, а для черных - через узлы. Но тогда одни и те же операции, выполненные на изображениях, инвертированных друг относительно друга по яркости, могут приводить к различным результатам. Другой способ состоит в выборе типа решетки, не создающего вовсе этой проблемы. К такому типу относится гексагональная решетка (рис.10.13б). Поэтому ниже будем пользоваться этой решеткой.

Влияние анизотропии дискретного пространства демонстрирует рис.10.14. Здесь показано поведение функции , вычисленной для объекта, представляющего дискретную аппроксимацию равностороннего треугольника на гексагональной решетке. В качестве структурного элемента используется дискретный аналог круга радиуса - гексагон
, где - длина стороны гексагона (см. рис.10.14а слева). В первом случае (рис.10.14а) стороны треугольника параллельны базисным векторам решетки , и вектору
, задающему третье главное направление решетки . Во втором случае (рис.10.14б) треугольник повернут на угол 90.

Рис.10.14. Влияние ориентации на функцию формы объекта. Белым обозначены точки, исчезающие на первом шаге ( ); светло-серым – на втором ( ); темно-серым – на третьем ( ); черным – на четвертом ( )

Эти особенности необходимо учитывать при реализации введенных выше морфологических операций в дискретном пространстве. Существует ряд операций, которые можно определить и в непрерывном пространстве, однако их применение имеет практический смысл только на решетках. Одна из таких операций нам уже известна. Это HM-преобразование. HM-преобразование, использующее различные структурные элементы, позволяет выделять особые точки на изображении. Например, точки разветвления линий на гексагональной решетке могут появляться только в конфигурациях, приведенных на рис.10.15, причем конфигурации 1-2, 3-8 и 9-14 идентичны с точностью до поворота вокруг центральной точки. Поэтому HM-преобразование с использованием структурных элементов, построенных на базе конфигураций 1, 3 и 9, позволяет выявить любые точки разветвления.

Вычисление количества связных компонент.

Полостями множества называются связные компоненты множества . На гексагональной решетке количество связных компонент и количество полостей множества связаны соотношением

, (10.18)

где символом
обозначено количество конфигураций , встречающихся в множестве . Доказательство этого утверждения можно найти в . Если компоненты не содержат полостей, то просто равно их количеству, поскольку в этом случае состоит из одной связной компоненты и, следовательно,
. Но, как мы видели раньше, HM-преобразование выделяет в исходном множестве точки, окрестность которых совпадает со структурным элементом. Используя в HM-преобразовании структурные элементы, приведенные на рис.10.16, получим

Утончение и утолщение.

Операция утончения (thinning ) определяется как

а операция утолщения (thickenning ) - как

где
- структурный элемент, состоящий из двух непересекающихся подмножеств и .

Отметим, что если начало структурного элемента принадлежит , то
, если же начало принадлежит , то
. Поэтому в первом случае
при любом , а во втором -
при любом . Чтобы избежать получения этих тривиальных результатов, всегда будем полагать, что при выполнении операции утончения (соответственно, утолщения) начало структурного элемента не принадлежит (соответственно, ). Кроме того, можно показать, что
, где
. Примеры операций утончения и утолщения приведены на рис.10.17.

Рис.10.16. Утончение и утолщение: а - серыми кружками помечено исходное множество; б - черными кружками помечен результат HM-преобразования посредством структурного элемента , а крестиками - результат HM-преобразования посредством структурного элемента (начало структурного элемента – кружок с точкой в центре); в – утончение; г – утолщение. Приведенный пример демонстрирует применение операции утончения для построения скелетона (или скелета) множества . Понятие скелетона (или скелета) достаточно интуитивно. На этом уровне его иногда пытаются описать с помощью качественной модели “степного пожара”. Представим себе степной массив, покрытый сухой травой. Допустим, что одновременно вдоль всей границы массива вспыхивает огонь, распространяющийся во всех направлениях с одинаковой скоростью. В первый момент фронт распространения огня совпадает с границей. По мере его распространения различные участки фронта встречаются друг с другом, и в местах встречи фронтов огонь будет гаснуть. Вот эти места самогашения огня и образуют “скелетон” массива (рис.10.19). связно, то его скелетон тоже является связным множеством. К сожалению, скелетон множества, заданного на дискретной решетке только приближенно напоминает скелетон непрерывного множества. Более того, для одного и того же множества результат построения скелетона посредством последовательных утончений может быть различным в зависимости от порядка структурных элементов в последовательности (топологические свойства скелетона, такие как количество связных компонент, точек разветвления, ветвей, концевых точек и т.д. при этом сохраняются). Это снова связано с анизотропией дискретного пространства. Тем не менее, применение дискретного скелетона иногда оказывается чрезвычайно полезным. Так, скелетонизацией часто пользуются при обработке чертежей или распознавании символов для сведения линий к единичной ширине. Построение скелетона фоновой компоненты изображения, содержащего некоторое множество объектов, позволяет сегментировать его на участки, каждый из которых можно интерпретировать как зону влияния (жизненное пространство) объекта. Статистический анализ размеров, ориентации и количества соседей таких зон применяется при анализе прочностных характеристик материалов, при исследовании поведения популяций микроорганизмов и развития лесных массивов. Множество примеров применения операций утончения, утолщения и построенной на них скелетонизации можно найти в . Предложите способ выделения всех граничных точек. 10.6. Какие структурные элементы на гексагональной решетке позволяют выделять с помощью HM-преобразования концевые точки линий (структурные элементы, отличающиеся только ориентацией, считать идентичными)? 10.7. Какую операцию и какой структурный элемент следует использовать для устранения изолированных черных точек на изображении, заданном на гексагональной решетке? 10.8. Допустим, что структурный элемент на гексагональной решетке может быть определен в пределах минимального гексагона (см., например, рис.10.13б слева). Нарисуйте все возможные структурные элементы, с которыми операция утончения не приведет к изменению связности (структурные элементы, отличающиеся только ориентацией, считать идентичными). Литература к главе 10 10.1. Матерон Ж . Случайные множества и интегральная геометрия. –М.: Мир, 1978. 10.2. Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology. –London-New York: Academic Press, 1982. ГЛАВА ... обработка текстов и изображений ... Y) представляет математическое выражение в форме... триада (ОРГАНИЗМ-1, морфология , палочка) ... Глава 1 Введение в теорию разведывательной информации Автореферат диссертации Третьем разделе этой главы . 3. Обработка разведывательных данных - ... них охоту заниматься изображением , исследованием, что... 10 лишен фактически всех наиболее интересных функций - не поддерживает морфологию ... бесстрастную форму математической задачи: данные... Построение и исследование дескриптивных алгебр изображений с одним кольцом Автореферат диссертации Методы обработки изображений и методы математической теории анализа изображений и математической теории... математической морфологии Ж.Серра, алгебре изображений С.Стернберга и стандартной алгебре изображений Г.Риттера. Математическая морфология ... Основная образовательная программа начального основного и среднего общего образования « средняя общеобразовательная школа № 10» Основная образовательная программа ... 10 -20 мин. 10 -20 мин. 10 -20 мин. Минимальная 10 10 10 ... . Анализ информации, математическая обработка данных в исследовании... разновидностей языка. Морфология 1. Морфология как раздел... главы «Переправа», «Два бойца»). История создания поэмы. Изображение ...

Пусть дано евклидово пространство E N , на множестве объектов (подмножеств) которого введены отношения включения (Ì), объединения (È) и пересечения (Ç). Рассмотрим некоторое преобразованиеY: E N ®E N (операторY).

Оператор Yназываетсяувеличивающим (increasing), если

(XÌY)Þ(Y(X)ÌY(Y)), X,YÌE N ,

то есть оператор сохраняет отношение принадлежности.

Оператор Yназываетсядилатацией (расширением ), если

Y(Ux i) = UY(x i), "x i ÌE N ,

то есть оператор сохраняет объединение.

Аналогично, оператор, сохраняющий пересечение, называется эрозией (сжатием ), если

Y(Çx i) = Ç(Y(x i)), "x i ÌE N .

Оператор называется экстенсивным , еслиY(X)ÊX иантиэкстенсивным , если

При рассмотрении последовательного применения операторов вводятся понятия:

усиливающий оператор (Y(Y(X))ÊY(X));

ослабляющий оператор (Y(Y(X))ÍY(X));

равносильный оператор (Y(Y(X)) =Y(X)).

Морфологическими фильтрами называется множество операторов, являющихся одновременно равносильными и увеличивающими .

Морфологические операции на бинарных изображениях

Классическое описание операций бинарной математической морфологии было дано в терминах теории множеств , оперирующей такими понятиями как объединение множеств, пересечение множеств и отношение включения. При этом бинарные изображения рассматриваются непосредственно как множества пикселей (Рис. 6.1.1.).

@Рис. 6.1.1. Базовые понятия теории множеств применительно к бинарным фигурам.

Определим трансляцию множества AÌE по zÎE как преобразование (Рис. 6.1.2.)

A z = {y| aÎA, y=a=z}.

Пусть даны A,BÌE. Операция

AB = {a=b| aÎA, bÎB} = U{B a } = U{A b }

называется сложением Минковского . Операция

AB= {z|B z ÍA} =U{A z }

называется вычитанием Минковского .

Множество B будем в дальнейшем называть структурирующим элементом B. Так как операции, определяемые этими выражениями удовлетворяют требованиям сохранения соответственно объединения и пересечения бинарных образов, то они называются также дилатацией (расширением) иэрозией (сжатием) изображения X структурирующим элементом B (по структурирующему элементу B) и являются базовыми операциями ММ (рис. 6.1.2).

@Рис. 6.1.2.. Базовые операции бинарной математической морфологии.

Эти операции являются двойственными по отношению друг к другу в том смысле что:

XB = (X С B V) С,

где X С – дополнение к X, а B V = {–b| bÎB}.

Следовательно, все положения или теоремы, доказанные относительно одной из операций автоматически могут быть представлены в двойственной форме относительно другой операции.

Фундаментальный результат, полученный Матероном (теорема Матерона), состоит в том, что любой увеличивающий оператор Y, инвариантный относительно трансляции, может быть представлен в виде объединения эрозий:

,

где k(Y) – ядроY(X), то есть такое множество структурирующих элементов B, чтоY(B) содержит начало координат.

Этот результат также имеет двойственную форму:

,

где Y*(X) = (Y(X C)) C .

Именно в силу теоремы Матерона эрозия и дилатация являются базовыми операциями ММ, то есть любой морфологический фильтр может быть представлен в виде объединения эрозий или пересечения дилатаций.

Введем, наконец, операции открытия изакрытия , часто используемые в морфологии. Операция

X◦B= (XB)B(6.1.1)

называется открытием X по B и имеет ясный физический смысл:

X◦Bс = U{B z | B z ÍX}.

