В. И. Черепанов

Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают изяществом.

А. Эйнштейн

Слово "симметрия" ("symmetria") имеет греческое происхождение и означает "соразмерность". В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Гармоничная согласованность частей и целого является главным источником эстетической ценности симметрии . Кристаллы издавна восхищали нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. Таким образом, можно говорить о принадлежности симметрии к категории прекрасного.

Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955), который в своей замечательной книге "Симметрия" проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. Согласно Вейлю, под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Можно сказать,что симметрия есть совокупность инвариантных свойств объекта. Например, кристалл может совмещаться с самим собой при определенных поворотах, отражениях, смещениях. Многие животные обладают приближенной зеркальной симметрией при отражении левой половины тела в правую и наоборот. Однако подчиняться законам симметрии может не только материальный, но и, к примеру, математический объект. Можно говорить об инвариантности функции, уравнения, оператора при тех или иных преобразованиях системы координат. Это в свою очередь позволяет применять категорию симметрии к законам физики. Так симметрия входит в математику и физику, где она также служит источником красоты и изящества.

Постепенно физика открывает все новые виды симметрии законов природы: если вначале рассматривались лишь пространственно-временные (геометрические) виды симметрии, то в дальнейшем были открыты ее негеометрические виды (перестановочная, калибровочная, унитарная и др.). Последние относятся к законам взаимодействий, и их объединяют общим названием "динамическая симметрия".

Принципы инвариантности играют очень важную роль в современной физике: с их помощью обоснованы старые и предсказаны новые законы сохранения, облегчено решение многих фундаментальных и прикладных задач и, что особенно важно, удалось добиться первых успехов на пути объединения фундаментальных взаимодействий. Эти принципы обладают большой общностью. Выдающийся американский физик-теоретик Ю. Вигнер отметил, что эти принципы относятся к законам природы так же, как законы природы относятся к явлениям, т.е. симметрия "управляет" законами, а законы "управляют" явлениями. Если бы не было, например, инвариантности законов природы относительно смещений в пространстве и времени, то вряд ли наука вообще смогла бы устанавливать эти законы.

Читателям, интересующимся общенаучным и философским значением симметрии, можно порекомендовать уже упоминавшуюся книгу Г. Вейля , а также ряд статей и лекций Ю. Вигнера, собранных в его книге "Этюды о симметрии" . На широкий круг читателей рассчитана брошюра А. Компанейца . Для более подготовленных читателей рекомендуем учебную и монографическую литературу.

Целью настоящей статьи является краткое популярное изложение основных понятий теории симметрии и принципов инвариантности в современной физике.

1. Пространственно-временные виды симметрии

Рисунок. Оси симметрии куба

Наиболее наглядным видом симметрии является пространственная (геометрическая) симметрия, которая имеет ряд разновидностей: вращательная, зеркальная, трансляционная и др. Например, шар (или сфера) обладает полной вращательной симметрией, т.е. вращение шара вокруг любой оси, проходящей через его центр, на любой угол  не меняет положения шара в пространстве; конус имеет полную одноосную симметрию; куб - три оси симметрии 4-го порядка (с поворотами на углы, кратные 2 /4), шесть осей симметрии 2-го порядка () и четыре оси симметрии 3-го порядка () (см. рис.). Шар, конус и куб имеют еще плоскости симметрии (первые два - бесконечное число, а куб - девять плоскостей симметрии).

Особым видом симметрии является инверсионная симметрия, при которой каждая точка объекта с радиус-вектором r преобразуется в точку с радиус-вектором -r (при этом радиус-вектор исходит из центра инверсии).

Заметим, что вместо преобразований самого объекта можно производить соответствующие преобразования системы координат: если после преобразования объект в новой системе координат занимает то же положение, что и в старой, то такое преобразование координат есть преобразование симметрии объекта. Такое определение операций симметрии удобнее, когда мы имеем дело с математическими объектами. Если математический объект (функция, оператор, уравнение) остается инвариантным при определенном преобразовании координат, то это преобразование считается преобразованием (операцией) симметрии этого объекта. Например, функции f = f(x2+y2+z2) и (x2+y2) обладают в трехмерном пространстве: первая - сферической, а вторая - аксиальной симметрией.

Совокупность операций симметрии любого объекта образует группу симметрии этого объекта, основное свойство элементов которой состоит в том, что последовательное применение двух операций симметрии g1 и g2 есть опять-таки операция симметрии g3 этого объекта (называемая произведением этих операций g3=g1 x g2). Кроме того, для каждой операции симметрии g в этой же совокупности имеется обратная операция g-1 , переводящая объект в первоначальное положение, т.е. gg-1=E - тождественное преобразование. Выполняется также закон ассоциативности (g1g2)g3=g1(g2g3). Заметим, что в общем случае g1g2g2g1 (напр., если это повороты вокруг разных осей). Если же для всех элементов группы g1g2=g2g1 , то группа называется абелевой. Часть элементов группы, вновь обладающая всеми свойствами группы, называется подгруппой.

Вращательные операции симметрии шара (сферы) образуют группу вращений R, конуса - группу C , куба - группу O.

Все элементы группы симметрии можно разбить на классы сопряженных элементов, отнеся в каждый класс повороты вокруг эквивалентных осей симметрии или отражения в эквивалентных плоскостях симметрии (эквивалентными называются оси или плоскости, которые могут быть переведены друг в друга с помощью каких-либо операций симметрии из этой же группы). Например, группа симметрии куба O имеет 5 классов: E ,6C4, 3C42, 6C2, 8C3 .

Из сказанного ясно, что можно говорить о симметрии физических законов, коль скоро последние выражаются математическими уравнениями. Например, закон всемирного тяготения гласит, что сила взаимного притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Следовательно, сила притяжения не зависит от положения этой пары в пространстве, а только от расстояния между телами. Это означает, что данный закон инвариантен относительно переноса или вращения этой пары тел в целом (или, с математической точки зрения, относительно переноса или вращения системы координат). Это не было бы так, если бы пространство не было однородным и изотропным. Такая переносная (трансляционная) симметрия является еще одной разновидностью пространственной симметрии.

Другой разновидностью симметрии выступает инвариантность физических законов относительно сдвигов во времени. Правда, согласно представлениям современной космологии, в истории развития Вселенной, по-видимому, были периоды радикальных изменений, однако эти изменения объяснимы с позиций более общих законов, остающихся неизменными с течением времени.

Менее очевидной является инвариантность физических законов при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно. Однако эксперименты показывают, что невозможно установить, которая из этих систем отсчета покоится, а которая движется. Этот факт лег в основу специальной теории относительности, согласно которой физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Последние включают специальные преобразования не только координат, но и времени. Эту разновидность симметрии физических законов также можно отнести к разряду геометрических (имея в виду четырехмерную геометрию Минковского).

Выше уже говорилось об инверсионной симметрии. Но обладают ли такой симметрией физические законы? Долгое время считалось, что обладают, пока опыты китаянки Цзяньсюн Ву (США) по изучению -распада ориентированных в магнитном поле ядер кобальта 60Co, проведенные в 1957 г., не показали, что на слабые взаимодействия 1 инверсионная симметрия не распространяется. Однако для большинства физических законов инверсионная симметрия соблюдается.

Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Если какое-либо уравнение инвариантно относительно определенных операций симметрии, то это не означает, что все его решения обладают такой же симметрией (хотя для части решений это возможно). Дело в том, что на формирование решений влияют еще начальные и граничные условия. Например, несмотря на то, что гравитационное поле Солнца можно считать сферически симметричным, планеты движутся вокруг Солнца не по круговым, а по эллиптическим траекториям. Другой пример - кристалл, инвариантный при дискретных трансляциях (кратных постоянным решетки), хотя электрические силы, действующие между его атомами, не меняются при любых смещениях кристалла в целом. Симметрия материальных структур, образуемых за счет фундаментальных взаимодействий, может быть намного ниже, чем симметрия последних. Учитывая это, можно говорить о структурной симметрии материальных объектов. Априорное определение возможных видов симметрии устойчивых материальных структур часто представляет собой трудную проблему.

Симметрия (в физике) Симметрия в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу .

Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.

Непрерывные преобразования

1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование ‒ реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование ‒ параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).

2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.

4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (см. Относительности теория ).

5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом , барионным зарядом , лептонным зарядом , гиперзарядом ), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:

где yj ‒ волновая функция частицы j , ‒ комплексно сопряжённая ей функция, zj ‒ соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (например, элементарного электрического заряда е ), b ‒ произвольный числовой множитель.

Наряду с этим электромагнитные взаимодействия симметричны относительно калибровочных (градиентных) преобразований 2-го рода для потенциалов электромагнитного поля (А , j):

А ® А + grad f, , (2)

где f (x , у , z, t ) ‒ произвольная функция координат (х , у , z ) и времени (t ), с ‒ скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной b, являющейся произвольной функцией координат и времени: , где

‒ Планка постоянная . Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой ‒ он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.

Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также некоторым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины b являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами , преобразующими состояния внутренней С.). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга ‒ Милса теория).

6) Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий. Сильные взаимодействия симметричны относительно поворотов в особом «изотоническом пространстве». Одним из проявлений этой С. является зарядовая независимость ядерных сил , заключающаяся в равенстве сильных взаимодействий нейтронов с нейтронами, протонов с протонами и нейтронов с протонами (если они находятся соответственно в одинаковых состояниях). Изотопическая инвариантность является приближённой С., нарушаемой электромагнитными взаимодействиями. Она представляет собой часть более широкой приближённой С. сильных взаимодействий ‒ SU (3)-C . (см. Сильные взаимодействия ).

Дискретные преобразования

Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот ‒ тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие.

1) Пространственная инверсия (Р ). Относительно этого преобразования симметричны процессы, вызванные сильным и электромагнитным взаимодействиями. Указанные процессы одинаково описываются в двух различных декартовых системах координат, получаемых одна из другой изменением направлений осей координат на противоположные (т. н. переход от «правой» к «левой» системе координат). Это преобразование может быть получено также зеркальным отражением относительно трёх взаимно перпендикулярных плоскостей; поэтому С. по отношению к пространственной инверсии называемой обычно зеркальной С. Наличие зеркальной С. означает, что если в природе осуществляется какой-либо процесс, обусловленный сильным или электромагнитным взаимодействием, то может осуществиться и другой процесс, протекающий с той же вероятностью и являющийся как бы «зеркальным изображением» первого. При этом физические величины, характеризующие оба процесса, будут связаны определённым образом. Например, скорости частиц и напряжённости электрического поля изменят направления на противоположные, а направления напряжённости магнитного поля и момента количества движения не изменятся.

Нарушением такой С. представляются явления (например, правое или левое вращение плоскости поляризации света), происходящие в веществах-изомерах (оптическая изомерия ). В действительности, однако, зеркальная С. в таких явлениях не нарушена: она проявляется в том, что для любого, например левовращающего, вещества существует аналогичное по химическому составу вещество, молекулы которого являются «зеркальным изображением» молекул первого и которое будет правовращающим.

Нарушение зеркальной С. наблюдается в процессах, вызванных слабым взаимодействием .

2) Преобразование замены всех частиц на античастицы (зарядовое сопряжение , С). С. относительно этого преобразования также имеет место для процессов, происходящих в результате сильного и электромагнитного взаимодействий, и нарушается в процессах слабого взаимодействия. При преобразовании зарядового сопряжения меняются на противоположные значения заряды частиц, напряжённости электрического и магнитного полей.

3) Последовательное проведение (произведение) преобразований инверсии и зарядового сопряжения (комбинированная инверсия , СР ). Поскольку сильные и электромагнитные взаимодействия симметричны относительно каждого из этих преобразований, они симметричны и относительно комбинированной инверсии. Однако относительно этого преобразования оказываются симметричными и слабые взаимодействия, которые не обладают С. по отношению к преобразованию инверсии и зарядовому сопряжению в отдельности. С. процессов слабого взаимодействия относительно комбинированной инверсии может быть указанием на то, что отсутствие зеркальной С. в них связано со структурой элементарных частиц и что античастицы по своей структуре являются как бы «зеркальным изображением» соответствующих частиц. В этом смысле процессы слабого взаимодействия, происходящие с какими-либо частицами, и соответствующие процессы с их античастицами связаны между собой так же, как явления в оптических изомерах.

Открытие распадов долгоживущих K0 L -мезонов на 2 p-мезона и наличие зарядовой асимметрии в распадах K0 L ® p+ + e- + ne (p+ + m- + nm ) и K0 L ® p- + е+ + nе (p- + m+ + nm ) (см. К-мезоны ) указывают на существование сил, несимметричных относительно комбинированной инверсии. Пока не установлено, являются ли эти силы малыми добавками к известным фундаментальным взаимодействиям (сильному, электромагнитному, слабому) или же имеют особую природу. Нельзя также исключить возможность того, что нарушение СР-С. связано с особыми геометрическими свойствами пространства-времени на малых интервалах.

4) Преобразование изменения знака времени (обращение времени , Т ). По отношению к этому преобразованию симметричны все элементарные процессы, протекающие в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий (за исключением распадов K0 L -meзонов).

5) Произведение трёх преобразований: зарядового сопряжения С, инверсии Р и обращения времени Т (СРТ -симметрия; см. СРТ-теорема ). СРТ- С. вытекает из общих принципов квантовой теории поля. Она связана главным образом с С. относительно Лоренца преобразований и локальностью взаимодействия (т. е. с взаимодействием полей в одной точке). Эта С. должна была бы выполняться, даже если бы взаимодействия были несимметричны относительно каждого из преобразований С , Р и Т в отдельности. Следствием СРТ -инвариантности является т. н. перекрёстная (кроссинг) С. в описании процессов, происходящих с частицами и античастицами. Так, например, три реакции ‒ упругое рассеяние какой-либо частицы a на частице b: a + b ® a + b, упругое рассеяние античастицы

на частице b: + b ®

B и аннигиляция частицы а и её античастицы

в пару частиц b, : а +

описываются единой аналитической функцией (зависящей от квадрата полной энергии системы и квадрата переданного импульса), которая в различных областях изменения этих переменных даёт амплитуду каждого из указанных процессов.

6) Преобразование перестановки одинаковых частиц. Волновая функция системы, содержащей одинаковые частицы, симметрична относительно перестановки любой пары одинаковых частиц (т. е. их координат и спинов ) с целым, в частности нулевым, спином и антисимметрична относительно такой перестановки для частиц с полуцелым спином (см. Квантовая механика ).

Симметрия и законы сохранения

Согласно Нётер теореме , каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода ‒ законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопической инвариантности ‒ сохранение изотопического спина в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив суперпозиции принцип , из существования дискретных С. следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности , сохранение которой вытекает из С. относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть y1 ‒ волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а y2 ‒ волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически: y2 = Р y1 , где Р ‒ оператор пространств. инверсии). Тогда , если существует С. относительно пространственной инверсии, y2 является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции y1 и y2 : симметричная комбинация ys = y1 + y2 и антисимметричная yа = y1 ‒ y2 . При преобразованиях инверсии состояние y2 не меняется (т. к. P ys = P y1 + P y2 = y2 + y1 = ys ), а состояние ya меняет знак (P ya = P y1 ‒ P y2 = y2 ‒ y1 = ‒ ya ). В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна (+1), во втором ‒ отрицательна (‒1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены).

Аналогично, из С. относительно зарядового сопряжения и комбинированной инверсии следует существование зарядовой чётности (С -чётности) и комбинированной чётности (СР -чётности). Эти величины, однако, могут служить характеристикой только для абсолютно нейтральных (обладающих нулевыми значениями всех зарядов) частиц или систем. Действительно, система с отличным от нуля зарядом при зарядовом сопряжении переходит в систему с противоположным знаком заряда, и поэтому невозможно составить суперпозицию этих двух состояний, не нарушая закона сохранения заряда. Вместе с тем для характеристики системы сильно взаимодействующих частиц (адронов) с нулевыми барионным зарядом и странностью (или гиперзарядом), но отличным от нуля электрическим зарядом, можно ввести т. н. G -чётность. Эта характеристика возникает из изотопической инвариантности сильных взаимодействий (которую можно трактовать как С. относительно преобразования поворота в «изотопическом пространстве») и зарядового сопряжения. Примером такой системы может служить пи-мезон . См. также ст. Сохранения законы .

Симметрия квантово-механических систем и стационарные состояния. В ырождение

Сохранение величин, отвечающих различным С. квантово-механические системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени (см. Квантовая механика , Перестановочные соотношения ). Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполне определённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Т. о., стационарные состояния (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими С. рассматриваемой системы.

Наличие С. приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханической системы, которые получаются друг из друга преобразованием С., обладают одинаковыми значениями физических величин, не меняющихся при этих преобразованиях. Т. о., С. системы, как правило, ведёт к вырождению . Например, определённому значению энергии системы может отвечать несколько различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В математическом отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы (см. Группа ). Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (например, относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнительное вырождение, связанное с т. н. скрытой С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, например, для кулоновского взаимодействия и для изотропного осциллятора .

Если система, обладающая какой-либо С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, которые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают различные энергетические смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает некоторой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, «включающего» возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, например, в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрическими зарядами (т. н. изотопических мультиплетов) позволило установить изотопическую инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU (3)-C . сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту С. (см. Сильные взаимодействия ). Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой С.

Весьма плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, которое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамической С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамической С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамической группы С. объединяются в этом случае все состояния квантово-механической системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

Лит.: Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

С. С. Герштейн.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Симметрия (в физике)" в других словарях:

- (от греч. symmetria соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях… … Физическая энциклопедия

Симметрия (от греч. symmetria ‒ соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при… … Большая советская энциклопедия

Фундаментальные физические законы - это наиболее полное на сегодняшний день, но приближенное отражение объективных процессов в природе. Различные формы движения материи описываются различными фундаментальными теориями. Каждая из этих теорий описывает вполне определенные явления: механическое или тепловое движение, электромагнитные явления.

Существуют более общие законы в структуре фундаментальных физических теорий, охватывающие все формы движения материи и все процессы. Это законы симметрии, или инвариантности, и связанные с ними законы сохранения физических величин.

Законы сохранения физических величин - это утверждения, согласно которым численные значения этих величин не меняются со временем в любых процессах или классах процессов. Идея сохранения появилась сначала как чисто философская догадка о наличии неизменного, стабильного в вечно меняющемся мире. Еще античные философы-материалисты пришли к понятию материи как неуничтожимой и несотворимой основы всего сущего. С другой стороны, приводило к представлению о вечном движении материи как важном ее свойстве. С появлением материалистической формулировки механики на этой основе появились законы сохранения.

Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются: - Закон сохранения энергии; - Закон сохранения импульса.

Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому, совершенно особой притягательной силой. Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, наконец на цветы, которые почти симметричны. Однако сейчас мне хотелось бы поговорить не о симметрии предметов, а о симметрии самих законов физики. Что такое симметрия предмета - понять легко, но может ли быть симметричным физический закон? Нет, конечно, но физики получают особое удовольствие от того, что берут самые обыденные слова и используют их для обозначения совсем других понятий. В нашем случае некоторые свойства физических законов казались им очень похожими на те свойства предметов, которые определяют их симметрию, и физики стали говорить о симметрии физических законов. Вот о ней-то и пойдет здесь речь.

Что такое симметрия? Посмотрите на меня, и вы убедитесь, что моя левая половина симметрична правой, по крайней мере внешне. Точно так же или несколько иначе симметрична ваза. Что все это значит? Симметричность моего тела означает, что если перенести все, что у меня есть, справа налево и наоборот, т. е. если поменять эти две стороны местами, то я буду выглядеть точно так же, как и раньше. Особого вида симметрией обладает квадрат - его можно повернуть на 90°, и он снова будет выглядеть так же, как и прежде.

Простейшим примером симметрии такого рода - и вы сразу поймете, что это совсем не симметрия правого и левого, - может служить симметрия относительно пространственного переноса. Вот что мы имеем в виду. Если построить любую установку и при ее помощи поставить какой-нибудь опыт, а затем взять и построить точно такую же установку для точно такого же эксперимента с точно таким же объектом, но в другом месте, не здесь, а там, т. е. просто перенести наш опыт в другую точку пространства, то окажется, что во время обоих опытов происходит в точности одно и то же. Конечно, это утверждение не нужно понимать слишком упрощенно. Если бы я на самом деле построил здесь, где я сейчас сижу, какую-нибудь установку, а затем попытался перенести ее на 6 м влево, то она вошла бы в стену, со всеми вытекающими отсюда последствиями. Поэтому, говоря о симметрии относительно пространственных переносов, необходимо учитывать все, что играет в эксперименте существенную роль, и переносить все это вместе с установкой. Возьмем, например, какую-нибудь систему с маятником и попробуем перенести ее на 20 тысяч миль вправо. Ясно, что система не будет работать правильно, так как колебания маятника зависят от притяжения Земли. Но если представить себе, что вместе с установкой я переношу и нашу планету, то система будет работать по-прежнему. В том-то и дело - нужно переносить сразу все, что имеет хоть малейшее значение. Это правило звучит довольно нелепо. В самом деле, можно просто перенести экспериментальную установку, а если она не заработает, сказать, что мы перенесли еще не все, - и вы оказываетесь правы и в том и в другом случае. Но на самом деле это не так, ибо вовсе не очевидно, что мы обязательно будем правы. Интереснейшее свойство природы как раз и заключается в том, что всегда удается перенести достаточно материала, чтобы установка вела себя, как и раньше. А это уже не пустые слова. Мне хотелось бы на примере показать, что это утверждение правильно. Возьмем в качестве иллюстрации закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила взаимного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Напомню, что тела реагируют на силу изменением скорости в направлении силы. Возьмем теперь два тела, скажем, планету, вращающуюся вокруг Солнца, и перенесем эту пару в другую часть Вселенной. Расстояние между ними, естественно, не изменится и, следовательно, не изменяется и действующие между ними силы. Более того, в новой ситуации сохранится и скорость движения и все пропорции происходящих изменений, и в одной системе все будет происходить точно так же, как и в другой. Уже то, что в законе всемирного тяготения используется "расстояние между двумя телами", а не какое-то расстояние до центра Вселенной, показывает, что этот закон допускает переносы в пространстве. Вот в этом и заключается одна из симметрий физических законов - симметрия относительно пространственных переносов. Другое свойство симметрии связано с тем, что для физических законов не существенны и сдвиги во времени. Запустим планету вокруг Солнца в определенном направлении. И предположим, что мы могли бы запустить ее же снова на 2 часа или на 2 года позже, запустить снова с самого начала точно таким же образом при точно таком же исходном расположении планет и Солнца, как и при первом запуске. Тогда все будет происходить точно так же, как и в первом случае, поскольку вновь закон всемирного тяготения говорит о скорости и нигде не пользуется понятием абсолютного времени, в определенный момент которого необходимо начать измерения. По совести говоря, именно в этом конкретном примере мы не очень уверены в справедливости наших утверждений. Когда мы говорили о законах гравитации, мы упомянули о возможности изменения гравитационных сил во времени. А это означало бы, что наше предположение о допустимости сдвигов во времени неверно. Ведь если гравитационная постоянная через миллиард лет окажется меньше, чем сейчас, то неверно утверждать, что через миллиард лет движение наших экспериментальных планет и Солнца будет точно таким же, как и сегодня Известно, что в одном отношении это на самом деле не так. Это верно лишь в том, что касается законов физики. Но факты (а они могут сильно расходиться с известными нам законами) свидетельствуют, по-видимому, о том, что Вселенная имеет определенное начало во времени и что сейчас эта Вселенная постоянно расширяется. Могут сказать, что здесь мы тоже должны воспроизводить "географические" условия, как и при пространственных переносах, когда мы вынуждены были переносить не только установку, но и все остальное. В том же самом смысле можно утверждать, что для переноса во времени справедливо аналогичное правило и что нам нужно смещать во времени процессы расширения Вселенной вместе со всем остальным. Тогда мы должны были бы проводить наш второй эксперимент, сдвигая во времени момент рождения нашей Вселенной. Но не нам создавать вселенные. На этот процесс мы не можем оказать никакого влияния, и мы не можем даже получить экспериментальным путем хоть какое-нибудь представление о нем. Поэтому настолько, насколько это касается точных наук, мы ничего не можем сказать по этому поводу. Просто-напросто дело в том, что условия существования Вселенной, по-видимому, меняются во времени и галактики непрерывно удаляются друг от друга, так что если бы в каком-нибудь научно-фантастическом романе вы проснулись где-то в неизвестном будущем, то, измерив средние расстояния между галактиками, вы смогли бы узнать, о каком времени идет речь. Это значит, что с течением времени Вселенная не будет выглядеть так же, как она выглядит сейчас.

Однако сегодня принято проводить грань между физическими законами, которые говорят о том, каким будет движение, если оно началось при определенных условиях, и утверждениями о том, как была создана наша Вселенная, поскольку о последнем мы знаем совсем мало. Обычно считают, что астрономическая история, или космогоническая теория, - это не совсем то же, что законы физики. Правда, если вы спросите меня, в чем тут разница, то я окажусь в затруднительном положении. Самая характерная черта физического закона - это его общность, но если на белом свете существует что-нибудь действительно общее, то это факт разбегания всех небесных тел. Поэтому я не знаю точно, в чем тут разница. Если же условиться не обращать внимания на процессы, связанные с возникновением Вселенной, а брать лишь настоящие физические законы, известные нам, то сдвиг во времени не будет играть никакой роли.

Приведем еще несколько примеров законов симметрии. Один из них связан с фиксированными пространственными поворотами. Если проводить какой-либо опыт с установкой, построенной в каком-нибудь определенном месте, а затем взять другую точно такую же установку (возможно, перенесенную в другую точку пространства, где посвободнее) и повернуть ее так, чтобы все ее оси имели другую ориентацию, то установка будет работать точно таким же образом, как и раньше. Конечно, при этом нам снова нужно повернуть и все остальное, существенное для эксперимента. Если речь идет о дедовских часах и вы положите их на бок, маятник просто уткнется в стенку футляра и часы остановятся. Но если вместе с часами повернуть и Землю (которая и так все время поворачивается), часы будут идти по-прежнему. Математическое описание этой возможности поворота представляется довольно интересным. Для того чтобы описать, как протекает какой-либо процесс, мы пользуемся числами, показывающими, о каком месте идет речь. Эти числа называют координатами точки, и иногда нам приходится брать три числа, показывающих, как высоко над некоторой плоскостью расположена наша точка, как далеко она впереди или сзади (если число отрицательное) от нас и насколько она смещена от нас вправо или влево. Те, кто был в Нью-Йорке, знают, что устроенная таким образом нумерация улиц очень удобна, или, точнее, была удобна до тех пор, пока не изменили название Шестой авеню.

а - положение точки Р относительно меня характеризуется двумя числами х и у, число х показывает, насколько далеко вперед ушла от меня точка Р, а число у - насколько она смещена влево,

б - положение той же самой точки Р характеризуется двумя другими числами, если я стою на прежнем месте, но повернулся в сторону.

Поворот в пространстве с математической точки зрения выглядит следующим образом. Если я указываю положение некоторой точки (рис. 26), сообщая ее координаты х и у, а кто-то другой, повернувшись лицом в сторону, задает положение точки координатами х" и у", определенными относительно его собственного положения, то, как легко видеть, моя координата х представляет собой "смесь" обеих координат, вычисленных другим наблюдателем. Формула преобразования такова, что каждая координата х и у превращается в смесь двух координат х" и у". Так вот, законы природы должны быть такими, что если смешать координаты подобным образом и подставить полученные выражения в уравнения, эти уравнения должны сохранять свой вид. Именно в этом состоит математическое проявление указанной симметрии. Добавление времени в качестве новой координаты к трем пространственным координатам - это не просто искусственный прием, как объясняется в большинстве научно-популярных книг, где говорится: "Мы добавляем временную координату к пространственным, потому что нельзя ограничиться указанием местоположения точки, нужно сказать еще и когда". Все это верно, но это не привело бы еще к образованию настоящего четырехмерного мира. Это означало бы лишь положить рядом две разные вещи. Настоящее пространство в известном смысле характеризуется тем, что оно существует само по себе, независимо от какой-то частной выбранной точки зрения, и когда мы смотрим под разными углами, часть того, что "спереди" или "сзади", может смешаться с тем, что "справа" или "слева". Точно так же и то, что "было" или "будет" во времени, может частично смешиваться с тем, что "там" или "здесь" в пространстве. Пространство и время оказываются неразрывно связанными между собой. После этого открытия Минковский заметил, что "отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность". Этим конкретным примером я занимаюсь так подробно потому, что, по сути дела, именно отсюда и начинается настоящее изучение симметрий физических законов. Именно Пуанкаре предложил исследовать, что можно делать с уравнениями, не меняя при этом их вида. Именно ему принадлежит идея обратить внимание на свойства симметрии физических законов. В симметрии относительно пространственных переносов, сдвигов во времени и т. п. не было особой глубины. Симметрия же относительно равномерного прямолинейного движения очень интересна, и из нее вытекают самые разнообразные следствия. Более того, эти следствия можно распространять на законы, которых мы не знаем. Например, предполагая, что этот принцип справедлив и для распада?-мезонов, мы можем утверждать, что при их помощи нельзя узнать, как быстро движется космический корабль. А это значит, что мы знаем хоть что-то о законах?-мезонного распада, хотя у нас нет никаких сведений о том, чем же, собственно, вызывается этот распад. У физических законов есть немало и других свойств симметрии, и некоторые из них совсем другого рода. Я упомяну только несколько. Одно из подобных свойств состоит в том, что один атом можно заменить другим того же типа и это никак не скажется на любом явлении. Позволительно спросить: "А что значит одного типа?" И мне остается только ответить, что однотипные атомы позволяют заменять один другим без каких-либо последствий! Не правда ли, создается впечатление, что физики все время занимаются какой-то бессмыслицей. Атомы бывают разных типов, и если вы замените один атом атомом другого типа, то что-то изменится, а если того же типа, то ничего не изменится - и мы никогда не выйдем из заколдованного круга. Но настоящий смысл нашего утверждения состоит в том, что атомы одного типа существуют, что можно найти такие группы или классы атомов, в которых замена одного атома другим не будет иметь никакого значения. А так как количество атомов в таком крошечном кусочке вещества, как моль данного вещества, оценивается числом с 23 нулями, нам очень важно, что некоторые из них одинаковы, что не все они совершенно различны. На самом деле очень важно, что мы можем разделить их на конечное число (несколько сотен) различных типов, а раз это так, то наше утверждение о том, что один атом можно заменить без каких-либо последствий другим, однотипным, несет совсем немало информации. Наиболее важно это для квантовой механики. К сожалению, я не могу объяснить этого здесь, отчасти (и только отчасти) потому, что лекция предназначена аудитории без математической подготовки. Но и для подготовленного читателя это хитрый вопрос. В квантовой механике утверждение, что один атом можно заменить другим, однотипным, приводит к удивительным следствиям. Оно объясняет странное явление, наблюдаемое в жидком гелии, который течет по трубам, не испытывая какого-либо сопротивления, просто течет себе и течет и так никогда и не останавливается. Оно даже лежит в основе всей периодической системы элементов и объясняет, откуда берутся те силы, что не дают мне провалиться сквозь пол. Здесь я не могу говорить обо всем этом подробно, но мне хочется подчеркнуть важность исследования этих принципов.

Теперь вам может показаться, что все законы физики симметричны относительно любых изменений. Чтобы вы так не думали, я приведу несколько примеров. Первый из них - изменение масштаба. Мне кажется, Галилей считал, что открытие этого факта несимметричности законов природы относительно изменения масштаба не менее важно, чем открытые им законы движения, и именно поэтому он включил и то и другое в свою книгу "Диалог о двух новых науках". Вот еще один пример асимметрии закона физики. Если вы вращаетесь с постоянной угловой скоростью в космическом корабле, то неправильно было бы утверждать, что вы этого не заметите. Напротив. У вас начнется головокружение. Появятся и другие признаки: все предметы будут отброшены к стенам центробежной силой (называйте ее, как хотите - я надеюсь, что в этой аудитории нет преподавателей физики для первокурсников, которые захотели бы поправить меня). Определить, что Земля вращается, можно при помощи маятника или гироскопа, и вы, возможно, слышали, что в различных обсерваториях и музеях имеются маятники Фуко (1819-1868Точно так же в настоящее время у нас нет теории, которая описывала бы влияние галактик на земные явления так, чтобы из нее (естественным образом, а не в результате обмана или натяжек) следовало, что инерция вращения, эффекты вращения, скажем, вогнутая форма поверхности воды во вращающемся ведерке - все это объяснялось действием сил, создаваемых предметами, находящимися в непосредственной близости. Пока не известно, справедливо это или нет. Что так должно быть, говорится в принципе Маха, но справедливость этого принципа еще не была доказана. Экспериментально проще ответить на такие вопросы. Если мы вращаемся с постоянной скоростью относительно туманностей, наблюдаем ли мы при этом какие-либо специфические явления? Да. А если мы движемся в космическом корабле по прямой с постоянной скоростью относительно туманностей, увидим ли мы в этом случае какие-либо специфические явления? Нет. Это совершенно разные вещи. Нельзя утверждать, что всякое движение относительно. Не в этом содержание принципа относительности. Он утверждает лишь, что нельзя обнаружить изнутри равномерного и прямолинейного (относительно туманностей) движения. Еще один закон симметрии, о котором я хочу поговорить теперь, интересен и сам по себе, и своей историей. Он связан с вопросом о зеркальном пространственном отражении. Пусть я построил какую-то установку, скажем часы, а затем вблизи построил другие часы, являющиеся зеркальным отображением первых. Они подходят друг к другу, как две перчатки, правая и левая; каждая пружина, которая заводится в одних часах в одну сторону, в других часах заводится в другую и т. д. Я завожу и те и другие часы, ставлю на них одинаковое время, и пусть они себе идут. Вопрос - будут ли они показывать всегда одно и то же время или нет? Будет ли весь механизм одних часов, как в зеркале, повторять поведение другого? Не знаю, какой ответ на эти вопросы покажется вам правильным. Вероятнее всего, положительный, так думает большинство. Конечно, мы не имеем сейчас в виду географию. Пользуясь географией, мы можем разобраться, где право и где лево, Мы можем сказать, например, что если мы находимся во Флориде и повернемся лицом к Нью-Йорку, то океан окажется у нас справа. Это позволяет различать право и лево, и если в наших часах используется морская вода, то зеркальное отображение часов не будет ходить, так как соответствующая часть механизма не попадет в воду. Тогда вам пришлось бы предположить, что для вторых часов изменилась и география Земли: вы помните, зеркально отобразиться должно все существенное. Нас не интересует сейчас и история. Если вы раздобудете на заводе винт, то, вероятнее всего, у него будет правая резьба, и вы можете утверждать, что вторые часы не будут вести себя точно так же, поскольку для них будет труднее достать нужные винтики. Но это относится лишь к характеру вещей, которые обычно выпускает наша промышленность. Так или иначе, вероятнее всего, что наше первое предположение будет таким: зеркальное отображение ничего не меняет. В самом деле, законы тяготения, оказывается, таковы, что в часах, действие которых основано на этих законах, ничего не изменится. Подобным же свойством обладают и законы электричества и магнетизма, так что, если в наших часах есть к тому же и электрическая или магнитная начинка, какие-то там провода, токи и т. п., вторые часы будут по-прежнему работать в полном согласии с первыми. Ничего не изменится также, если в наших часах используются обычные ядерные реакции. Но есть явления, для которых эта разница существует, и я сейчас перейду к этому вопросу.

Возможно, вы слышали, что измерять концентрацию сахара в воде можно, пропуская через воду поляризованный свет. Так вот, возьмем кусок поляроида, пропускающего лишь свет с определенной поляризацией, и пропустим луч света через него и через сахарный раствор. Мы увидим, что если после прохождения через сахарный раствор луч пройдет еще через один кусок поляроида, то чем толще пройденный слой раствора, тем больше вправо нужно будет повернуть второй кусок поляроида, чтобы на выходе увидеть луч света. Теперь, если вы попробуете пропускать свет через тот же раствор, но в обратном направлении, то окажется, что вам снова придется поворачивать выходной кусок поляроида вправо. Вот мы и получили разницу между правым и левым. Сахарный раствор и пучок света можно использовать в часах. Пусть у нас есть сосуд с сахарной водой и мы пропускаем через него луч света, а второй кусок поляроида повернули так, что он пропускает весь свет. Предположим затем, что мы воспроизведем зеркальное отображение всей этой конструкции во вторых часах, надеясь, что плоскость поляризации света повернется влево. Ничего не выйдет. Свет, как и в первых часах, будет поворачиваться вправо, и второй кусок поляроида его не пропустит. Значит, при помощи сахарного раствора мы сможем обнаружить разницу между нашими двумя часами.

Это замечательный факт, и с первого взгляда кажется, что физические законы не обладают симметрией относительно зеркальных отображений. Но сахар, которым мы пользовались во время наших опытов, вероятнее всего. изготовлен из сахарной свеклы. Молекулы же сахара сравнительно просты, и их можно воспроизвести в лаборатории из углекислого газа и воды после большого числа промежуточных преобразований. Так вот, если вы поставите аналогичный опыт с искусственным сахаром, который химически ничем не отличается от обычного, то окажется, что поляризация света при этом вообще не меняется. Сахаром питаются бактерии, и если внести бактерии в водный раствор искусственного сахара, то окажется, что они съедают лишь половину сахара, и после того, как они съедят ее, плоскость поляризации света, пропускаемого через оставшуюся сахарную воду, станет поворачиваться влево.

Симметрия законов в физике - это свойство физических величин, детально описывающих поведение систем, оставаться неизменными (инвариантными) при определенных преобразованиях, которым могут быть подвергнуты входящие в них величины. Понятие симметрии играет в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы природы.

Список использованной литературы

физический материя симметрия

• 1. Казакова А.А. «Концепции современного естествознания
• 2. Карненков С.Х. «Основные концепции естествознания». - М.: Культура и спорт, ЮНИТИ, 1998.
• 3. Мигдал А.Б., Асламазов Л.Г. «Энциклопедический словарь юного физика». М.: Педагогика, 1984.
• 4. Урманцев Ю.А. «Симметрия природы и природа симметрии». - Москва: Мысль, 1974.
• 5. Симметрия в физике. [Внутренняя и внешняя симметрия] Режим доступа: http://www.physicedu.ru/phy-57.html.

Принципы симметрии в физике

В основе естествознания лежит несколько исключительно плодотворных идей. Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался создать порядок, красоту. Термин «симметрия» по-гречески означает соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Главенствующую роль принципов симметрии предопределяет, в конечном счете, фактическое присутствие симметрии во всем, что нас окружает.

Применяя принципы симметрии при разработке научных классификаций в структурных исследованиях, можно делать научные предсказания. Например, О.П. Мороз полагает, что когда мы пытаемся разрешить загадку о том, что толкнуло Максвелла на решающий шаг и подсказало ему идею тока смещения, обстоятельства дела наводят нас на вполне вероятный ответ: симметрия. Симметрия между электричеством и магнетизмом.

Рассмотрим проблему классификации элементарных частиц. Их принято распределять по трем семействам: первое – это фотон; второе составляют шесть лептонов: электрон, электронное нейтрино, мюон, мюонное нейтрино, таон, таонное нейтрино; третье семейство состоит из нескольких сотен адронов (мезонов и барионов). Каждой частице, за исключением фотона, нейтрального пиона и эта-мезона, соответствует античастица.

До недавних пор физиков немало смущало резкое несоответствие между обилием адронов и очень небольшим числом лептонов. В 1964 г. Гелл-Манн и Цвейг предположили, что все адроны состоят из кварков и число типов кварков должно равняться числу типов лептонов. В настоящее время известны шесть лептонов и шесть типов кварков. Симметрия между кварками и лептонами выглядит сегодня очень многозначительно. Она наводит на мысль, что при всей разительной непохожести частиц в их природе есть что-то общее. По-видимому, именно на создание единой теории кварков и лептонов будут направлены усилия физиков в будущем.

По Г. Вейлю, симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Этим объектом может быть не только тело, но также и физический
закон. Симметрия физических законов заключается в их неизменнос-ти (или инвариантности) по отношению к тем или иным преобразованиям.

Каковы симметрии (инвариантности) физических законов? Например, инвариантны ли физические законы относительно преобразований подобия (или изменения пространственного масштаба)? Сегодня мы знаем ответ: нет. Действительно, при описании движения микрочастиц законы классической механики применять нельзя, нужно использовать законы квантовой механики.

Что если изменить систему отсчета? Все физические законы инвариантны по отношению к переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую (принцип относительности Эйнштейна).

Можно ли поменять местами частицы? Законы квантовой механики инварианты по отношению к перестановке двух любых частиц одного типа.

Принципы симметрии устанавливаются экспериментально при анализе известных законов. В свою очередь известные принципы симметрии позволяют открывать новые законы, выявляют структуру физических теорий и взаимосвязь присущих им законов, позволяют разрешать проблемные ситуации в развитии научного знания.

О симметрии пространства (однородности и изотропности) и симметриях времени (однородности и обратимости) знали еще ученые древнего мира: свойства любого объекта (например, треугольника), а следовательно, и законы не зависят ни от положения объекта на данной оси, ни от положения этой оси, ни от момента времени, когда эти свойства рассматриваются. В механике и электродинамике обратимость законов видна из уравнений (уравнения не изменяются при замене t на –t ).

Обнаружено, что каждая симметрия обеспечивает свой закон сохранения: закон сохранения количества движения обусловлен однородностью пространства, закон сохранения момента импульса – изотропностью пространства, закон сохранения энергии – однородностью времени. И наоборот, когда какая-либо величина остается неизменной, это значит, что существует симметрия, обеспечивающая сохранение этой величины. Например, известны законы сохранения электронного, мюонного и барионного зарядов, а также закон сохранения странности. Можно ожидать, что эти законы сохранения – тоже следствие определенных симметрий, о которых мы не знаем.

Теория элементарных частиц предполагает, что максимальная симметрия царствует на сверхмалых расстояниях, а на больших возникает спонтанное нарушение, которое может сильно замаскировать симметрию.

Принципы симметрии значительно более устойчивы, чем законы. Поэтому открытие нарушений известных симметрий приводит к значительным проблемным ситуациям. Разрешение их позволяет сделать выдающиеся открытия.

Так, например, Галилей весьма отрицательно отнесся к кепплеровским законам, согласно которым круговая симметрия планетных движений, предложенная Коперником, заменялась менее очевидной – эллиптической. Преодолением этой проблемной ситуации явилась работа Ньютона, в полной мере объяснившая «кепплеровские симметрии».

Когда было обнаружено, что уравнения Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея, возникла проблемная ситуация. Радикальное решение проблемы найдено Эйнштейном, который обосновал преобразования Лоренца в рамках специальной теории относительности.

