Определение общей декартовой системы координат. «Декартовая система координат

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене) .
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.
***
Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P .
Двухмерная система координат
P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось O X ), вертикальная ось - осью ординат (ось ОY). Положительные направления выбирают на оси O X - вправо, на оси O Y - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Трехмерная система координат
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектора (см. РАДИУС-ВЕКТОР) r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
Через произвольную точку пространства O - начало координат - проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось O X (ось абсцисс), ось O Y (ось ординат), ось O Z (ось аппликат).
На осях координат могут задаваться единичные вектора i , j , k по осям OX ,OY , OZ соответственно.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат. В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси O X - на наблюдателя; по оси OY - вправо; по оси OZ - вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z , то получится движение по правилу правого винта.
Запись P(a,b,c) означает, что точка Р имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.
Каждая тройка чисел (a,b,c) задает единственную точку Р. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.
Координатная плоскость X O Y содержит оси O X и O Y , координатная плоскость Y O Z содержит оси O Y и O Z , координатная плоскость X O Z содержит оси O X и O Z .

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ" в других словарях:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь

Прямоугольная, или декартова система координат наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве. Содержание 1 Прямоугольная система координат на плоскости … Википедия

декартова система координат

Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Книги

• Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :

• [i j ]=k ;
• [j k ]=i ;
• [k i ]=j .

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Декартова система координат" в других словарях:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене). Декарт впервые ввел… … Энциклопедический словарь

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь

декартова система координат

Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Книги

• Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

В пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые - осями координат.

В общем случае на плоскости декартова система координат (аффинная система координат) задаётся точкой О (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов е 1 и е 2 (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной декартовой системы координат. Первая, определяемая вектором е 1 , называется осью абсцисс (или осью Ох), вторая - осью ординат (или осью Оу). Сама декартова система координат обозначается Ое 1 е 2 или Оху. Декартовыми координатами точки М (рисунок 1) в декартовой системе координат Oe 1 е 2 называется упорядоченная пара чисел (х, у), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по базису {е 1 , е 2 }, то есть х и у таковы, что ОМ = хе 1 + уе 2 . Число х, -∞ < x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Если на плоскости введены две декартовы системы координат Oe 1 e 2 и 0’е’ 1 е’ 2 так, что векторы базиса {е’ 1 , е’ 2 } выражены через векторы базиса {e 1 ,е 2 } формулами

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 е 2 , е’ 2 = а 21 e 1 + a 22 e 2

и точка О’ имеет в декартовой системе координат Оe 1 e 2 координаты (х 0 , у 0), то координаты (х, у) точки М в декартовой системе координат Оe 1 e2 и координаты (х’, у’) той же точки в декартовой системе координат О’е 1 е’ 2 связаны соотношениями

х = а 11 х’ + а 21 у’ + х 0 , у = а 12 х’+ а 22 у’+ у 0 .

Декартову систему координат называют прямоугольной, если базис {е 1 , е 2 } ортонормированный, то есть векторы е 1 и е 2 взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы е 1 и е 2 называют в этом случае ортами). В прямоугольной декартовой системе координат координаты х и у точки М суть величины ортогональных проекций точки М на оси Ох и Оу соответственно. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние между точками М 1 (х 1 , у 1) и М 2 (х 2 , у 2) равно √(х 2 -х 1) 2 + (y 2 -y 1) 2

Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат Оху к другой прямоугольной декартовой системе координат О’х’у’, начало которой О’ декартовой системы координат Оху есть О’(х0, у0), имеют вид

х = х’cosα - у’sinα + х 0 , у = х’sin α + у’cosα + у 0

х = х’cosα + у’sinα + х 0 , у = х’sinα - у’cosα + у 0 .

В первом случае система О’х’у’ образуется поворотом базисных векторов е 1 ; е 2 на угол α и последующим переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 2),

а во втором случае - поворотом базисных векторов е 1 , е 2 на угол α, последующим отражением оси, содержащей вектор е 2 относительно прямой, несущей вектор е 1 , и переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 3).

Иногда используются косоугольные декартовы системы координат, отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.

Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка О - начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов е 1 , е 2 , е 3 (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат - ось абсцисс (ось Ох), ось ординат (ось Оу) и ось аппликат (ось Оz) (рисунок 4).

Декартова система координат в пространстве обозначается Oe 1 е 2 е 3 (или Oxyz). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Декартова система координат в пространстве называется правой, если поворот от оси Ох к оси Оу совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-нибудь точки положительной полуоси Оz, в противоположном случае декартова система координат называется левой. Если базисные векторы е 1 , е 2 , е 3 имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то декартова система координат называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной декартовой системы координат в пространстве относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.

Декартова система координат названа по имени Р. Декарта, хотя в его сочинении «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659-61 годов к «Геометрии» приложена работа голландского математика И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную декартову систему координат ввёл французский математик Ф. Лаир (1679). В начале18 века установились обозначения х, у, z для декартовых координат.

Во II веке до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, покрыв его как бы условной сеткой, и ввести географические координаты - широту и долготу.

Правда, еще до этого астрономы использовали данный прием, изучая небесный свод.

Во II веке н.э. знаменитый древнегреческий астроном и математик Клавдий Птолемей активно пользовался долготой и широтой в качестве географических координат.
Но систематизировал эти понятия в 17 веке Рене Декарт.

Рене́ Дека́рт (1596 - 1650) - французский математик, философ, физик и физиолог.
Именно он придумал в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Ее называют также «Декартова система координат».

Что же за человек был Декарт?

Декарт происходил из дворянского рода и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился в 1596 году во Франции. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Рене получил прекрасное начальное образование в престижном коллеже Ла Флеш. Здесь он обучался у священников-иезуитов.

За десять лет, проведенных в колледже, Декарт приобрел писательские навыки, изучил музыкальное и драматическое искусства и даже овладел такими благородными занятиями, как верховая езда и фехтование.
Проведя еще два года в Университете Пуатье, он получил ученую степень в области юриспруденции, но отказался от карьеры юриста.
Рене поступил на военную службу и стал много путешествовать по Европе.

Затем Декарт около двадцати лет жил в Нидерландах. Терпимые голландцы в XVII веке спокойно обходились без таких вещей, как инквизиция, ересь, дыба и сожжение на костре, которые грозили всем европейским оригинальным мыслителям. Здесь, в отличие от других стран, не требовалось расплачиваться за свои идеи.
Декарт ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы, изучает самые различные науки, пишет книги. Он занимался астрономией и медициной.

Великий физиолог Иван Петрович Павлов считал Декарта предтечей

своих исследований. Рене Декарт первым предложил понятие рефлекса.

(Памятник Р. Декарту. Скульптор: И.Ф. Безпалов. Адрес: Аллея бюстов великих ученых в Колтушах.)

Ему принадлежит знаменитая фраза: «Cogito, ergo sum»,
что в переводе с латинского означает:
«Мыслю, следовательно, существую».

Декартова система координат

Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями.
Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.
На каждой оси (ОX и ОY) задается положительное направление и выбирается единица масштаба (единичный отрезок).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y.
Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения.
Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A.
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината: (х; у). И обратно: каждой паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости.