Показатели вариации и их значение в статистике. Показатели вариации в статистике

2. Вариация альтернативного признака

3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий

4. Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака уотдельных единиц совокупности называются вариацией признака. По степенивариации признака можно судить о процессах развития изучаемых явлений, о типичности средних величин. Дело в том, что средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывая строения совокупности.

Она не показывает, как относительно нее располагаются варианты осредняемого признака — сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но водном случае все индивидуальные значения могут мало отличаться от нее, а в другом - эти отличия могут быть велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, что имеет большое значение для характеристики надежности средней величины.

Для определения меры вариации признака в статистике исполь-зуются абсолютные и относительные показатели вариации .

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадрата чес кое отклонение.

Размах вариации (R) является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

где X max - максимальное значение признака в совокупности;

X min - минимальное значение признака в совокупности.

Величина размаха вариации зависит только от крайних значений учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ограничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариации необходимы показатели, дающие обобщенную характер всех колебаний варьирующего признака.

Среднее линейное отклонение является простейшим показате-лем такого типа и представляет собой среднюю величину абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней ариф-метической величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных дан-ных определяется по формуле (5.2):

Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных рассчитывается так (5.3):

Следует отметить, что среднее линейное отклонение не всегда улавливает степень вариации значений признака. Поэтому в статисти-ке применяется более чувствительный обобщающий показатель - дисперсия . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклоне-ний индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах отклонений.

Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по формуле (5.4):

Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так (5.5):

Для расчета дисперсии применяется также следующая формула (5.6):

Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко-рень квадратный из дисперсии (5.7) или (5.8):

Среднее квадратическое отклонение также как и среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Однако величине среднеквадратическое отклонение во всех случаях превыша-ет среднее линейное, так как более чутко реагирует на вариацию. Для симметричных и умеренно асимметричных распределений имеет ме-сто следующее соотношение (5.9):

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднееквад-ратическое отклонение выражаются в именованных числах, т. е. име-ют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени ва-риации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уров-нем средних, а также для сравнения вариации двух различных призна-ков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относи-тельные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции (5.10)

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) (5.11):

Коэффициент вариация (5.12):

Коэффициент вариации позволяет не только получить обоб-щающую характеристику вариации признака в совокупности, но и дает возможность сделать выводы об однородности совокупности.Со-вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.Средние величины, рассчитанные по однородной совокупности, являются ее достаточно надежными характеристиками.

Вариация альтернативного признака

В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюдения). Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до-ля единиц в совокупности, обладающих данным признаком, q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p + q = 1.

Среднее значение альтернативного признака определим по формуле средней арифметической (5.13):

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле (5.14):

Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия — произведению доли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис-персии альтернативного признака, означающее максимальную неод-нородность совокупности, равно 0,25 при p = q = 0,5.

Тема 5

Основные вопросы: 1. Понятие вариации.

2. Показатели вариации.

3. Относительные показатели вариации.

4. Виды дисперсии.

1. Понятие вариации. При изучении совокупности явления нельзя ограничиваться только нахождением средней величины. Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, показывают типичные характеристики для изучаемой совокупности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признаков вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупности колеблемость признаков может быть большой или малой. Поэтому возникает необходимость в измерении вариации отдельных вариантов по отношению к средней величине.

Определение : Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариация в переводе с латинского означает «колеблемость», «изменчивость», «непостоянство». Предполагая, что большинство социально-экономических явлений и процессов варьируют в некотором масштабе, статистика разработала методологию расчета показателей вариации, которые, в свою очередь, могут быть абсолютными, относительными и средними.

Величины признаков колеблются, варьируют под действием различных причин и условий, которые в статистике называют факторами. Нередко эти факторы действуют в противоположных направлениях и сами, в свою очередь, варьируют. Среди них есть существенные факторы, определяющие величину вариантов данного признака у всех единиц совокупности. Но есть и несущественные, которые на одни единицы совокупности могут оказывать влияние, на другие нет.

Например, вариация оценок студентов на экзамене в вузе вызывается, в частности, различными способностями студентов; временем, затраченным ими на самостоятельную работу; посещаемостью занятий; различием социально-бытовых условий и т.д. Но на оценку могут влиять и какие-либо привходящие, чисто случайные причины, например, временное недомогание.

Вариация, порождаемая существенными факторами, носит систематический характер, то есть наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация называется систематической. В систематической вариации проявляются взаимосвязи между явлениями, их признаками, в такой связи – один как причина, другой как следствие его действия.

Вариация, обусловленная случайными факторами, называется случайной вариацией. Здесь не наблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака от случайных факторов; все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивой связи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.

Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией. Следовательно, общая вариация слагается из систематической и случайной вариации.

2. Показатели вариации. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное (абсолютное) отклонение (с.л.о.), дисперсия, среднее квадратическое отклонение (с.к.о.), коэффициент вариации.

1) Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака:

Он характеризует пределы изменения признака.

Средний размах: – это есть средняя арифметическая из ряда размахов, полученных из серии равных по объему наблюдений. Используется в контроле качества.

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.

Простейший показатель такого типа СЛО.

2). Среднее линейное отклонение (СЛО) – представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (учитывает только крайние значения признака и не учитывает все промежуточные).

– СЛО для несгруппированных данных: ,

где – число членов ряда.

Т.е. – СЛО равно средней арифметической из абсолютных отклонений (модулей) признака всех единиц совокупности от средней арифметической.

– СЛО для сгруппированных данных: ,

где – сумма частот вариационного ряда.

В формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе в числителе всегда будет ноль – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической.

Поэтому СЛО применяют редко, только в случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. Например, анализ состава рабочих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

3) Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней арифметической (не имеет единиц измерения).

В общем виде взвешенная дисперсия исчисляется по формуле:

или простая дисперсия:

.

Дисперсия альтернативного признака:

4) Среднее квадратическое отклонение (СКО) ‑ это есть квадратный корень из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

– для несгруппированных данных;

– для сгруппированных данных (для вариационного ряда).

3. Относительные показатели вариации (коэффициент вариации). В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией зарплаты, выраженной в рублях.

Для осуществления такого сравнения, а также сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (КВ).

КВ – представляет собой выраженное в процентах отношение СКО к средней арифметической.

,

это и есть коэффициент вариации. Это относительная мера вариации и позволяет сравнивать степень варьирования в разных вариационных рядах.

4. Виды дисперсии.

Определение : Дисперсия – это средний квадрат отклонений всех значений признака ряда распределения от средней арифметической.

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю ();

2) Дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число ();

3) Если все варианты умножить на число , дисперсия увеличится в раз ;

4) Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонений от любого числа на – свойство минимальности дисперсии от средней ().

Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство, переходят к дисперсии от средней.

Виды дисперсий для сгруппированных данных, условия их применения в статистических исследованиях.

Если совокупность данных сгруппирована на группы по какому-то признаку, то в этом случае выделяются 3 вида дисперсий:

Общая дисперсия

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго - 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Итого	400	-	312000

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Итого	400	-	-	-	81280

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Итого	400	-	-	-	23040000

Вариация – это изменение (колеблемость) значений признака в пределах изучаемой совокупности при переходе от одного объекта (группы объектов), или от одного случая к другому. Абсолютные и относительные показатели вариации, характеризующие колеблемость значений варьирующего признака, позволяют, в частности, измерить степень связи и взаимозависимости между признаками, определить степень однородности совокупности, типичности и устойчивости средней, определить величину погрешности выборочного наблюдения, статистически оценить закон распределения совокупности и т. п.

В этой теме необходимо уяснить сущность (смысл), назначение и способы вычисления каждого показателя вариации, рассматриваемого в курсе теории статистики: размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение, относительные коэффициенты вариации (коэффициент осцилляции, коэффициент среднего линейного отклонения, коэффициент вариации).

Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным (х max) и минимальным (х min) значениями признака в совокупности (в ряду распределения):

R = х max - х min. (5.1)

Мерой других показателей вариации является разность не между крайними значениями признака, а средняя разность между каждым значением признака и средней величиной этих признаков. Разность между отдельным значением признака и средней называют отклонением.

Среднее линейное отклонение вычисляется по следующим формулам:

по индивидуальным (несгруппированным) данным

; (5.2)

по вариационным рядам (сгруппированным данным)

. (5.3)

Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то при расчете среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма отклонений, взятая по модулю, т.е.
.

Среднее линейное отклонение имеет ту же размерность, что и признак, для которого оно исчисляется.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Среднее линейное отклонение относительно редко применяется для оценки вариации признака. Поэтому обычно вычисляются дисперсия ( 2) и среднее квадратическое отклонение (). Эти показатели применяются не только для оценки вариации признака, но и для измерения связи между ними, для оценки величины ошибки выборочного наблюдения и других целей.

Дисперсия признака рассчитывается по формулам:

по первичным данным

; (5.4)

по вариационным рядам

. (5.5)

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

по первичным данным

; (5.6)

по вариационным рядам

. (5.7)

Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, имеет ту же размерность, что и сам исходный признак.

Дисперсию можно определить и как разность между средним квадратом вариантов и квадратом их средней величины, т. е.
. (5.8)

В этом случае по первичным данным дисперсия равна:

(5.9)

Применительно к сгруппированным данным, расчет дисперсии этим способом в развернутом виде представим в таком виде:

. (5.10)

Для рядов распределения с равными интервалами значение дисперсии можно вычислить, применяя способ условных моментов, т. е.

, (5.11)

где
- первый условный момент; (5.12)

- второй условный момент. (5.13)

Среднее квадратическое отклонение по способу условных моментов определяется по формуле:

(5.14)

Преобразуя выражение расчета дисперсии по способу условных моментов, получим формулу вида:
(5.15)

На основе одних и тех же исходных данных получим одинаковое значение дисперсии.

Относительные показатели вариации вычисляются как отношение ряда абсолютных показателей вариации к их средней арифметической и выражаются в процентах:

коэффициент осцилляции -
; (5.16)

коэффициент относительного линейного отклонения -
; (5.17)

коэффициент вариации -
. (5.18)

Задача 1 . Рассмотрим способы расчета показателей вариации на основе данных табл. 5.1.

Таблица 5.1. Исходные данные для расчета показателей вариации

Затраты времени на производство деталей мин

Количество деталей, шт. (f)

Середина интервала (х)

; к = 2

Приведенный ряд распределения ранжированный, поэтому здесь легко найти минимальное значение признака, оно равно 8 мин. (10 - 2), и максимальное, равное 18 мин. (16 + 2). Значит, размах вариации признака в этом ряду составит 10 мин., т. е.

R = x max – x min = 18 – 8 = 10 мин.

Вычислим среднее линейное отклонение. Прежде всего необходимо вычислить среднюю величину . Все вычисления будем вести в табличной форме (табл. 5.1.), отводя для каждой вычислительной операции графу в таблице.

Поскольку исходные данные представлены рядом распределения, то

мин.

мин.

Покажем способы расчета дисперсии:

а) обычным способом (по определению):

;

б) как разность между средним квадратом и квадратом средней величины:

Для определения величины дисперсии по этой формуле необходимо вычислить средний квадрат вариантов признака по формуле:

;

 2 =178,6 – (13,2) 2 =4,36;

в) по способу условных моментов:

;

;

г) на основе преобразования формулы расчета дисперсии по способу условных моментов имеем:

Дисперсия – число отвлеченное, не имеющее единиц измерения.

Среднее квадратическое отклонение вычислим путем извлечения корня квадратного из дисперсии:

мин.

По способу условных моментов величину среднего квадратического отклонения определим так:

Вычислим относительные показатели вариации:

%;

%;

%.

Основным относительным показателем вариации является коэффициент вариации (V). Он используется для сравнительной оценки меры колеблемости признаков, выраженных в различных единицах измерения.

Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков (в частности альтернативной изменчивости качественных признаков). В этом случае каждая единица изучаемой совокупности либо обладает каким-то свойством, либо нет (например, каждый взрослый человек либо работает, либо нет). Наличие признака у единиц совокупности обозначают 1, а отсутствие –0; долю же единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком, обозначают p, а не обладающих им – q. Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

; (5.19)

p + q = 1 (5.20)

Если, например, доля поступивших в университет равна 30%, а не поступивших – 70%, то дисперсия равна 0,21(0,3 · 0,7). максимальное значение произведения pq равно 0,25 (при условии, когда одна половина единиц обладает данным признаком, а другая половина нет: (0,5 · 0,5 = 0,25).

Способ разложения общей дисперсии. Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, воспользуемся разложением общей дисперсии на составляющие: на так называемую групповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий:

, (5.21)

где
– общая дисперсия, характеризующая вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности.

Вариацию признака, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия  2 , которая является мерой колеблемости частных средних по группам
вокруг общей средней и исчисляется по формуле:

, (5.22)

где n j – число единиц совокупности в каждой группе;

j – порядковый номер группы.

Вариацию признака, обусловленную влиянием всех прочих факторов, кроме группировочного (факторного), характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия:

, (5.23)

где i – порядковый номер x и f в пределах каждой группы.

По совокупности в целом средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

(5.24)

Отношение межгрупповой дисперсии  2 к общей
даст коэффициент детерминации:

(5.25)

который характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака, положенного в основание группировки.

Показатель, полученный как корень квадратный из коэффициента детерминации, называется коэффициентом эмпирического корреляционного отношения, т.е.:

(5.26)

Он характеризует тесноту связи между результативным и факторным (положенным в основу группировки) признаками. Численное значение коэффициента эмпирического корреляционного отношения имеет два знака: . При решении вопроса о том, с каким знаком его следует брать, необходимо иметь ввиду: если вариация факторного и результативного признаков идет синхронно в одном и том же направлении (возрастает или убывает), то корреляционные отношение берется со знаком плюс; если же изменение этих признаков идет в противоположных направлениях, то оно берется со знаком минус.

Для вычисления групповых и межгрупповых дисперсий можно применять любой из описанных выше способов исчисления среднего квадрата отклонений.

Задача 2. Вычислим все названные дисперсии по исходным данным табл. 5.2.

Таблица 5.2. Распределение посевной площади озимой пшеницы по урожайности

Номер участка	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га

Вычислим среднюю урожайность озимой пшеницы по всем участкам (общая средняя):

ц/га.

Общую дисперсию найдем по формуле:

В гр. 6 табл. 5.2. вычислим значения для расчета среднего квадрата вариантов признака:

.

Находим общую дисперсию:

Урожайность зависит от многих факторов (качество почвы, размер внесения органических и минеральных удобрений, качество семян, сроки сева, уход за посевами и др.) Общая дисперсия в данном случае измеряет колеблемость урожайности за счет всех факторов.

Задача 3. Разобьем совокупность участков на две группы: I группа – посевные площади, на которых не вносились органические удобрения; II – площади, на которых они вносились. К первой группе отнесем участки 1-4, а ко второй – 4-8. По данным этих групп рассчитаем остальные из необходимых нам дисперсий, используя уже произведенные в табл. 5.2. вычисления.

Таблица 5.3. Расчетные данные для вычисления межгрупповой и групповых дисперсий

Номер участка	Урожайность, ц/га (х)	Посевная площадь, га (f)				Номер участка	Урожайность, ц/га (х)	Посевная площадь, га (f)

Определяем:

для I группы:	для II группы:
а) групповую среднюю	а) групповую среднюю
ц/га;	ц/га;
	б) средний квадрат вариантов признака
;	;
в) групповую дисперсию	в) групповую дисперсию

Определяем среднюю из групповых дисперсий:

.

Находим межгрупповую дисперсию:

Средняя из групповых дисперсий измеряет колеблемость признака за счет всех прочих факторов, кроме положенного в основание группировки (разграничения на группы), а межгрупповая – за счет именно этого фактора. Сумма этих дисперсий должна дать общую дисперсию, а именно:

Отношение межгрупповой дисперсии к общей в нашем примере даст следующее значение коэффициента детерминации:

, или 71,8%,

т. е. вариация урожайности озимой пшеницы на 71,8% зависит от вариации размеров внесения органических удобрений. Остальные же 28,2% вариации урожайности зависит от влияния всех остальных факторов, кроме размеров внесения органических удобрений.

Коэффициент эмпирического корреляционного отношения составит:

.

Это говорит о том, что внесение органических удобрений оказывает весьма существенное влияние на урожайность.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax – Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

– абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f– частота.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации – дисперсию.

Дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков – среднее линейное и среднее квадртическое отклонение – не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Тема 6. Виды и методы анализа рядов динамики

1. Ряды динамики. Виды рядов динамики.
2. Основные показатели рядов динамики
3. Средние показатели рядов динамики

1. Явления общественной жизни, изучаемые социально-экономической статистикой, находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени – от месяца к месяцу, от года к году – изменяются численность населения и его состав, объем производимой продукции, уровень производительности труда и т. д., поэтому одной из важнейших задач статистики является изучение изменения общественных явлений во времени – процесса их развития, их динамики. Эту задачу статистика решает путем построения и анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (хронологический, динамический, временной ряд) – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Ряд включает два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя (уровень ряда).

Каждое числовое значение показателя, характеризующее величину, размер явления, называется уровнем ряда. Кроме уровней каждый ряд динамики содержит указания о тех моментах либо периодах времени, к которым относятся уровни.