Этот оператор является антиэкстенсивным и увеличивающим.

Закрытием X по B называется

X·B = (XB)B. (6.1.2)

Этот оператор является экстенсивным и увеличивающим.

Кроме того, оба эти оператора являются равносильными, а, следовательно, открытие и закрытие – это два простейших морфологических фильтра (рис. 6.1.3).

@Рис. 6.1.3. Простейшие фильтры в бинарной математической морфологии.

Рассмотрим геометрический смысл операторов математической морфологии на примере обработки искусственного изображения (рис. 6.1.4), который мы уже рассматривали ранее в разделе, посвященном бинарной фильтрации. На изображении представлен прямоугольный объект, имеющий «дефекты формы» типа внутренних «дырок» и внешних «выступов». Попробуем морфологическими средствами удалить эти дефекты формы объекта.

@Рис. 6.1.4. Изображение с «дефектами» типа «дырок» и «выступов»

Поскольку объект имеет прямоугольную форму, будем использовать структурирующий элемент также прямоугольной формы. Габаритные размеры структурирующего элемента должны быть не меньше, чем характерный «поперечный» размер (минимальная хорда) дефектов формы, подлежащих удалению.

Начнем с удаления внешних «выступов» формы. Для этого используется процедура открытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция сжатия (эрозии) объекта, которая удаляет («съедает») внешние «выступы» формы. Однако внешний размер объекта при этом уменьшается, а внутренние дефекты, напротив, увеличиваются в размерах, в связи с чем после сжатия необходимо выполнить расширение (дилатацию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции открытия в целом внешние размеры и форма объекта оказываются восстановлены, но внутренние дефекты формы сохраняются (рис. 6.1.5, 6.1.6).

@Рис. 6.1.5. Результат сжатия (эрозии) @Рис. 6.1.6. Результат открытия объекта объекта (удаление внешних «выступов» формы)

Рассмотрим теперь морфологическую технику удаления внутренних дефектов формы («дырок»). Для этого используется процедура закрытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция расширения (дилатации) объекта, которая удаляет («заращивает») внутренние «дыры» и «каналы». Однако внешний размер объекта при этом увеличивается, внешние дефекты, также увеличиваются в размерах, в связи с чем после расширения необходимо выполнить сжатие (эрозию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции закрытия в целом размеры и внутренняя целостность объекта оказываются восстановлены, но внешние дефекты формы сохраняются (рис. 6.1.7, 6.1.8).

@Рис. 6.1.7. Результат расширения @Рис. 6.1.8. Результат закрытия (дилатация) объекта объекта (удаление внутренних «дырок» формы)

Для того чтобы устранить и внешние и внутренние дефекты формы в данном примере необходимо сначала применить к исходному изображению (рис. 6.1.4) открытие, а затем к результату открытия – закрытие с тем же прямоугольным структурирующим элементом (рис. 6.1.9, 6.1.10).

@Рис. 6.1.9. Результат открытия @Рис. 6.1.10. Результат закрытия после открытия (полное восстановление формы)

Как видно из примера (рис. 6.1.9, 6.1.10), последовательная комбинация открытия и закрытия обеспечила полное восстановление формы исходной геометрической фигуры.

В заключение данного раздела рассмотрим особенности морфологической фильтрации изображений с круглым (дисковым) структурирующим элементом. На рис. 6.1.11 – 6.1.13 приведен результат открытия прямоугольного объекта круглым структурирующим элементом. Результат сравнения (вычитания) изображений показывает, что в результате открытия форма объекта была специфическим образом искажена – углы прямоугольника оказались скругленными с радиусом закругления, равным радиусу структурирующего элемента.

@Рис. 6.1.11. Исходный @Рис. 6.1.12. Результат @Рис. 6.1.13. Разность

объект открытия (фильтрация изображений

с круглой маской: эффект

округления углов)

Данный эффект естественным образом следует из геометрического смысла операции открытия: результат открытия представляет собой объединение всех структурирующих элементов, целиком помещающихся внутри исходного объекта. Легко увидеть, что именно в углы прямоугольника дисковый структурирующий элемент никак не может поместиться целиком. В силу этого границу объекта после открытия (закрытия) иногда удобно представлять как кривую, полученную путем «качения» структурирующего элемента по внутренней (внешней) границе исходного объекта (см. также рис. 6.1.3).

Перевод с англ.: Иванова И. И.
Источник: [Электронный ресурс]// Режим доступа: http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4419-0211-5_23

Аннотация

Математическая морфология – это нелинейный метод обработки изображений с помощью двумерных операций свертки, в том числе морфология бинарных, полутоновых морфология и цветной морфологии. Эрозия, дилатация, открытие и эксплуатация закрывающие операции лежат в основе математической морфологии. Математическая морфология может быть использована для обнаружения контуров, сегментации изображений, шумов, ликвидации, выделения признаков и других задачах обработки изображений. Она широко используется в области обработки изображений. На основе текущего прогресса, данный тезис дает всестороннее объяснение математической морфологической классификации и применению к распознаванию болезней. В итоге, открытие проблемы и дальнейшее исследование математической морфологии являются актуальным.

Ключевые слова:

морфология бинарных, полутоновых изображений, морфология, цветная морфология, эрозия, дилатация, развитие болезней сельскохозяйственных культур.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая морфология – это новая теория и способ, который используется в области цифровой обработки изображений и распознавания. Её математическая основа и язык – набор теории. Математическая морфология появилась в 1964 году, она впервые была предложена студентом-ученым Дж. Серрой и его научным руководителем Г. Мазоном. Они предложили «попадающую/пропускающую трансформации», ввели выражение морфологии на уровне теории и установили метод анализа частиц. В 1968 году они обнаружили исследовательский институт математической морфологии Фонтенбло. Основанная на тяжелой работе исследователей в этом институте и исследователей из другой страны, математической морфология постепенно разрабатывалась и стала самодостаточной наукой. В 1970-х годах, с коммерческими приложениями анализатора зерна и публикации Мазона о «случайном и неотъемлемом наборе», разработка математической морфологии сосредоточилась на аспектах уровня серого. В 1982 году, после публикации об «анализе изображений и математической морфологии» Дж. Серра, математическая морфология стала всемирно известной. Математическая морфология стремительно развивалась в последствии. Потому что алгоритм математической морфологии имеет параллельно реализующую структуру, которая понимает анализ морфологии и алгоритмы параллельных процессов, и метод может быть реализован легко с аппаратной точки зрения, что повышает скорость процесса анализа изображений.

В математической морфологии обнаружили самостоятельную математическую теорию и ее идеи и методы имеют большое влияние на теорию изображений и технологий, а также были использованы в процессе анализа изображений в многих областях. Кроме того, применение математической морфологии привело к значительным улучшениям в области сельского хозяйства. Приложение фокусируется на распознавании заболеваний сельскохозяйственных культур, в том числе пшеницы, хлопка, овощей и т.д. В этой статье автор обобщает применение математической морфологии в области сельского хозяйства и обсуждает открытые проблемы и дальнейшие исследования.

Классификация математической морфологии

Благодаря усилиям людей, математическая морфология используется в бинарном изображении, хотя изначально морфология было применимой только к изображений с градациями серого. Но быстрый прогресс в теории, и уже математическая морфология могла быть применена и в других исследованиях. Недавно исследования в математической морфологии сделало ставку на цветные изображения и на данный момент есть некоторые достижения. Согласно способу описания и формату отображения объекта исследования, эта статья классифицирует математическую морфологию на след виды: бинарная морфология, морфология в градациях серого и цветная морфология.

Бинарная морфология

Математическая морфология, выдвинутая Мажорном и Серрой, исследовала двоичный изображения и была названа бинарной. Морфологические преобразования бинарного изображения в математической морфологии – это набор формул, описывающий эти преобразования. Смысл морфологического оператора во взаимодействии между множествами, описывающие объект, его форму и структуру, форма элемента структуры может содержать информацию о формы сигнала, выполненной операции. Морфологическая обработка изображения – это множество операций перемещения структурного элемент в изображении, а затем трансформации или объединения между структурой элемента и бинарного изображения. Основные морфологические операции – это эрозии и расширение (дилатация).

В морфологической операции, элемент структуры является самым основной и важной составляющей, которая играет роль волновой фильтрации в процессе сигнала. Если В(х) выражает элемент структуры, для каждой точки Х рабочего области Е, эрозии и расширение определяются соответственно, как:

Рисунок 1 – Формулы определения эрозии и дилатации

Из-за возможности реализации параллельной обработки и аппаратного обеспечения, бинарное изображение может быть обработано несколькими способами, такими как выделение границ, сегментации изображения, истончение, выделения признаков, фигурный анализ. Тем не менее, при других условиях, выбор элемента конструкции и соответствующего алгоритма отличается. Размер элемента структуры и выбор формы будет влиять на результат изображения морфологической операции.

Морфология Хуанга и др. была адоптирована для круглых, треугольных, квадратных и других основных геометрических фигур как элемента структуры двоичных файлов в некоторых случаях, они выделяют шестиугольники методом сегментации фильтрующего изображения с морфологическим шаблоном. Результат показал, что алгоритм сегментации может иметь лучший результат и может установить первоначальное место для распознавания болезни на изображении.

Боуяная и др. в 2008 г. открыли оператор пространственно-вариантной математической морфологии в евклидовом пространстве и представили геометрическую структуру элементов на основе пространственной переменной, результат сымитировал теорию и доказал огромный потенциал во многих видах приложения для обработки изображений.

Морфология для изображений в градациях серого

Морфология такого вида естественное развитие бинарной изображений в серых тонах, в ней нет наборов выражений, но присутствует функция изображений. Для такой морфологии, пересечение и объединение, которые используются в двоичной морфологии, заменены операциями максимума и минимума. Эрозия и расширение изображения в градациях серого могут быть вычислены непосредственно из функции такого изображения и элемента структуры. Если g(x, y) выражает структурный элемент, для одной точки f(x,y) на изображения, эрозия и расширение вычисляются как:

Рисунок 2 – Формулы определения эрозии и дилатации

Чтобы практически применить такого вида морфологию, некоторые ученые предлагают намного улучшенные алгоритмы. Кан и др. в 2006 г. предложил расширенное определение математической морфологии для проблемы, которое, несмотря на то, что методы выявления границ основаны на классической морфологии, имеет хорошую способность устранения шума, но его алгоритм не мог определить все границы объектов. И они предложили метод определения границ на основе расширенной математической морфологии.

Результат моделирования показал, что этот метод не только эффективно устраняет шум, но также хорош в определении границ объектов. Боуяная и др. в 2008 г. предложили пространственно-вариантную математическую морфологию и презентовали геометрическую концепцию структурной функции. Результаты моделирования показали потенциальную мощь этой теории в приложениях, которые анализирую изображения.

Морфология цветных изображений

Исследований о морфологиях в области обработки цветных изображений не так много. Хотя некоторые ученые представили некоторые методы морфологии, используемый для цветного изображения. Большинство из них рассматривают каждый вектор изображения по отдельности, пренебрегая отношения между векторами. Это эффективный и разумный подход исследования, чтобы обработать цвета пикселя с использованием векторных методов, описывающих соотношение между каждым вектором. Исследование трансформаций морфологии цветового пространства может указать на свою связь с морфологией изображений в градациях серого.

Для цветного изображения {V(x), x є X, X є DV}, где DV является областью изображения в RGB цветовом пространстве. Эрозия и дилатация в цветной морфологии для структуры элемента В определяются как:

В последние годы много ученых уделяют внимание своими исследованиям о цветной морфологии. Чжан в 2006г. предложил метод определения границ на основе математической морфологии. В этом методе изображение предварительно обработано, а затем превращение градиента осуществляется с помощью математической морфологии. Затем, края выявляются методом обнаружения границ на основе статистических данных. Способ исключает теневые контуры, вызванных освещением, извлекает границы объектов непосредственно, и оказывает влияние на подавление фонового шума.

Приложения с использованием математической морфологии

Основная идея математической морфологии и ее методы могут быть использованы в любых аспектах в области обработки изображений. С развитием компьютеров, обработки изображений, распознавания образов и машинного зрения, математическая морфология развивается быстро, и область применения становится шире. Особенно в области распознавания болезней культур. В существующих системах программного обеспечения много реализаций математической морфологии. Математическая морфология применяется во многих областях, таких как обнаружение контуров объектов, сегментации изображений, устранение шума, выделения признаков, и т.д.

Выделение границ объектов

Математическая морфология изображает и анализирует изображение на основе углов множества, делает геометрическую трансформацию для целевых объектов с помощью «пробного» набора (структурный элемент) для того, чтобы отбросить необходимую информацию. Наряду с непрерывным развитием и совершенствованием математической теории морфологии, математическая морфология исследуется и широко применяется в обнаружении границ изображения.

По сравнению с традиционными алгоритмами выделения контуров изображения (оператор оператора Собеля или Прюита др.), морфология имеет уникальное преимущество в обнаружении границ и достигает лучших результатов. Морфологический метод обнаружения края изображения может сохранить детальные характеристики изображения, и решает проблему координации точности обнаружения края и производительности анти-шума.

Чжоу был первым, кто сделал обработку цветного изображения при помощи морфологии в градациях серого, затем использовал метод математической морфологии для обнаружения границ, где структурным элементом был квадрат размеров 3х3. Этот метод смог решить проблемы ликвидации шума и обнаружения границ вредителей в хранящемся зерне. Канг в 2006 г. предложил расширенный метод определения контуров объектов с помощью математической морфологии для того, чтобы решить проблему качества распознавания границ объектов. Выбор определения расстояния оператора было дано и концепция анализа мульти-разрешением была применена в расширенном морфологическим методом. Результаты показали, что этот метод имеет хорошую эффективность.

Выделение признаков

В целом, выделение признаков – это преобразование, которое отображает или переносит образцы с высокой размерностью пространства в пространства маой размерности для того, чтобы уменьшить степень размерности. В применении распознавания болезней сельского хозяйства, широко используется такие особенности растений, как цвет, текстура, форма. С помощью математической морфологии, ИС будет извлекать не только свойства текстуры заболевания, такие как энергия, энтропия, момент инерции, но и особенности форм заболевания, как периметр, площадь, степени округлости, отношение длины к ширине. Хуан (2007) применил тот же метод к Phalaenopsis заболеваниям рассады Phalaenopsis и получил такие функции, как центр координации, площадь, степень округлости. Чжэн и др. использовали математическую морфологию достичь четыре функции формы хлопка с помощью квадратной шаблонной матрицы 3х3, как элемента структуры в обработке.

- без картинок )

Введение:

Слово “Морфология” можно расшифровать как “форма”, “структура”. Математическая морфология предназначена для исследования структуры некоторых множеств однотипных объектов. Любое изображение в компьютерной графике также обычно представляется в виде набора пикселей, поэтому операции математической морфологии могут быть применены и к изображению, для исследования некоторых свойств его формы и структуры.

Смысл операций морфологии

Мы будем рассматривать морфологию двоичных изображений. Двоичное изображение представляется в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-былых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью ( region) изображения обычно понимается некоторое подмножество 1-чек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент суть тоже некоторое двоичное изображение (геометрическая форма – shape). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаше всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размере ( BOX(l,w)), или круг некоторого диаметра ( DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента, хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью черное изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение “накладывается” структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения “под ним”. Если условие выполняется – то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базисные (basic) операции. Такими операциями являются расширение ( dilation) и сужение (erosion). Производные операции – это некоторая комбинация базисных, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие ( opening) и закрытие (closing).

Базовые операции

Def: Перенос (translation) множества пикселей X на вектор t определяется как

Перенос t может быть определен как упорядоченная пара чисел , где - движение вдоль оси х, а - движение вдоль оси y.

