Обобщённая функция. Обобщенная функция

8. Обобщенные функции

8.1. Понятие обобщенной функции

Понятие обобщенной функции позволяет выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, плотность точечного заряда.

Попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы, равной единице. Чтобы определить эту плотность, распределим (или, как говорят, “размажем”) единичную массу равномерно внутри окрестности радиуса с центром в нуле. В результате получим среднюю плотность , равную

Но нас интересует плотность при . Обозначим ее через . Причем сначала в качестве искомой плотности возьмем поточечный предел последовательности средних плотностей при , то есть функцию

и интеграл от этой функции по всей оси давал бы полную массу вещества, то есть

Но с математической точки зрения, такое невозможно, так как для функции , определенной нашим способом:

Это значит, что данная функция не восстанавливает массу и поэтому не может быть принята в качестве искомой плотности. Итак, поточечный предел последовательности средних плотностей не подходит для наших целей. Поэтому требуются корректные определения для этого случая.

Выход состоит в том, чтобы искать другой, так называемый, слабый предел последовательности . А именно, будем рассматривать не предел в каждой точке x , а предел следующих интегралов где -произвольная непрерывная функция. Ясно, что

Эта формула обозначает, что слабым пределом последовательности функций при является оператор, точнее функционал , сопоставляющий каждой непрерывной функции число -ее значение в точке . Вот этот функционал мы и примем в качестве искомой плотности , это и есть известная Дирака.

Можно ли представить -функцию в виде: с какой-либо локально интегрируемой функцией?

Для этого нужно, чтобы при . Но такой функции нет.

Определение . Задать вещественный функционал f на множестве функций M значит указать правило, по которому каждой функции сопоставляется вещественное число. Мы будем рассматривать в качестве множества M совокупность вещественных функций , которые определены при , непрерывны и имеют производные любого порядка. Кроме того, будем предполагать, что функции финитны , то есть в случае конечного интервала (a,b ) существуют такие окрестности точек a и b (свои для каждой из функций ), где эти функции обращаются в нуль. В случае бесконечного интервала (a,b ), кроме того, существует такая постоянная A, причем для каждой из функций -своя, что вне интервала (-A,A ) функция обращается в нуль. Такие функции будем называть основными, а всю их совокупность D (a,b )-основным пространством .

Пример, такой функции представлен на рисунке 2.

Проверим, что данная функция является основной. Для этого достаточно показать, что она бесконечно-дифференцируема. Во всех точках кроме это свойство очевидно. Проверим его выполнение в точке .

Пусть , тогда по правилу Лопиталя

то есть функция дифференцируема.

Аналогично проверяется непрерывность производной любого порядка. В этом легко убедиться, заметив, что для любого непрерывного n .

Чтобы определить пространство основных функций D (a,b ), нужно задать действия с ними. Точнее, надо проверить, что линейные операции не выводят из множества основных функций.

1. , причем сумма конечна, то есть .

Если -основная функция, то -основная функция.

2. , где - конечное число.

Если - основная функция, то -основная функция.

Линейный оператор, который каждому элементу пространства ставит в соответствие число, называется линейным функционалом (вещественным или комплексным).

Будем обозначать действие функционала f на основную функцию следующим образом :
.

Обобщенная функция (распределение) –это линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций, то есть функционал f , удовлетворяющий условиям :

1., где (линейность);

2. Если в D , то (непрерывность). f

Сделаем замену, пусть , тогда

математическое понятие, обобщающее классическое понятие Функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.

О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции (См. Дельта-функция) и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи (См. Коши задача) для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные Функционалы над тем или иным линейным пространством (См. Линейное пространство) основных функций φ(x) . Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей Сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

(f, φ ) = ∫f (x)φ(x) dx . (1)

Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’ , задаваемый равенством

(f", φ) = ‑ (f, φ"). (2)

При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x) , так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над О. ф., например Свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры. 1) δ-функция Дирака:

(δ, φ) = φ(0),

описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.

2) θ (x) - функция Хевисайда: θ(x) = 0, х ≤ 0, θ(x) = 1, x > 0, θ" = δ;

производная от неё равна единичному импульсу.

3) -δ" - плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х .

4) μδ s - плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью μ:

6) Свёртка

- ньютонов потенциал с плотностью f , где f - любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].

7) Общее решение уравнения колебаний струны

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),

где f и g - любые О. ф.

Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.-Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.

• - ИМПУЛЬСЫ - физ....

  Физическая энциклопедия

• - СИЛЫ - величиныQi, произведения к-рых на элементарные приращения обобщённыхкоординат qi системы дают выражение элементарной работыдействующих на систему сил. Т. о., выражение элементарной...

  Физическая энциклопедия

• - физич. величины рi, определяемые ф-лами: pi=дT/дqi или pi=дL/дqi, где Т - кинетич. энергия, a L - Лагранжа функция данной механич...

  Физическая энциклопедия

• - независимые параметры qi любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы...

  Физическая энциклопедия

• - величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами...

  Физическая энциклопедия

• - классы функций, являющиеся различными обобщениями почти периодич. функций. Каждый из них обобщает какую-то из сторон в определениях Бора почти периодических функций и Бохнера почти периодических функций...

  Математическая энциклопедия

• - экстраординарные теории когомологий,- класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп. О. т. к. есть пара - функтор из категории Рпар топологич...

  Математическая энциклопедия

• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число s к-рых равно числу степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы в пространстве...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - в механике - физ. величины pi, характеризующие движение ме-ханич. системы и связанные с её кинетич...
• - в механике - независимые между собой параметры qi, q2,..., qs, к-рые однозначно определяют положение механич. системы в пространстве, а их число s равно числу степеней свободы системы...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - в механике - величины Qi, произведение к-рых на элементарные при-рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - физические величины pi, определяемые формулами: pi = или pi =...
• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы...

  Большая Советская энциклопедия

• - величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами...

  Большая Советская энциклопедия

• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число s которых равно числу степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положение системы в пространстве...

  Большой энциклопедический словарь

• - Функции языка, взаимосвязанные с этноязыковыми процессами в обществе. Наиболее известны классификации Л.Б. Никольского и Р. Гарвина. По Никольскому, к Э.ф.я. относятся: 1) интегрирующая; 2) консолидирующая...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

"Обобщённые функции" в книгах

Обобщённые импульсы

БСЭ

Обобщённые координаты

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОБ) автора БСЭ

Обобщённые силы

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОБ) автора БСЭ

Обобщённые функции

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОБ) автора БСЭ

Обобщенные алгоритмы

Из книги QT 4: программирование GUI на С++ автора Бланшет Жасмин

Обобщенные алгоритмы В заголовочном файле объявляются глобальные шаблонные функции, которые реализуют основные алгоритмы для контейнеров. Большинство этих функций работают с итераторами в стиле STL.Заголовочный файл STL содержит более полный набор

3.9. Обобщенные регулярные выражения

Из книги Программирование на языке Ruby [Идеология языка, теория и практика применения] автора Фултон Хэл

6.6.3. Обобщенные алгоритмы

автора Липпман Стенли

6.6.3. Обобщенные алгоритмы Операции, описанные в предыдущих разделах, составляют набор, поддерживаемый непосредственно контейнерами vector и deque. Согласитесь, что это весьма небогатый интерфейс и ему явно не хватает базовых операций find(), sort(), merge() и т.д. Планировалось

12. Обобщенные алгоритмы

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

12. Обобщенные алгоритмы В нашу реализацию класса Array (см. главу 2) мы включили функции-члены для поддержки операций min(), max() и sort(). Однако в стандартном классе vector эти, на первый взгляд фундаментальные, операции отсутствуют. Для нахождения минимального или максимального

12.5. Обобщенные алгоритмы

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

12.5. Обобщенные алгоритмы Первые два аргумента любого обобщенного алгоритма (разумеется, есть исключения, которые только подтверждают правило) – это пара итераторов, обычно называемых first и last, ограничивающих диапазон элементов внутри контейнера или встроенного массива,

21. Обобщенные алгоритмы в алфавитном порядке

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

21. Обобщенные алгоритмы в алфавитном порядке В этом приложении мы рассмотрим все алгоритмы. Мы решили расположить их в алфавитном порядке (за небольшими исключениями), чтобы проще было найти нужный. Каждый алгоритм представлен в следующем виде: сначала описывается

7.3.5 Обобщенные Классы

Из книги C++ автора Хилл Мюррей

7.3.5 Обобщенные Классы Очевидно, можно было бы определить списки других типов (classdef*, int, char* и т.д.) точно так же, как был опредлен класс nlist: простым выводом из класса slist. Процесс оределения таких новых типов утомителен (и потому чреват ошиками), но с помощью макросов его можно

Обобщенные типы

автора Коллектив РуБоард

Обобщенные типы Обобщенные типы: обзор Обобщенным типом (generic) называется шаблон для создания класса, записи или интерфейса, параметризованный одним или несколькими типами. Класс (запись, интерфейс) образуется из шаблона класса (записи, интерфейса) подстановкой

Обобщенные типы: обзор

Из книги Описание языка PascalABC.NET автора Коллектив РуБоард

Обобщенные типы: обзор Обобщенным типом (generic) называется шаблон для создания класса, записи или интерфейса, параметризованный одним или несколькими типами. Класс (запись, интерфейс) образуется из шаблона класса (записи, интерфейса) подстановкой конкретных типов в

Обобщенные подпрограммы: обзор

Из книги Описание языка PascalABC.NET автора Коллектив РуБоард

Обобщённые цветы

Из книги «Приют задумчивых дриад» [Пушкинские усадьбы и парки] автора Егорова Елена Николаевна

Обобщённые цветы Если вид растения несуществен, Пушкин употребляет обобщённые цветы. Однако нельзя согласиться с предположением С.В. Шервинского, будто «обобщённость могла происходить и оттого, что Пушкин едва ли интересовался сортами цветов, особенно полевых, и просто

Необходимость обобщения классического понятия функции, характеризуемого заданием значений функции при всевозможных значениях аргумента, возникает при описании сосредоточенных величин (точечная масса, точечный заряд, точечный источник тепла, мгновенный импульс и т.д.).

Покажем, что с классической точки зрения описать такие величины нельзя. Для примера, попытаемся определить плотность создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат. Чтобы определить эту плотность, распределим массу 1 равномерно по отрезку длины eс центром в точке 0. В результате получим среднюю плотность

Cтягивая отрезок к точке (при этом e0), мы должны в пределе получить искомую плотность (обозначим ее заd(x)), т.е.(2)

От плотности d(x) естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому отрезку, содержащему материальную точку, давал бы массу, т.е.

Очевидно, что с классической точки зрения равенства (2) и (3) несовместны: функцию d(x) надо считать либо неинтегрируемой, либо, либо с интегралом, равным нулю на любом отрезке (в смысле несобственного интеграла). Полученное противоречие показывает, что поточенный предел функциональной последовательностине может быть принят в качестве плотности материальной точки.

С другой стороны, плотность материальной точки (как и плотность точечного заряда и т.п.) являются идеализированными понятиями. Реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно лишь измерить его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить эту величину плотностью в данной точке. Т.е. при описании сосредоточенных величин имеет смысл не сама плотность распределения, а некоторый интеграл от нее.

3.2 d-функция как слабый предел функциональной последовательности .

Для того, чтобы подойти к другому определению d-функции, изучим одно свойство семейства функций.

А именно, вычислим слабый предел последовательности функций,e0, т.е. для любой непрерывной функциинайдем предел числовой последовательности приe0.

Покажем, что

Действительно, в силу непрерывности функции для любогоh>0 существует такое, что, при условии, что. Отсюда при всехполучаем что и требовалось доказать.

Поэтому искомую функцию d(x) можно интерпретировать как предельный элемент последовательности функцийв смысле слабой сходимости,т.е.

Таким образом, в отличие от классических функций, ставящих в соответствие каждому числу x некоторое числовое значение y(x) , дельта-функция устанавливает зависимость между функцией и числом, а именно каждой непрерывной функции ставит в зависимость число- значение ее в точке x=0. Функции, определенные на множествах, элементами которых также являются функции, называют функционалами . Можно показать, что построенный функционал является линейным и непрерывным, т.е. удовлетворяет свойствам

• 1) линейность:
• 2) непрерывность: если

Можно построить много функциональных последовательностей, имеющих пределом d-функцию.

Покажем, например, что можно рассматривать d-функцию как предел функциональной последовательностиприm?,т.е.

В силу непрерывности функции для любогоh>0 существует такое, что, при условии, что. Отсюда при всехполучаем

Другие аналогичные примеры можно построить, взяв произвольную функцию F(x) , имеющую максимум при и быстро убывающую в обе стороны от нуля и такую, что. Если ввести в такую функцию параметр m по правилу, то при m?значение функции прирастет, а ширина линии во столько же раз уменьшается, так что условиевыполняется. Слабый предел любой такой функциональной последовательности можно рассматривать как представление d- функции.

Например,

Все предыдущие построения можно вести, используя бесконечно убывающий параметр.

3.3 Свойства d-функции.

Основные свойства d-функции.

Получается при воздействии функционалом d(x) на=1

Для доказательства введем новую переменную y=ax.

Если а>0

Если а<0

4) если g(x)=0 только при x=0.

Доказательство:

Разложим g(x) вблизи x=0:

g(x)=g(0)+g’(0)x=g’(0)x

Здесь мы учли, что g(0)=0. Т.к. g’(0)=const, то используя свойство 3 получаем

4a) Если уравнение g(x)=0 имеет s простых корней, то

Если имеются кратные корни уравнения g(x)=0, то эти выражения теряют смысл также, как не имеет смысла произведение d(x) j(x) , если j(x) имеет особенность при x=0.

3.4 Понятие обобщенной функции.

Итак, посредством непрерывных функций d-функция определяется как линейный непрерывный функционал на этих функциях. Непрерывные функции при этом, как говорят, являются основными функциями дляd-функции. Эта точка зрения берется за основу определения произвольной обобщенной функции как линейного непрерывного функционала на пространстве основных функций D. При этом за пространство основных функций D принимается множество всех бесконечно дифференцируемых финитных (равных нулю вне некоторого интервала) функций. Сходимость в пространстве D определяется следующим образом:

Последовательность функций из D сходится к

1) существует отрезок, вне которого все и обращаются в ноль;

2) на этом отрезке последовательности функций и всех ее производных равномерно сходится к и.

Таким образом, d-функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. Любая классическая локально интегрируемая функция (абсолютно интегрируемая на любом конечном отрезке) функция f(x) может также рассматриваться как обобщенная функция, если на множестве основных функций D определить линейный непрерывный функционал

Обобщенная функция, определяемая классической функцией, называется регулярной обобщенной функцией. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями.

Функция - регулярная обобщенная функция,

• -сингулярная обобщенная функция.
• 3.5 Произведение обобщенных функций.

Пусть a(x) - бесконечно дифференцируемая функция.

Тогда произведение а(x)f(x) обобщенной функции f(x) с бесконечно дифференцируемой функцией a(x) определим следующим образом

2) ; где

Нельзя определить произведение двух произвольных обобщенных функций, чтобы оно обладало свойством коммутативности и ассоциативности. В качестве примера можно привести противоречивую цепочку равенств

3.6 Производная обобщенной функции

Определим понятие производной d-функции. Предварительно введем понятие производной обобщенной функции. Определим, что представляет собой производная обычной непрерывно дифференцируемой функции f , рассматриваемой как функционал. Интегрируя по частям и учитывая финитность, получим

Производной обобщенной функции f называется функционал на D, обозначаемый f’, такой что.

Можно проверить линейность и непрерывность нового функционала и, следовательно, что производная обобщенной функции есть обобщенная функция. Согласно сделанному определению, обобщенные функции имеют производные любых порядков.

Покажем, что d-функция есть производная от разрывной (локально-интегрируемой) функции Хевисайда (единичной функции)

если последнюю рассматривать как обобщенную функцию (классическую разрывную функцию вообще продифференцировать нельзя).

По определению производной обобщенной функции

Подобно этому примеру при дифференцировании любых разрывных функций появляются d-слагаемые.

Пусть, где непрерывно дифференцируемы и существуют пределы

Покажем, что

Здесь - классическая производная там, где она определена,

Скачок функции в точке.