При подведении итогов статистического наблюдения получают абсолютные показатели двух видов. Одни из них характеризуют состояние явления на определенный момент времени: наличие на этот момент каких-либо единиц совокупности или наличие того или иного объема признака. К таким показателям относится численность населения, парк автомобилей, жилищный фонд, товарные запасы и т. д. Величину таких показателей можно определить непосредственно только по состоянию на тот или иной момент времени, а потому эти показатели и соответствующие ряды динамики и называются моментными.

Другие показатели характеризуют итоги какого-либо процесса за определенный период (интервал) времени (сутки, месяц, квартал, год и т. п.). Такими показателями являются, например, число родившихся, количество произведенной продукции, ввод в действие жилых домов, фонд заработной платы и др. Величину этих показателей можно подсчитать только за какой-нибудь интервал (период) времени, поэтому такие показатели и ряды их значений называются интервальными.

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней, поэтому в интервальном ряду динамики уровни за примыкающие друг к другу периоды времени можно суммировать, получая итоги (уровни) за более продолжительные периоды (так, суммируя месячные уровни, получим квартальные, суммируя квартальные, получим годовые, суммируя годовые – многолетние).

В моментном динамическом ряду одни и те же единицы совокупности обычно входят в состав нескольких уровней, поэтому суммирование уровней моментного ряда динамики само по себе не имеет смысла, так как получающиеся при этом итоги лишены самостоятельной экономической значимости.

При построении и перед анализом ряда динамики нужно прежде всего обратить внимание на то, чтобы уровни ряда были сопоставимы между собой, так как только в этом случае динамический ряд будет правильно отражать процесс развития явления. Сопоставимость уровней ряда динамики – это важнейшее условие обоснованности и правильности выводов, полученных в результате анализа этого ряда. При построении динамического ряда надо иметь в виду, что ряд может охватывать большой период времени, в течение которого могли произойти изменения, нарушающие сопоставимость (территориальные изменения, изменения круга охвата объектов, методологии расчетов и т. д.).

При изучении динамики общественных явлений статистика решает следующие задачи:

Измеряет абсолютную и относительную скорость роста либо снижения уровня за отдельные промежутки времени;

Дает обобщающие характеристики уровня и скорости его изменения за тот или иной период;

Выявляет и численно характеризует основные тенденции развития явлений на отдельных этапах;

Дает сравнительную числовую характеристику развития данного явления в разных регионах или на разных этапах;

Выявляет факторы, обусловливающие изменение изучаемого явления во времени;

Делает прогнозы развития явления в будущем.

2 . Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, называется базисным, так как он является базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда.

Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными.

Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор этой базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался).

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни:

где уi – уровень i-го года; yi-1 – уровень предшествующего года; y0 – уровень базисного года.

Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период.

Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Темп роста (Тр) – статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному:

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь соответствующий период.

Темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %.

При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины – уровни и абсолютные приросты – скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать.

В связи с этим важно изучать еще один показатель динамики – абсолютное значение (содержание) 1 % прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

3. С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития, поэтому для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей и решения других задач анализа используются средние показатели временного ряда – средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.

При вычислении средних показателей динамики необходимо иметь в виду, что к этим средним показателям полностью относятся общие положения теории средних величин. Это означает прежде всего, что динамическая средняя будет типичной, если она характеризует период с однородными, более или менее стабильными условиями развития явления. Выделение таких периодов – этапов развития – в определенном отношении аналогично группировке. Если же динамическая средняя величина исчислена за период, в течение которого условия развития явления существенно менялись, т. е. период, охватывающий разные этапы развития явления, то такой средней величиной нужно пользоваться с большой осторожностью, дополняя ее средними величинами за отдельные этапы.

Наиболее просто вычисляется средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями. Расчет производится по формуле простой средней арифметической:

где n – число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени.

Для моментного ряда с разностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т. д.). Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня и всегда является интервальным показателем. Он вычисляется путем деления общего прироста за весь период на длину этого периода в тех или иных единицах времени:

Расчет среднего абсолютного цепного прироста:

Расчет среднего абсолютного базисного прироста:

где – цепные абсолютные приросты за последовательные промежутки времени; n – число цепных приростов; У0 – уровень базисного периода.

Средний темп роста, выраженный в форме коэффициента, показывает, во сколько раз увеличивается уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т. п.).

Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, которая имеет место между обычными темпами роста и прироста:

Средний темп прироста (или снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т. п.). Средний темп прироста характеризует среднюю интенсивность роста, т. е. среднюю относительную скорость изменения уровня.