Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования.

Проецирование - это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.

Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты - точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекций П", на которой получается изображение объектов в соответствии с рисунком 1.2.

Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами: центральным и параллельным.

Наименование способа проецирования	Сущность способа
Центральное проецирование	Все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций (рисунок 1.3). Полученные проекции А", В", С" называются центральными проекциями точек А, В, С.
Параллельное проецирование	Все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению S , а значит и друг другу (рисунок 1.4). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При построении проекций А", В", С" этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.
Рисунок 1.3	Рисунок 1.4

Свойства проецирования

Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств:

1) Проекция точки есть точка. При заданном центре Р (или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует иа плоскости проекций п" единственная точка А". При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой в соответствии с рисунком 1.2.

2) Проекция прямой есть прямая. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рисунок 1.5). Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции П", то ее проекция параллельна самой прямой (рисунок 1.6). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном - равны им. При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рисунок 1.7).

Рисунок 1.5

Рисунок 1.6	Рисунок 1.7

Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рисунок 1.9, а), а при параллельном - равны им (рисунок 1.9, б).

Рисунок 1.9

1.5 Инварианты параллельного проецирования (прямоугольное проецирование)

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рисунок 1.10). Объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция - катетом: А"В" = AB cos a..

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

Обратимость чертежа. Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (рисунок 1.8) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п". Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А". Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).

Рисунок 1.12
Внимание, вопрос!	Подумайте, проанализируйте предложенные чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов центрального и параллельного проецирования (рисунок 1.12).
Запомните!	1 Рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования. 2 Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

Контрольные вопросы

1 Какие геометрические элементы включают в себя аппарат проецирования?

2 Какие способы проецирования вы знаете?

3 Какие проецирующие поверхности могут создавать проецирующие лучи?

4 Перечислите основные свойства проекций.

5 Чему равна проекция угла, плоскость которого параллельна плоскости проекций при центральном проецировании?

6 В какие геометрические образы вырождаются проекции прямых и плоскостей поверхностей, занимающих проецирующее положение?

7 Как читается теорема о проецировании прямого угла?

8 Как вы понимаете термин «обратимый чертеж? Чем достигается обратимость чертежа?
ЛЕКЦИЯ №2

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование .

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции .
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки . Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании . С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Параллельное проецирование (рис. 1.6) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность (S ∞). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проек-

ций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными. в остальных случаях – косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом к плоскости проекций ).

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

Если прямые MN и KL (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости и параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: – по условию,

Следовательно, проекции и параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей р и у с плоскостью л.

Отметим на прямой MN произвольный отрезок А В и на прямой KL произвольный отрезок CD. Проведем в плоскости р через точку А прямую и в плоскости у через точку С прямую С – . Отрезки как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки и, следовательно, . Отрезки , так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников и следует:

Из рассмотренного следует:

а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8):

б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (см. рис. 1.7) при будет . Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

• 2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.
• 3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проецирования, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием . Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция D 0 точки D показана на рис. 1.9.

Наряду со свойствами параллельных (косоугольных) проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство : ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны.

На рис. 1.10 Докажем, что

Проецирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций , проекции и прямой ВА. Плоскость ) перпендикулярна прямой ВА, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( – по условию, а по построению). Проекция перпендикулярна плоскости , так как . Следовательно, проекция плоскости на плоскости – прямая KL перпендикуляпна пооекции , а с прямой KL совпадает проекция В °С 0, т. е. что и требовалось доказать.

Косоугольная

• Аксонометрическая

• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае - когда отрезок лежит на проекционном луче - в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае - в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство [ | ]

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) - широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также - очень широко - при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Чаще всего используется ортогональная проекция.

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроецировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

Неортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае - вместо плоскости другую прямую, в случае n -мерного пространства - гиперплоскость размерности (n -1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

• Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проецирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

Задаём некоторую плоскость П′ , являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s , не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 1.2.2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′ , параллельную направлению проецирования s . Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ являетсяпараллельной проекцией точки А на плоскость П′ .

Рисунок 1.2.3 – Параллельная проекция параллельных в пространстве

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AА¢В¢B и CС¢D¢D , заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD ; BВ¢ ||DD¢ ). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П" по двум парал­лельным между собой прямым.

2) Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции .

Пусть АВ и CD – отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П¢ при направлении проецирования s (рисунок 1.2.3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки А¢В1 и С¢D1 , соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СD . Треугольники А¢B¢B1 и С¢D¢D1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А"С′.

Рисунок 1.2.4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании