Определение постоянной ридберга для атомного водорода. Постоянная ридберга

24.09.2019

Согласно эмпирической формуле (501.2), постоянную Ридберга можно определить, зная длину волны излучения для соответствующего перехода.

Например, в видимом спектре излучения (серия Бальмера) атом водорода испускает свет с длиной волны λ кр , соответствующей красному цвету. Эта первая видимая линия отвечает переходу атома с третьего на второй энергетический уровень. Таким образом, постоянная Ридберга может быть определена, как

Вторая линия видимого спектра с длиной волны λ гол , соответствующей голубому цвету, возникает при переходе атома с четвертого на второй энергетический уровень, и постоянная Ридберга определяется так:

. (501.13)

Переход со следующего (с пятого) энергетического уровня на второй сопровождается излучением с длиной волны λ син , соответствующей синему цвету, и постоянную Ридберга находим, как:

. (501.14)

При достаточно точном определении соответствующих длин волн все три значения постоянной Ридберга должны быть одинаковыми.

Пример выполнения эксперимента

Цель эксперимента : определить значение постоянной Ридберга.

Задача эксперимента: найти при помощи монохроматора длины волн, соответствующие красной, голубой и, возможно, синей линиям спектра излучения атомарного водорода.

Подготавливаем Таблицу №1 для экспериментальных данных и результатов их обработки.

Таблица №1. Экспериментальные данные и результаты их обработки

Глядя в окуляр монохроматора и вращая регулятор длины волны, находим красную полосу, отчетливо выделяющуюся на общем фоне спектра и добиваемся, чтобы она находилась в середине области обзора. Соответствующая длина волны (в нм) будет отображаться на счетчике монохроматора. Ее мы записываем в первую строку Таблицы №1 столбца «Длина волны», переведя значение в метры.

Аналогичным образом пытаемся отыскать в спектре голубую и синюю линии и записываем в Таблицу №1 значения длин их волн в метрах.

По формулам (501.12), (501.13) и (501.14) рассчитываем значения постоянной Ридберга и записываем их в соответствующие ячейки Таблицы №1 (в м -1).

Вычисляем среднее арифметическое значение постоянной Ридберга

. (501.15)

Находим среднеквадратическую абсолютную погрешность определения постоянной Ридберга:

. (501.16)

где 4,3 – коэффициент Стьюдента для трех измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95

Записываем окончательный результат:

м -1 .

Проверка результатов

Относительная разность теоретического значения постоянной Ридберга, вычисленного по формуле (501.3), и среднего экспериментального ее значения не должна превышать 10%:

. (501.17)

Если это так, то эксперимент выполнен успешно.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ КУРС II, ЧАСТЬ 3

Волны в упругих средах. Продольные и поперечные волны Уравнение гармонической бегущей волны, ее график, фазовая скорость, длина волны, волновое число (1.1, 1.3).

Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость, волновое уравнение (1.3, 1.4).

Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость. Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии – вектор Умова (1.5, 1.6).

Электромагнитные волны. Волновые уравнения. Уравнение плоской гармонической волны (2, 2.1, 2.2).

Энергия электромагнитной волны. Поток энергии. Вектор плотности потока энергии – вектор Пойнтинга (2.3).

Излучение электрического диполя. Шкала электромагнитных волн (2.4, 2.5).

Интерференция света. Монохроматичность и когерентность волн. Расчет интерференции двух волн (3.1.1 – 3.1.3).

Методы получения когерентных волн (3.2).

Оптическая длина пути и оптическая разность хода (3.3).

Интерференция света в тонких пленках. Просветление оптики. Интерферометры (3.4, 3.5).

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля (4.1, 4.2).

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске (4.3).

Дифракция Фраунгофера на одной щели (4.4).

Дифракционная решетка (4.5).

Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэгга (4.6).

Разрешающая способность оптических приборов. Понятие голографии (4.7, 4.8).

Взаимодействие света с веществом. Поглощение света. Закон Бугера. Рассеяние света. Закон Релея (6.1 – 6.3).

Дисперсия света. Электронная дисперсия света. Нормальная и аномальная дисперсия (6.4).

Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса (6.5).

Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера (6.6).

Двойное лучепреломление. Искусственная оптическая анизотропия. Вращение плоскости поляризации (6.7, 6.8).

Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа (7.1 – 7.3).

Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Законы Стефана-Больцмана и Вина (7.4 – 7.6).

Формула Релея-Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа». Гипотеза Планка. Формула Планка. Связь формулы Планка с законами Стефана-Больцмана и Вина (7.7).

Фотон. Энергия, масса и импульс фотона. Давление света (8.1, 8.2).

Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта (8.3).

Эффект Комптона. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения (8.4, 8.5).

Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона-Джермера (9.1).