Однако в истории известны ситуации, когда принцип симметрии, будучи возведенным в ранг универсальной и абсолютно достоверной истины, становился преградой в развитии физики. Например, в ранг незыблемой истины было возведено представление Аристотеля о выделенной вертикали к земной поверхности. Потребовались героические усилия Николая Кузанского, Джордано Бруно, Коперника, Галилея, Декарта и других ученых, чтобы проложить дорогу к утверждению принципа симметрии – «пространство изотропно».

Приложение 2

Симметрия в физике

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о

котором, как отмечал академик (1863-1945), «слагалось в

течение десятков, сотен, тысяч поколений". «Изучение археологических

памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело

представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта.

Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве

определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и

уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм".

Это слова другого нашего замечательного соотечественника, посвятившего

изучению симметрии всю свою долгую жизнь, академика

(1887-1970). - Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о

гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с

греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный

характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е.

неизменности) относительно некоторых преобразований. Таким образом,

геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если

с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными.

Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360°: 5), займет

первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу

комнаты. Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической

симметрии - поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию -

однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства.

Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и

будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно,

не изменяются окружающие физические условия. Легко вообразить, какая бы

царила на Земле неразбериха, если бы эта симметрия была нарушена!

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но

и сами многообразные физические и биологические законы гравитации,

электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности

пронизаны общим для всех них принципом симметрии. «Новым в науке явилось не

выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности»,- писал

Вернадский. Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий - земли,

воды, огня и воздуха - геометрически симметричными в виде правильных

многогранников. И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной,

принцип симметрии и через два тысячелетия остается основополагающим

принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от

осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических

Наука кристаллография

В отличие от искусства или техники, красота в природе не создаётся, а

лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и

неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид

неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образов относятся

некоторые кристаллы.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях

неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование

симметрии вносят кристаллы.

Каждая снежинка - это маленький кристалл

замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они

обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того,

зеркальной симметрией.

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющие естественную форму

многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в

постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов

кристаллов одного и того же вещества.

Винтовая симметрия. В пространстве существуют тела, обладающие винтовой

симметрией, т. е. совмещаемые со своим первоначальным положением после

поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же

оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, то

поворотная ось оказывается также осью переноса.

К середине XVII века в изучении внешней формы кристаллов кончился период

накопления экспериментальных данных. Была изучена форма многих конкретных

минералов и формулирован закон постоянства углов между гранями. Этот закон

имел очень важное значение для распространения на кристаллы идеи симметрии.

Действительно в мире существует огромное количество кристаллов каждого вида

минералов. Внешний вид их различен: у одних кристаллов грани хорошо

развиты, у других некоторые грани отсутствуют вовсе, у третьих одни грани

развиты, другие – нет. Как же тогда узнать одинаковы эти кристаллы по своей

природе или нет? Вот тут-то и помогает закон постоянства гранных углов.

Необходимо измерить углы между всеми гранями кристаллов, как между хорошо

развитыми, так и между не очень развитыми, и если они окажутся одинаковыми,

то эти кристаллы принадлежат одному минералу.

Углы между гранями кристаллов минерала как бы его паспорт, некие

константы. Пользуясь ими, можно построить идеальный кристалл данного

минерала, у которого все грани на месте и одинаково хорошо развиты. Это

тоже некий эталон данного минерала, а реальные кристаллы будут в той или

иной степени приближаться к нему. Форма кристалла-эталона – это форма

некоего геометрического тела, многогранника, и её уже можно изучать, не

боясь, что каких-то граней будет недоставать, а какие-то грани окажутся

лишними. Здесь форма кристалла выступает как бы в идеализированном виде,

она очищена от всего случайного и привходящего.

Всё это сделало возможным приступить к первым серьёзным обобщениям, что

привело к возникновению самостоятельной науки – кристаллографии, изучающей

образование, свойства и внешнюю форму кристаллов. Создание кристаллографии

связано с именем француза Жана-Батиста Ромэ-Делиля ().

Прежде всего Ромэ-Делиль подчёркивал правильную геометрическую форму

кристаллов исходя из закона постоянства углов между их гранями. Он писал:

«К разряду кристаллов стали относить все тела минерального царства, для

которых находили фигуру геометрического многогранника…» Правильная форма

кристаллов возникает по двум причинам. Во-первых, кристаллы состоят из

элементарных частичек - молекул, которые сами имеют правильную

полиэдрическую форму. Во-вторых, «такие молекулы имеют замечательное

свойство соединяться между собой в симметричном порядке».

Последняя фраза для нас очень важна. Ведь это фактически первое по

времени применение идеи симметрии к кристаллам. Правда, оно касается не

симметрии внешней формы, о которой мы сейчас говорим, а относится к

расположению полиэдрических молекул в кристалле. Но от этого важность

обобщения Ромэ-Делиля отнюдь не уменьшается. Наоборот, описывая

расположение молекул в кристалле как симметричное. Ромэ-Делиль тем самым

молчаливо полагал, что и внешняя форма кристалла - следствие такого

расположения - тоже симметрична. При этом под симметрией внешней формы

кристалла следовало понимать закономерное расположение его одинаковых

граней, ребер и вершин в пространстве.

Изучая законы внешней формы кристаллов, Ромэ-Делиль выделил в качестве

основных пять форм: тетраэдр, куб, октаэдр, ромбоэдр и гексагональную ди-

пирамиду. Он ошибочно полагал, что формы всех остальных кристаллов можно

получить из этих основных форм.

ЭУМ «Строение и свойства твердых тел».

Модель «Примеры строения решеток»

Монокристаллы

Поликристаллы

1. Медный купорос

2. Поваренная соль

Симметрия физических явлений

«Я думаю, что было бы интересно ввести в изучение физических явлений

также и рассмотрение свойств симметрии, столь знакомое кристаллографам».

Так начиналась небольшая статья Пьера Кюри «О симметрии в физических

явлениях: симметрия электрического и магнитного полей», опубликованная в

1894 году во французском «Физическом журнале».

До Кюри физики часто использовали соображения, вытекающие из условий

симметрии. Достаточно сказать, что многие задачи механики, и особенно

статики, решались только исходя из условий симметрии. Но обычно эти условия

достаточно простые и наглядные и не требуют детального рассмотрения.

Впервые физики столкнулись с нетривиальным проявлением симметрии физических

свойств при изучении кристаллов.

Впервые четкое определение симметрии физических явлений дал Кюри в своей

статье. «Характеристическая симметрия некоторого явления, - писал он, -

есть максимальная симметрия, совместимая с существованием явления».

Всеобщий подход к симметрии физических явлений, развитый им, очень точно

разъяснила Мария Кюри в биографическом очерке о своем муже: «П. Кюри

безгранично расширил понятие о симметрии, рассматривая последнюю как

состояние пространства, в котором происходит данное явление. Для

определения этого состояния надо знать не только строение среды, но и

учесть характер движения изучаемого объекта, а также действующие на него

физические факторы. При характеристике симметрии среды важно помнить

следующие идеи Кюри: нужно определить особую симметрию каждого явления и

ввести классификацию, позволяющую ясно видеть основные группы симметрии.

Масса, электрический заряд, температура имеют один и тот же тип симметрии,

называемый скалярным; это есть, иначе говоря, симметрия сферы. Поток воды и

постоянный электрический ток имеют симметрию стрелы типа полярного вектора.

