24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим

dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у" х =у" u u" x .

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у" u du.

Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Таблица дифференциалов

24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

<< Пример 24.3

Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Итак, ∆у» 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

<< Пример 24.4

Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].

<< Пример 24.5

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела

24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).

Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)

Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.

Ясно, что если х - независимая переменная, то

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.

Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)

d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Пусть функция у = /(х) дифференцируема в точке х. Может оказаться, что в точке х дифференциал dy = f"{x)dx, рассматриваемый как функция х, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции у = f(x) и обозначается d2y. Таким образом, Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: дифференциалом п-го порядка dny функции у = /(х) называется дифференциал от дифференциала (п - 1)-го порядка этой функции Дифференциал dy естественно называть дифференциалом 1 -го порядка от функции У = /(*) Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Пусть у = /(х) есть функция независимой переменной х, имеющая дифференциалы любого порядка. Тогда где dx = Дг есть некоторое приращение независимой переменной х, которое не зависит от х. По определению Т.к. здесь f"(x)dx рассматривается как функция от х, то множитель dx является постоянным и его можно вынести за знак дифференциала. Поэтому Для вычисления d(f"{x)) применим формулу дифференциала первого порядка к функции f"{x). Получим Следовательно, дифференциал d2y второго порядка функции у = f{x) в точке х, соответствующий тому же дифференциалу dx независимой переменной х, определится формулой где dx2 обозначает {dx)2. Пользуясь методом математической индукции, получаем формулу дифференциала п-го порядка Дифференциалы высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически Вектор-функция скалярного аргумента Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Производная вектор-функции по ее скалярному аргументу Правила дифференцирования где. Отсюда Пусть теперь - функция, дифференцируемая достаточное число раз. Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала Здесь в общем случае не является постоянной величиной, поэтому В случае, когда и - независимая переменная, Сравнивая формулы, заключаем, что уже второй дифференциал инвариантностью формы не обладает. Заметим, чтоеслии естьлинейнаяфункцияя.т. е., инвариантность формы сохраняется. §12. Дифференцирование функции, заданной параметрически Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Пусть функ-ции и V(0 непрерывны на отрезке а ^ t ^ (3 изменения параметра. Если параметр t рассматривать как время, то указанные функции определяют закон движения точки М с координатами на плоскости Определение. Множество {М} всех точек плоскости, координаты (х, у) которых опре-деляютсяуравнсниями(1),назьтают/москомлу>и0ом. Говорят в этом случае, что кривая задана в параметрической форме. Пример. Так, например, окружность рздиуса R с центром в начале координат можно задать в параметрической форме уравнениями где t - рздианная величина угла между осью Ох и радиус-вектором ОМ, проведенным в точку. М(х,у) (рис. 15). Если из системы уравнений (1) исключить параметр t, то останется одно уравнение, содержащее х и у, и тогда данная кривая будет определяться уравнением F{x, у) = 0. Так, если вуравнениях(2)возведем в квадрат левые и правые части и затем полученные уравнения почленно сложим, то параметр t будет исключен и данная окружностьбудетвыражаться уже знакомым нам уравнением х2 + у2 = R2. Однако исключить параметр t не всегда бывает возможно. И тем не менее, для решения некоторых задач, как, например, для отыскания касательной к кривой, надо уметь находить производную от у по х и в таких случаях, когда кривая задана в параметрической форме. Будем говорить, что функциональная зависимость у от х задана параметрически, еслиобе переменные х и у заданы как функции параметра t: . Рассмотрим вопрос о вычислении производной от у по х в случае параметрического задания функции. Пусть функции определены и непрерывны на некотором интервале (а,/3) изменения t. Пусть для функции) существует обратная функция Тогда у есть сложная функция от х: Допустим, что функции дифференцируемы в точке t 6 (а, /3), причем, а функция t = д(х) дифференцируема в соответствующей точке х. Тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функции, будет дифференцируемой в точке х и функция у = гр [ вообше говоря, меняет длину и направление (а в некоторых случаях и точку приложения, как, например, вектор скорости). Определение. Годографом вектор-функции n(t) называется множество точек, которое прочерчивает конец вектора a(t) при изменении аргумента t, когда начало вектора a(f) помешено в фиксированную точку О пространства. Годограф а(<) есть вообше некоторая кривая L в пространстве (рис. 16). Годографом радиуса-вектора г движущейся точки будет сама траектория L этой точки. Уравнение или называется векторным уравнением кривой L. Уравнения называются параметрическими уравнениями этой кривой. Пример. Например, уравнения являются параметрическими уравнениями одного витка винтовой линии (рис. 17). Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Пусть вектор-функция а = a(t) определена в некоторой окрестности точки t = tc кроме, быть может, самой этой точки. Определение. Постоянный вектор А называется пределом вектор-функции а(£) при t t0, если для всякого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех t ^ t0, удовлетворяющих условию \t -

Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.

Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) = df/dx·x 0 . Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем. Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x 3 -x 4 . Сначала найдём производную от функции: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x 3 -4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х. Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-y x . Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·y x-1 , а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним. Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d (x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x) . Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x 3 . Получаем: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Возвращаем замену и получаем ответ – 1– x 3 – x 6 , x≠0. Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис . Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам. Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.

В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.

Пусть у =f (х ) дифференцируемая функция, а её аргументх- независимая переменная. Тогда её первый дифференциалdy = f ′ (x )dx есть также функция отх ; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у =f (х ) называется еёвторым дифференциалом (илидифференциалом второго порядка ) и обозначаетсяd 2 y илиd 2 f (x ):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Здесь dx 2 обозначает (dx )2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3 .

Вообще, дифференциал n- го порядка есть дифференциал от дифференциала (n- 1)- го порядка:d n y = d (d n - 1 y ) =f (n ) (x ) (dx )n .

Отсюда находим, что f (n ) (x ) = d n y . В частности, приn = 1, 2, 3 соответственно получаем:dx n

f ′ (x) =			f ′′ (x) =	d 2 y		f ′′′(x ) =	d 3 y	Т.е. производную функции можно рассматривать как

отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если х – независимая переменная.

Пример. Найти d 2 y , еслиy = e 3 x их – независимая переменная.Решение : так какy ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x , то имеемd 2 y = 9e 3 x dx 2 .

Правила Лопиталя

Правила Лопиталя применяются для раскрытия неопределённостей вида 0 0 и∞ ∞ , которые называются основными.

Теорема 3. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида0 0 ).

Пусть функции f (x ) иg (x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точких 0 и

обращаются в нуль в этой точке: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Пустьg ′ (x )≠ 0 в окрестности точкиx 0 . Если

существует предел

f ′ (x)

L , то

f (x)

f ′ (x)

g(x)

g′ (x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Пример. Найти lim1 − cos6 x .

x→ 0

2x 2

Решение: lim

1− cos 6x

п. Л.

6sin 6x

п. Л.

36 cos 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Теорема 4. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида∞ ∞ ).

Пусть функции f (x ) иg (x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точких 0 (кроме,
может быть, точки х 0 ), в этой окрестности limf (x ) = limg (x ) = ∞ ,g ′ (x )≠ 0. Если существует
	f ′ (x)			f (x)			f ′ (x)	x→ x0	x→ x0
предел lim
	g′ (x)			g(x)
x→ x0			x→ x0			x→ x0	g′ (x)

tg 3 x

Пример. Найти lim tg 5 x

x→ π 2

lim tg 3 x =

∞ =

Lim 3cos

п. Л.

п. Л.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

sin6x

x→

6cos6x

Неопределённости вида , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], сводятся к двум основным путём тождественных преобразований.