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Невозможность классического задания состояния микрочастиц (9.2).

Волновая функция и ее статистический смысл (9.3).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица (9.4, 9.5).

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» (9.6).

Классический и квантовый осцилляторы (9.7).

Модель атома Резерфорда (11.1).

Постулаты Бора (11.2).

Линейчатый спектр атома водорода (11.3).

Атом водорода согласно квантовой механики. Квантовые числа электрона в атоме (11.4).

Принцип Паули (11.5).

Поглощение, спектральное и вынужденное излучение (12.1).

Принцип работы лазера (12.2).

Формула Ридберга - эмпирическая формула, описывающая длины волн в спектрах излучения атомов химических элементов. Предложена шведским учёным Йоханнесом Ридбергом и представлена 5 ноября 1888 года.

Формула Ридберга для водородоподобных элементов выглядит следующим образом:

Длина волны света в вакууме;

Постоянная Ридберга для рассматриваемого химического элемента;

Атомный номер, или число протонов в ядре атома данного элемента;

И - целые числа, такие что .

27) Атом водорода: по Томсону, Бору

Модель Бора

Боровская модель водородоподобного атома (Z - заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии (hν ).

Полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно, и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему Бор ввел допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определенным (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причем стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка: .

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты R n и энергии E n находящегося на этой орбите электрона:

Здесь m e - масса электрона, Z - количество протонов в ядре, - диэлектрическая постоянная, e - заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера, решая задачу о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R 0 =5,2917720859(36)×10 −11 м, ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты E 0 = − 13.6 эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

28) Опыт Франка Герца

Суть опытов, предложенных и проведенных Франком и Герцем в 1913 году, состояла в нахождении потенциалов ионизации атомов ртути, т.е. в определении энергии ускоренного электрона в наполненной парами ртути трехэлектродной лампе, который, сталкиваясь с атомом ртути, мог отщепить слабосвязанный с ним внешний (валентный) электрон. Заметим, что в том же году Н. Бор сформулировал свои постулаты.

Согласно идеям Бора энергия электрона в атоме может принимать непроизвольные значения, а лишь значения из определенного дискретного набора, впоследствии названные энергетическими уровнями. Эти энергетические уровни иногда называют оптическими уровнями, так как при любых переходах между ними поглощаются или излучаются фотоны, длины волн которых лежат в видимой или соседних областях спектра.

Опыт, явившийся экспериментальным доказательством дискретности внутренней энергии атома. Поставлен в 1913 Дж. Франком и Г. Герцем.

На рисунке приведена схема опыта. К катоду К и сетке C1 электровакуумной трубки, наполненной парами Hg (ртути), прикладывается разность потенциалов V, ускоряющая электроны, и снимается зависимость силы тока I от V. К сетке C2 и аноду А прикладывается замедляющая разность потенциалов. Ускоренные в области I электроны испытывают соударения с атомами Hg в области II. Если энергия электронов после соударения достаточна для преодоления замедляющего потенциала в области III, то они попадут на анод. Следовательно, показания гальванометра Г зависят от потери электронами энергии при ударе.

В опыте наблюдался монотонный рост I при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,9 В, то есть электроны с энергией Е < 4,9 эВ испытывали упругие соударения с атомами Hg и внутренняя энергия атомов не менялась. При значении V = 4,9 В (и кратных ему значениях 9,8 В, 14,7 В) появлялись резкие спады тока. Это определённым образом указывало на то, что при этих значениях V соударения электронов с атомами носят неупругий характер, то есть энергия электронов достаточна для возбуждения атомов Hg. При кратных 4,9 эВ значениях энергии электроны могут испытывать неупругие столкновения несколько раз.

Таким образом, опыт Франка - Герца показал, что спектр поглощаемой атомом энергии не непрерывен, а дискретен, минимальная порция (квант электромагнитного поля), которую может поглотить атом Hg, равна 4,9 эВ. Значение длины волны λ = 253,7 нм свечения паров Hg, возникавшее при V > 4,9 В, оказалось в соответствии со вторым постулатом Бора

где E 0 и E 1 - энергии основного и возбужденного уровней энергии. В опыте Франка - Герца, E 0 - E 1 = 4,9 эВ.

29) Волны Луи де Бройля

Волны, связанные с любой микрочастицей и отражающие их квантовую природу.

; -позволяет найти длину волны для частицы, которая обладает импульсом р.

Для е: ; 1[Ангстрем]=[м].

Свойство волн де Бройля.

;

(фаза скорости волны де Бройля>скорости света);

30) Принцип неопределённости Гейзенберга

Определение: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше, чем постоянная Планка.

Обобщённый принцип неопределённости

Теорема . Для любых самосопряжённых операторов: и , и любого элемента x из H такого, что ABx и BAx оба определены (то есть, в частности, Ax и Bx также определены), имеем:

Это прямое следствие неравенства Коши - Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор AB − BA называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ]. Он определен для тех x , для которых определены оба ABx и BAx .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если AB ψ и BA ψ определены, тогда:

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Оператор стандартного отклонения величины X в состоянии ψ системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

Данная константа изначально появилась как эмпирический подгоночный параметр в формуле Ридберга , описывающей спектральные серии водорода . Позже Нильс Бор показал, что её значение можно вычислить из более фундаментальных постоянных , объяснив их связь с помощью своей модели атома (модель Бора). Постоянная Ридберга является предельным значением наивысшего волнового числа любого фотона, который может быть испущен атомом водорода; с другой стороны, это волновое число фотона с наименьшей энергией, способного ионизировать атом водорода в его основном состоянии.

Также используется тесно связанная с постоянной Ридберга единица измерения энергии , называемая просто Ридберг и обозначаемая R y {\displaystyle \mathrm {Ry} } . Она соответствует энергии фотона, волновое число которого равно постоянной Ридберга, то есть энергии ионизации атома водорода.

По состоянию на 2012 год, постоянная Ридберга и g-фактор электрона являются наиболее точно измеренными фундаментальными физическими постоянными.

Численное значение

R {\displaystyle R} = 10973731.568508(65) м −1 .

Для лёгких атомов постоянная Ридберга имеет следующие значения:

R y = 13,605 693009 (84) {\displaystyle \mathrm {Ry} =13{,}605693009(84)} эВ = 2,179 872325 (27) × 10 − 18 {\displaystyle 2{,}179872325(27)\times 10^{-18}} Дж.

Свойства

Постоянная Ридберга входит в общий закон для спектральных частот следующим образом:

ν = R Z 2 (1 n 2 − 1 m 2) {\displaystyle \nu =R{Z^{2}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}

где ν {\displaystyle \nu } - волновое число (по определению, это обратная длина волны или число длин волн, укладывающихся на 1 см), Z - порядковый номер атома.

ν = 1 λ {\displaystyle \nu ={\frac {1}{\lambda }}} см −1

Соответственно, выполняется

1 λ = R Z 2 (1 n 2 − 1 m 2) {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R{Z^{2}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)} R c = 3,289 841960355 (19) × 10 15 {\displaystyle R_{c}=3{,}289841960355(19)\times 10^{15}} с −1

Обычно, когда говорят о постоянной Ридберга, имеют в виду постоянную, вычисленную при неподвижном ядре. При учёте движения ядра масса электрона заменяется приведённой массой электрона и ядра и тогда

R i = R 1 + m / M i {\displaystyle R_{i}={\frac {R}{1+m/M_{i}}}} , где M i {\displaystyle M_{i}} - масса ядра атома.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ РИДБЕРГА

ПО СПЕКТРУ АТОМАРНОГО ВОДОРОДА

Цель работы: ознакомление с закономерностями в спектре водорода , определение длин волн спектральных линий серии Бальмера, расчет постоянной Ридберга.

В работе используются: монохроматор, генератор "Спектр", выпрямитель, спектральные трубки, соединительные провода.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Спектры излучения изолированных атомов, например, атомов разреженного одноатомного газа или паров металла, состоят из отдельных спектральных линий и носят название линейчатых. Относительная простота линейчатых спектров объясняется тем, что электроны, входящие в состав таких атомов, находятся под действием только внутриатомных сил и практически не испытывают возмущающего действия со стороны окружающих удаленных атомов.

Изучение линейчатых спектров показывает, что в расположении линий, образующих спектр, наблюдаются определённые закономерности: линии располагаются не беспорядочно, а группируются сериями. Впервые это было обнаружено Бальмером (1885 г.) для атома водорода. Сериальные закономерности в атомных спектрах присущи не только атому водорода, но и другим атомам и свидетельствуют о проявлении квантовых свойств излучающих атомных систем. Для атома водорода эти закономерности могут быть выражены с помощью соотношения (обобщенная формула Бальмера)

где λ - длина волны; R - постоянная Ридберга, значение которой, найденное из эксперимента, равно https://pandia.ru/text/78/229/images/image003_164.gif" width="21" height="19 src="> при переходе электрона из одного стационарного (устойчивого) состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается переход электрона .

Для построения боровской теории водородного атома необходимо также привлечь постулат Планка о дискретности состояний гармонического осциллятора, энергия которого равна https://pandia.ru/text/78/229/images/image006_108.gif" width="53" height="19 src=">.

Рис. 1. Схема образования спектральных серий атомарного водорода.

Как отмечалось ранее, постулаты Бора несовместимы с классической физикой. И тот факт, что вытекающие из них результаты хорошо согласуются с опытом, например, для атома водорода, свидетельствует о том, что законы классической физики ограничены в своем применении к микрообъектам и требуют пересмотра. Правильное описание свойства микрочастиц дает квантовая механика.