Симметрия прямого кругового цилиндра принадлежит к типу тензора».

Симметрия в механике

Пьер Кюри пришел к симметрии физических явлений от симметрии кристаллов

(геометрических фигур) через симметрию материальных фигур. Это принесло

важные результаты при описании физических свойств кристаллов и обещает

большие успехи в других областях физики.

Но работы Пьера Кюри не оказали влияния на развитие идеи симметрии в

физике. Причины этого странного парадокса, кроме указанных ранее

(кристаллографичность работ Кюри, краткость, если не конспективность их

изложения), состоит еще и в том, что они появились слишком поздно, тогда,

когда физика уже накопила большой опыт несколько иного подхода к симметрии

физических явлений, который связан с развитием механики в XVII-XIX веках.

В то время механика была фактически всей физикой. Самым главным

считалось изучение движения и взаимодействия тел. Соответствующие законы,

кажущиеся нам сейчас такими очевидными, потребовали колоссального труда

нескольких поколений выдающихся ученых. Коперник, Кеплер, Галилей, Декарт,

Гюйгенс шаг за шагом двигались к пониманию истинных законов, управляющих

движением материальных тел.

Окончательно эти законы были сформулированы Исааком Ньютоном

(1643-1727). Но поскольку движение совершается в пространстве и во времени,

ему пришлось обобщить и сформулировать некие положения, постулирующие их

свойства.

Ньютон считал, что существует абсолютное пространство, свободное и

независимое от каких-либо тел. Это абсолютное пространство изотропно, то

есть любые направления в нем одинаковы. Кроме того, оно однородно, так как

любые две точки пространства ничем не отличаются друг от друга. Существует

также абсолютное время, независимое от каких-либо процессов, текущее вечно

и равномерно. Равномерность течения времени предполагает его однородность:

скорость течения времени со временем не меняется.

Однородность пространства

Чтобы понять, какое отношение она имеет к механике, начнем с простого

вопроса: почему камень падает вниз? Ответ: потому что на него действует

сила тяжести. Иными словами, пространство вблизи земной поверхности

физически неоднородно: все тела стремятся занять самые низкие положения,

поближе к Земле.

Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца: орбиты всех тел

солнечной системы искривлены. Но вся Солнечная система как целое движется

прямолинейно, по крайней мере, в течение миллионов лет отклонения от

прямолинейности в ее движении не было.

Пространство, в котором она движется, свободно от тяготеющих тел, и

здесь можно говорить об однородности. Иными словами, на солнечную систему

как целое не действуют внешние силы Согласно второму закону Ньютона внешняя

сила равна изменению импульса тела за единицу времени. (Импульсом системы

тел называется их суммарная масса, умноженная да скорость центра инерции.

Он равен также векторной сумме импульсов всех тел системы. Вместо «импульс»

часто говорят «количество движения», номы не будем пользоваться этим

термином.) Когда результирующая внешняя сила, действующая на систему, равна

нулю, импульс системы не изменяется со временем, т. е. сохраняется.

Мы не попытаемся подменить второй закон Ньютона рассуждением об

однородности пространства. Наоборот, утверждается, что из второго закона

Ньютона следует прямолинейность и равномерность движения центра инерции

системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы в системе не

нарушают однородности пространства по отношению к системе как целому.

Поэтому действие внутренних сил оставляет импульс системы неизменным.

Изотропия пространства

Пространство обладает еще одним видом симметрии - относительно поворотов

координатных систем. Эта идея давалась человечеству с большим трудом; ведь

когда то думали, что Земля плоская, и вертикальное направление абсолютно.

То, что Земля - шар, стало известно образованным людям еще в древности. Для

них вертикальное направление не было абсолютным, а менялось на земной

поверхности от точки к точке. Но Земля в представлении большинства

начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому для

них равноценными были не все направления в пространстве, а все прямые,

проходящие через центр Земли. Там находилась особая, выделенная точка,

центр симметрии Вселенной.

Открытие Коперника лишило Землю ее преимущественного положения. Центр

Земли для мыслящих людей перестал быть центром Вселенной. Чем же он

физически выделен для нас? Очевидно, тем, что к нему направлена сила

притяжения Земли. Но достаточно далеко от всех тяготеющих тел все точки

пространства равноценны, равно как все прямые, проведенные через любую

точку Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой

угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна

первоначальной.

Таким образом, мы сформулировали еще одно свойство симметрии

пространства. Условимся о терминологии. Симметрию относительно поворотов

будем называть изотропией, а относительно переносов - однородностью.

Однородность времени

Перейдем теперь к конкретным свойствам симметрии времени. Рассмотрим

сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой. Перенос в любом

направлении можно разложить по трем взаимно перпендикулярным осям. Таким

образом, пространство имеет группу симметрии относительно произвольных

переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям (см. выше).

Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в пространстве.

относительно переносов, т. е. что их абстрактная группа симметрии одна и та

же? Ведь 12 часов дня вчера и сегодня, или завтра, совсем не одно и то же

для нас. Но симметрия - понятие относительное. Симметрия времени уже, чем

симметрия бесконечной прямой, если рассматривать время во всех его

аспектах, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично

по отношению к одному определенному классу законов природы.

К этому классу принадлежат законы механики, которым подчинены движения

тел в пространстве и во времени. Удобнее всего выбрать пример чисто

механического движения, не осложненного силами трения или каким-либо иным

трудно контролируемым влиянием внешней среды. Трение всегда сопровождается

переходом движения к молекулам, составляющим тела, и поэтому сильно

осложняет процесс механического движения.

Без трения, или почти без трения, движутся небесные тела (небольшое

трение при их движении происходит от приливных волн, но мы отвлечемся от

этого явления). Именно небесные тела послужили моделью Ньютону, когда он

формулировал законы механики, потому что в астрономических явлениях они

проявлялись в наименее осложненном виде. Обращение Земли вокруг Солнца

совершается одинаково в течение десятков тысяч лет; если бы не влияли

другие планеты и приливы и Солнце не теряло постепенно свою массу

вследствие излучения, орбита Земли оставалась бы неизменной сколь угодно

долго. Отсюда надо заключить, что время однородно, т. е. все его моменты

равноценны, по крайней мере, по отношению к чисто механическим явлениям.

Год в нашу эпоху и на варе человеческой истории равнялся Зб51/4 дня.

Следовательно, в качестве начальной даты летосчисления может быть взята

любая. Законы небесной механики совершенно симметричны по отношению к

любому выбору начального момента времени.

Поскольку пространство изотропно и однородно, то уравнения движения не

меняют своего вида при изменении направления движения. Не меняют они своего

вида и при смещении точки отсчёта начала движения в пространстве и во

времени. Математически преобразования координат и времени, отвечающие таким

изменениям, образуют группу. Эту группу часто называют группой Галилея-

Ньютона. Поэтому говорят, что уравнения движения классической механики

инвариантны (не меняют своей формы) относительно группы Галилея-Ньютона.

Таким образом, в классической механике симметрия утратила наглядный

геометрический смысл. Теперь она вступает в абстрактной форме как условие,

при котором уравнение, описывающее тот или иной физический закон, не меняет

своего вида. При этом сами условия должны образовывать группу в

математическом смысле.