Пусть f (x )→ 0, иg (x )→ 0 прих → х 0 . Тогда очевидны следующие преобразования:

lim(f (x ) g (x )) =[ 0 ∞] = lim

f (x)

f (x)

∞ ).

x→ x

x→ x

x→ x

g(x)

g(x)

Найти lim tg

π x

(2 − x ).

x→ 2

2 − x

0 =lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

п. Л.

x→ 2

x→ 2

π x

ctg 4

x→ 2

2 π x

Пусть f (x )→ ∞ , иg (x )→ ∞ прих → х 0 . Тогда можно поступить так:

lim (f (x ) −g (x )) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f (x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

f (x)

g(x)

g(x)

f (x)

Пусть f (x )→ 1, иg (x )→ ∞ , илиf (x )→ ∞ , иg (x )→ 0, илиf (x )→ 0, иg (x )→ 0 прих → х 0 .

Для нахождения предела вида lim f (x ) g (x ) вспомним свойство логарифма

x→ x0

e lnf (x ) g (x ) = f (x ) g (x ).

Пример. Найти lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у= ¦(х) определена в некотором промежутке Х (например, интервале) и имеет в каждой внутренней точке производные всех порядков. Тогда ее дифференциал dу=у 1 dх. Будем называть ее дифференциалом первого порядка.

В каждой конкретной точке дифференциал функции есть число. На промежутке он есть функция от х. Поэтому можно говорить о дифференциале от первого дифференциала.

Определение : Дифференциал от дифференциала первого порядка функции у= ¦(х) называют дифференциалом второго порядка этой функции и символически записывают d(dу)=d 2 у.

Вообще : дифференциалом n-го порядка функции у= ¦(х) называют дифференциал от дифференциала (n-1) порядка функции d n у= d(d n-1 у).

Применимы и обозначения d¦(х) , d 2 ¦(х) , d n ¦(х)

Дифференциалы порядка выше первого называются дифференциалами высших порядков.

При вычислении дифференциалов высших порядков нужно учитывать, что dх есть произвольное, но не зависящее от х число и при дифференцировании по х нужно считать постоянным множителем.

Поэтому dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(у 1)= dх(у 11 dх)=у 11 (dх) 2 . Принято записывать степень дифференциала без скобок (dх) 2 = dх 2 .

Таким образом, d 2 у=у’’dх 2 , но это нельзя путать с d(х 2)= 2хdх

Аналогично : d 3 у= d (у 11 dх 2)= dх 2 d (у 11)= dх 2 (у 111 dх)= у 111 dх 3 ; d 3 у =у 111 dх 3 .

Здесь снова dх 3 = dх dх dх, а не d(х 3)=3х 2 dх

d n у= у n dх n

Здесь dх n = (dх) n по прежнему.

Из общей формулы дифференциала n-го порядка в частности следует формула производной n-го порядка.

У (n) = d n у/dх n , т.е. производная n-го порядка есть частное n-го дифференциала функции и n-ой степени диф. независим. перемен.

Мы видели, что форма первого дифференциала dу=у 1 dх не зависит от того, является ли х независимым переменным или х является сама функцией от некоторой переменной t.

Форма дифференциала порядка n=2 уже не сохраняется в этом случае, она не обладает инвариантностью.

В случае независимой переменной х d 2 у=у 11 dх 2 –дифференциал второго порядка. Пусть теперь х= , dу 1 =у 1 dх. Но теперь dх уже не есть произвольная постоянная, dх= dt, т.е. dх- есть функция от t и поэтому при нахождении d 2 у мы dх не можем выносить за знак дифференциала.

d 2 у= d (у 1 dх) = d (у 1)dх+ у 1 d (dх)= у 11 dх 2 + у 1 d 2 х, т.е.

d 2 у= у 11 dх 2 + у 1 d 2 х – форма дифференциала изменилась, добавилось слагаемое у 1 d 2 х. Тем более не сохраняется форма d n у. Значит, в случае, когда х не есть независимая переменная обозначение у (п) = d п у/ dх п следует понимать, как единый символ, а не как отношение дифференциалов.