Def: Расширение двоичного изображения B на структурный элемент S записывается в виде и определяется как:

Если при зондировании начальная точка структурного элемента накладывается на 1, то весь структурный элемент записывается в результирующее изображение. Таким образом, при выполнении расширение размеры изображения увеличиваются.

Def: Сужение двоичного изображения B на структурный элемент S

Т.е. проверяется, что каждая 1 в структурном элементе накладывается на 1 в исходном изображении. Если это условие выполнено, то в результирующее изображение записывается пиксель под начальной точкой структурного элемента.

Def: Закрытие двоичного B на структурный элемент S записывается как и определяется:

Операция закрытия “закрывает” небольшие внутренние “дырки” в изображении, и убирает углубления ( bays) по краям области.

Def: Открыти е двоичного B на структурный элемент S записывается как и определяется как:

Открытие позволяет избавится от небольших кусочков изображения, выходящих за границу области.

Над парой двоичных изображений также могут применяться обычные теоретико-множественные логические операции как AND, OR, NOT, MINUS.

Скелетонизация

Для распознавания объектов часто необходимо изучить его форму. Ее удобно представлять в виде некоторого “скелета” (по другому – медианы, или срединной оси формы). Выяснилось, что скомбинировав несколько операций математической морфологии можно получить производную, позволяющую выделять из объекта его “скелет”, и она, соответственно, получила название “скелетонизации”.

n-м элементом скелета S изображения X по структурному элементу Q называется

где N- max(n: X-nQ != /0),

Не равно

/0 – пустое множество

/ - теоретико-множественно вычитание

(X*nQ, где *- знак операции, обозначает последовательное применение операции к изображению n раз)

Тогда частичным скелетом S(k) изображения X по структурному элементу Q назовем объединение

Метод математической морфологии выделения скелета удобен тем, что с помощью применения операции расширения по тому же структурному элементу к скелету мы сможем восстановить исходное изображение. Поэтому вводится понятие реконструкции открытия по скелету S структурным элементом Q:

Если k равно 0, то , и реконструкция называется точной . Если , то мы получаем частичную реконструкцию , т.е. открытие (сглаживание) X на kQ. Варьируя k мы можем получать различные степени сглаживания исходного изображения X.

На рисунке:

(a) - Сужения

(b) - Открытия расширения

(с) – n-ые элементы скелета

(d) – расширенные элементы скелета

(e) – частичные объединения элементов скелета

(f) – частичные расширения

Пример применения операций :

Применение двоичной морфологии

Большинство изображений, полученных при обработке и изучении реальных объектов, содержат в себе множество небольших погрешностей, неточностей. Отдельные части или компоненты изображений, несущие наиболее важную для нас информацию могут легко выделятся глазом по специфическим признакам их структуры, организации. В то же время эти компоненты на изображении могут не иметь четко выделенных границ или быть соединенными перемычками, переходами, что значительно затрудняет их машинную обработку. В этом случае на помощь приходят средства математической морфологии.

Операции закрытия и открытия позволяют избавится от небольших “дыр”, тонких перемычек и выступов. Комбинации расширения и сужения с использованием разных структурных элементов могут “выделить” из изображения области единичек нужного размера, отвечающие определенным критериям формы, “сгладить” контуры компонент.

Математическая морфология также применяется для распознавания образов. Ее операции позволяют извлечь простейшие свойства геометрии объекта из изображения, что в дальнейшем может послужить основой для его распознавания. Например, если область с острыми углами будет открыта с помощью структурного элемента – диска получится изображение со скругленными углами. Если вычесть полученное из исходного то останутся одни углы.

Условное расширение

Def: Условное расширение двоичного изображения С на структурный элемент S по исходному двоичному изображению B определяется как:

где индекс m – минимальный индекс, при котором

Условное расширение применяется тогда, когда после сужения изображения необходимо его расширить только теми пикселями, которые входили в первоначальное изображе

Задание

Цель задания:

Решить некоторую задачу (выделение скелета - скелетонизацию) средствами математической морфологии. Таким образом, задание можно подразбить на два:
Задание №1 Реализовать базовые операции математической морфологии (расширение, сужение, открытие, закрытие) (5 баллов)
Задание №2 Реализовать операцию скелетонизации, и расширение его по тому же структурному элементу до исходного изображения. (+ 5 баллов)

Удобство интерфейса и красота вывода данных учитываются.

Интерфейс:

Интерфейс программы должен допускать ввод изображения и применение к нему последовательности операций. На экране должно быть два изображения - исходное и полученное. Если исходное изображение не вводится, то исходным для операции cтановится ранее полученное изображение. Должна быть возможность ввода произвольного структурного элемента. По умолчанию структурный элемент - квадрат
3*3, заполненный единичками с начальной точкой в центре квадрата.

Оформление задания:

См. предыдущие задание и faq.

И многих других пространственных структурах.

Бинарная морфология

В бинарной морфологии двоичное изображение , представленное в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-белых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью изображения обычно понимается некоторое подмножество точек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент

Структурный элемент представляет собой некоторое двоичное изображение (геометрическую форму). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаще всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размера (BOX(l, w)), или круг некоторого диаметра (DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента (и вне его ), хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

Основные операции

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью белое изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение «накладывается» структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения «под ним». Если условие выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базовые операции. Такими операциями являются расширение и сужение. Производные операции - это некоторая комбинация базовых, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие и закрытие.