Эта формула будет очевидна, если в разрывной функции f(x)

явно выделить ступеньку с разрывом в точке.

Учитывая, что и тот факт, что, приходим к исходному утверждению.

Эта формула может быть доказана и непосредственно.

Воспользуемся определением обобщенной производной и тем фактом, что f(x) непрерывна на полуинтервалах

d-функцию как обобщенную функцию также можно дифференцировать, причем любое число раз:

Чтобы геометрически представить производную d-функции, воспользуемся каким-либо приближенным ее представлением, например, при большом m. Тогда дляd(x) получаем представление ее в виде функции

Эта функция принимает экстремальные значения при,

равные по абсолютной величине. Эти значения пропорциональны уже, а не m , как при представлении дельта-функции. Таким образом, производная дельта-функции имеет еще более острую особенность чем сама функция, причем принимает значения обоих знаков.

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ - математическое обобщение понятия функции, вызванное потребностью удобного описания многих физических и математических явлений. Следующая ситуация поясняет причины, по которым использование О. ф. бывает полезным.

Пусть дана функция . Очевидно, что предел , и , , т. е. предельная функция при не существует.

С другой стороны, для фиксированной непрерывной функции существует и, более того, существует , равный .

Естественно считать, что существует и , только он принадлежит более широкому множеству, чем множество обычных функций. Вложение пространства обычных функций в это более широкое пространство можно осуществить следующим естественным способом (попутно определив само «более широкое пространство»).

Пусть - множество финитных функций класса . Каждая непрерывная функция определяет непрерывный линейный функционал в по формуле

(*)

(при этом разным соответствуют различные функционалы ). Формула (*) задает мономорфное отображение (Мономорфизм) пространства в пространство всех непрерывных линейных функционалов в (непрерывность понимается в смысле топологии пространства , обычно задаваемой той или иной нормой).

При этом, как было отмечено в рассмотренном примере, возможно такое явление: предела последовательности функций из не существует, а предел образов этих функций, т. е. линейных функционалов из , существует.

Рассмотренная конструкция оправдывает определение и название О. ф.: О, ф. есть непрерывный линейный функционал на пространстве финитных функций.

В множестве О. ф. рассматривают операции суммы О. ф. и умножения О. ф. на число, понимая под этим соответствующие операции над функционалами.

Рассматривают также дифференцирование О. ф., что определяется формулой Здесь - О. ф., - ее производная, значение на произвольной дифференцируемой функции равно . Это определение согласовано с определением дифференцирования обычных функций.

В частности, , где - линейный функционал такой, что - знаменитая обобщенная дельта-функция Дирака. Производная дельта-функция равна функционалу , определенному формулой

Производная функции (функция Хевисайда) совпадает с дельта-функцией.

Рассматривают также операции интегрирования О. ф., свертки О. ф., преобразования Лапласа О. ф. (см., Лапласа преобразование) и преобразования Фурье (см. Фурье преобразование).

О. ф. весьма удобны при описании распределения физических величин в пространстве. Если непрерывное распределение масс в пространстве задается (обычной) функцией-плотностью, то такие понятия, как «плотность распределения масс материальной точки», «электрический потенциал простого и двойного слоя», требуют введения О. ф.

В теории уравнений с частными производными следующее обстоятельство играет значительную роль. Пусть дано уравнение с нулевыми граничными и начальными условиями. (Здесь - линейный дифференциальный оператор, - искомая, а - заданная в области функция.) Если решить уравнение для «самой простой» функции , то нетрудно получить решение задачи в общем виде: пусть такова, что . Тогда

удовлетворяет уравнению .

О. ф. были впервые рассмотрены английским ученым П. Дираком в связи с задачами квантовой механики в 20-е годы XX в. Основы теории О. ф. были заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г. В дальнейшем теорией О. ф. занимались многие математики мира (в основном в связи с задачами математической физики). В послевоенные годы французским математиком Л. Шварцем было дано систематическое изложение теории О. ф., получивших в зарубежной литературе название «распределения».

Теория О. ф. находит все более широкое применение в различных физических, математических и прикладных исследованиях.