В соответствии с формализмом квантовой механики поведение любой микрочастицы описывается волновой функцией https://pandia.ru/text/78/229/images/image009_87.gif" width="29" height="29"> даёт значение плотности вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме около точки с координатами в момент времени t . В этом заключается её физический смысл. Зная плотность вероятности, можно найти вероятность P нахождения частицы в конечном объёме https://pandia.ru/text/78/229/images/image012_61.gif" width="95" height="41 src=">. Для волновой функции выполняется условие нормировки: . Если состояние частицы стационарно, то есть не зависит от времени (именно такие состояния мы и будем рассматривать), то в волновой функции можно выделить два независимых множителя: .

Для нахождения волновой функции служит так называемое уравнение Шрёдингера, которое для случая стационарных состояний имеет следующий вид:

где E - полная, U - потенциальная энергия частицы, - оператор Лапласа. Волновая функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной, а также иметь непрерывную и конечную производную. Решая уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода, можно получить выражение для уровней энергии электрона

где n = 1, 2, 3, и т. д.

Постоянную Ридберга можно найти с помощью формулы (1), определив экспериментальным путем длины волн в какой-либо серии. Наиболее удобно это сделать для видимой области спектра, например для серии Бальмера , где i = 3, 4, 5, и т. д. В настоящей работе определяются длины волн первых четырех наиболее ярких спектральных линий этой серии.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. В генератор спектр, показанный на рис. 2, поставить неоновую спектральную трубку.

2. Проделать то же с гелиевой и водородной трубками.

3. Для каждой длины волны по формуле (1) вычислить постоянную Ридберга и найти ее значение.

4. Вычислить среднее значение массы электрона по формуле .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. При каких условиях возникают линейчатые спектры?

2. Какова модель атома по теории Резерфорда-Бора? Сформулируйте постулаты Бора.

3. Выведите на основе теории Бора формулу для энергии электрона на n -ой орбите.

4. Объясните смысл отрицательного значения энергии электрона в атоме.

5. Выведите формулу для константы Ридберга на основе теория Бора.

6. Каковы трудности теории Бора?

7. Что такое волновая функция и каков ее статистический смысл?

8. Напишите уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода. От каких квантовых чисел зависит решение этого уравнения? Каков их смысл?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. , "Курс общей физики", т.3, М., "Наука", 1979, с.528.

Длины волн излучения атома определенного типа зависят от разности обратных квадратов расстояний между квантовыми числами.

Во второй половине XIX столетия ученые поняли, что атомы различных химических элементов излучают свет строго определенных частот и длин волны, и такое излучение имеет линейчатый спектр , благодаря чему их свет имеет характерную окраску (см. Открытие Кирхгофа—Бунзена). Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на уличные фонари. Обратите внимание, что на крупных автомагистралях яркие лампы дневного света имеют обычно желтоватый оттенок. Это следствие того, что они заполнены парами натрия, а в видимом спектре излучения натрия интенсивнее всего проявляются две спектральные линии желтого оттенка.

С развитием спектроскопии стало ясно, что атом любого химического элемента имеет свой набор спектральных линий, по которым его можно вычислить даже в составе далеких звезд, как преступника по отпечаткам пальцев. В 1885 году швейцарский математик Иоганн Бальмер (Johann Balmer, 1825-98) сделал первый шаг в направлении расшифровки закономерности расположения спектральных линий в излучении атома водорода, эмпирически выведя формулу, описывающую длины волн в видимой части спектра атома водорода (так называемая спектральная линия Бальмера ). Водород — самый простой по структуре атом, и поэтому математическое описание расположения линий его спектра было получено раньше всего. Четыре года спустя шведский физик Йоханнес Ридберг обобщил формулу Бальмера, распространив ее на все участки спектра электромагнитного излучения атома водорода, включая ультрафиолетовую и инфракрасную области. Согласно формуле Ридберга, длина световой волны λ, которую излучает атом водорода, определяется формулой

где R — постоянная Ридберга, а n 1 и n 2 — натуральные числа (при этом n 1 n 2). В частности, при n 1 = 2 и n 2 = 3, 4, 5, ... наблюдаются линии видимой части спектра излучения водорода (n 2 = 3 — красная линия; n 2 = 4 — зеленая; n 2 = 5 — голубая; n 2 = 6 — синяя) — это так называемая серия Бальмера . При n 1 = 1 водород дает спектральные линии в ультрафиолетовом диапазоне частот (серия Лаймана ); при n 2 = 3, 4, 5, ... излучение переходит в инфракрасную часть электромагнитного спектра. Значение R было определено экспериментально.