Базовые операции

Перенос

Операция переноса X t множества пикселов X на вектор t задаётся в виде X t ={x+t|x∈X}. Следовательно, перенос множества единичных пикселов на бинарном изображении сдвигает все пикселы множества на заданное расстояние. Вектор переноса t может задаваться в виде упорядоченной пары (∆r,∆c), где ∆r - компонент вектора переноса в направлении строк, а ∆c - компонент вектора переноса в направлении столбцов изображения.

Наращивание

Наращивание бинарного изображения A структурным элементом B обозначается texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \oplus B и задается выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_b .

В данном выражении оператор объединения можно считать оператором, применяемым в окрестности пикселов. Структурный элемент B применяется ко всем пикселам бинарного изображения. Каждый раз, когда начало координат структурного элемента совмещается с единичным бинарным пикселом, ко всему структурному элементу применяется перенос и последующее логическое сложение (логическое ИЛИ) с соответствующими пикселами бинарного изображения. Результаты логического сложения записываются в выходное бинарное изображение, которое изначально инициализируется нулевыми значениями.

Эрозия

Эрозия бинарного изображения А структурным элементом В обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \ominus B и задается выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \ominus B = \{z\in A | B_{z} \subseteq A\} .

При выполнении операции эрозии структурный элемент тоже проходит по всем пикселам изображения. Если в некоторой позиции каждый единичный пиксел структурного элемента совпадет с единичным пикселом бинарного изображения, то выполняется логическое сложение центрального пиксела структурного элемента с соответствующим пикселом выходного изображения. В результате применения операции эрозии все объекты, меньшие чем структурный элемент, стираются, объекты, соединённые тонкими линиями становятся разъединёнными и размеры всех объектов уменьшаются.

Производные операции

Замыкание

Замыкание бинарного изображения А структурным элементом В обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \bullet B и задается выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B .

Операция замыкания «закрывает» небольшие внутренние «дырки» в изображении, и убирает углубления по краям области. Если к изображению применить сначала операцию наращивания, то мы сможем избавиться от малых дыр и щелей, но при этом произойдёт увеличение контура объекта. Избежать этого увеличения позволяет операция эрозия, выполненная сразу после наращивания с тем же структурным элементом.

Размыкание

Размыканием бинарного изображения А структурным элементом В обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \circ B и задается выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \circ B = (A \ominus B) \oplus B .

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов и различных шумов, но у этой операции есть недостаток - все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Этого эффекта можно избежать, если после операции эрозии применить операцию наращивания с тем же структурным элементом. Размыкание отсеивает все объекты, меньшие чем структурный элемент, но при этом помогает избежать сильного уменьшения размера объектов. Также размыкание идеально подходит для удаления линий, толщина которых меньше, чем диаметр структурного элемента. Также важно помнить, что после этой операции контуры объектов становятся более гладкими.

Условное наращивание

Выделение границ

См. также

Напишите отзыв о статье "Математическая морфология"

Примечания

Литература

• Л.Шапиро, Дж.Стокман. Компьютерное зрение. изд. - М .: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 752 с.
• Д.Форсайт, Ж.Понс. Компьютерное зрение. Современный подход. изд. - М .: Вильямс , 2004. - 928 с.

Ссылки

В данной статье или разделе имеется или внешних ссылок , но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок . Утверждения, не , могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.

Отрывок, характеризующий Математическая морфология

Мне почему-то стало его очень жаль... Ещё ничего о нём не зная, я уже была почти что уверенна, что этот человек никак не мог сделать что-то по-настоящему плохое. Ну, просто не мог!.. Стела, улыбаясь, следила за моими мыслями, которые ей видимо очень нравились...
– Ну, хорошо, согласна – ты права!.. – видя её довольную мордашку, наконец-то честно признала я.
– Но ты ведь ещё ничего о нём не знаешь, а ведь с ним всё не так просто, – лукаво улыбаясь, довольно произнесла Стелла. – Ну, пожалуйста, расскажи ей, Печальный...
Человек грустно нам улыбнулся, и тихо произнёс:
– Я здесь потому, что убивал... Многих убивал. Но не по желанию, а по нужде это было...
Я тут же жутко расстроилась – убивал!.. А я, глупая, поверила!.. Но почему-то у меня упорно не появлялось ни малейшего чувства отторжения или неприязни. Человек явно мне нравился, и, как бы я не старалась, я ничего с этим поделать не могла...
– А разве это одинаковая вина – убивать по желанию или по необходимости? – спросила я. – Иногда люди не имеют выбора, не так ли? Например: когда им приходится защищаться или защищать других. Я всегда восхищалась героями – воинами, рыцарями. Последних я вообще всегда обожала... Разве можно сравнивать с ними простых убийц?
Он долго и грустно на меня смотрел, а потом также тихо ответил:
– Не знаю, милая... То, что я нахожусь здесь, говорит, что вина одинаковая... Но по тому, как я эту вину чувствую в моём сердце, то – нет... Я никогда не желал убивать, я просто защищал свою землю, я был там героем... А здесь оказалось, что я просто убивал... Разве это правильно? Думаю – нет...
– Значит, вы были воином? – с надеждой спросила я. – Но тогда, это ведь большая разница – вы защищали свой дом, свою семью, своих детей! Да и не похожи вы на убийцу!..
– Ну, мы все не похожи на тех, какими нас видят другие... Потому, что они видят лишь то, что хотят видеть... или лишь то, что мы хотим им показать... А насчёт войны – я тоже сперва так же, как ты думал, гордился даже... А здесь оказалось, что гордиться-то нечем было. Убийство – оно убийство и есть, и совсем не важно, как оно совершилось.
– Но это не правильно!.. – возмутилась я. – Что же тогда получается – маньяк-убийца получается таким же, как герой?!.. Этого просто не может быть, такого быть не должно!
Во мне всё бушевало от возмущения! А человек грустно смотрел на меня своими печальными, серыми глазами, в которых читалось понимание...
– Герой и убийца точно так же отнимают жизнь. Только, наверное, существуют «смягчающие вину обстоятельства», так как защищающий кого-то человек, даже если и отнимает жизнь, то по светлой и праведной причине. Но, так или иначе, им обоим приходится за это платить... И платить очень горько, ты уж поверь мне...
– А можно вас спросить – как давно вы жили? – немного смутившись, спросила я.
– О, достаточно давно... Это уже второй раз я здесь... Почему-то две мои жизни были похожими – в обоих я за кого-то воевал... Ну, а потом платил... И всегда так же горько... – незнакомец надолго умолк, как будто не желая больше об этом говорить, но потом всё же тихо продолжил. – Есть люди, которые любят воевать. Я же всегда это ненавидел. Но почему-то жизнь второй уже раз возвращает меня на тот же самый круг, как будто меня замкнули на этом, не позволяя освободиться... Когда я жил, все народы у нас воевали между собой... Одни захватывали чужие земли – другие те же земли защищали. Сыновья свергали отцов, братья убивали братьев... Всякое было. Кто-то свершал немыслимые подвиги, кто-то кого-то предавал, а кто-то оказывался просто трусом. Но никто из них даже не подозревал, какой горькой окажется плата за всё содеянное ими в той жизни...
– А у вас там была семья? – чтобы изменить тему, спросила я. – Были дети?
– Конечно! Но это уже было так давно!.. Они когда-то стали прадедами, потом умерли... А некоторые уже опять живут. Давно это было...
– И вы всё ещё здесь?!.. – в ужасе оглядываясь вокруг, прошептала я.
Я даже представить себе не могла, что вот так он существует здесь уже много, много лет, страдая и «выплачивая» свою вину, без какой-либо надежды уйти с этого ужасающего «этажа» ещё до того, как придёт его час возвращения на физическую Землю!.. И там он опять должен будет начать всё сначала, чтобы после, когда закончится его очередная «физическая» жизнь, вернуться (возможно сюда же!) с целым новым «багажом», плохим или хорошим, в зависимости от того, как он проживёт свою «очередную» земную жизнь... И освободиться из этого замкнутого круга (будь он хорошим или плохим) никакой надежды у него быть не могло, так как, начав свою земную жизнь, каждый человек «обрекает» себя на это нескончаемое, вечное круговое «путешествие»... И, в зависимости от его действий, возвращение на «этажи» может быть очень приятным, или же – очень страшным...
– А если вы не будете убивать в своей новой жизни, вы ведь не вернётесь больше на этот «этаж», правда же?– с надеждой спросила я.
– Так я ведь не помню ничего, милая, когда возвращаюсь туда... Это после смерти мы помним свои жизни и свои ошибки. А, как только возвращаемся жить обратно – то память сразу же закрывается. Потому, видно, и повторяются все старые «деяния», что мы не помним своих старых ошибок... Но, говоря по-честному, даже если бы я знал, что буду снова за это «наказан», я всё равно никогда бы не оставался в стороне, если б страдала моя семья... или моя страна. Странно всё это... Если вдуматься, то тот, кто «распределяет» нашу вину и плату, как будто желает, чтобы на земле росли одни трусы и предатели... Иначе, не наказывал бы одинаково мерзавцев и героев. Или всё-таки есть какая-то разница в наказании?.. По справедливости – должна была бы быть. Ведь есть герои, совершившие нечеловеческие подвиги... О них потом столетиями слагают песни, о них живут легенды... Уж их-то точно нельзя «поселять» среди простых убийц!.. Жаль, не у кого спросить...
– Я тоже думаю, не может такого быть! Ведь есть люди, которые совершали чудеса человеческой смелости, и они, даже после смерти, как солнца, столетиями освещают путь всем оставшимся в живых. Я очень люблю про них читать, и стараюсь найти как можно больше книг, в которых рассказывается о человеческих подвигах. Они помогают мне жить, помогают справляться с одиночеством, когда уже становится слишком тяжело... Единственное, что я не могу понять, это: почему на Земле герои всегда должны погибнуть, чтобы люди могли увидеть их правоту?.. И когда того же самого героя уже нельзя воскресить, тут уж все, наконец, возмущаются, поднимается долго спавшая человеческая гордость, и, горящая праведным гневом толпа, сносит «врагов», как пылинки, попавшиеся на их «верном» пути... – во мне бушевало искреннее возмущение, и я говорила наверняка слишком быстро и слишком много, но у меня редко появлялась возможность выговориться о том, что «болит»... и я продолжала.
– Ведь даже своего бедного Бога люди сперва убили, а только потом уже стали ему молиться. Неужели нельзя настоящую правду увидеть ещё до того, когда уже бывает поздно?.. Неужели не лучше сберечь тех же самых героев, равняться на них и учиться у них?.. Неужели людям всегда нужен шоковый пример чужого мужества, чтобы они могли поверить в своё?.. Почему надо обязательно убить, чтобы потом можно было поставить памятник и славить? Честное слово, я бы предпочитала ставить памятники живым, если они этого стоят...