Разложить в ряд тейлора точке x0. Разложение функций в степенные ряды

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Функция f(x), определенная на отрезке \-1, где I > 0, называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x), определенная на отрезке J), где I > 0, называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример. а) Функция является четной на отрезке |-jt, jt), так как для всех х е б) Функция является нечетной, так как Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем в) Функция f(x)=x2-x, где не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как Пусть функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке х|. Тогда для всех т.е. /(ж) cos nx является четной функцией, a f(x)sinnx - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции /(ж) будут равны Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид 00 Если f(x) - нечетная функция на отрезке [-тг, ir|, то произведение f(x)cosnx будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin пх - четной функцией. Поэтому будем иметь Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид Пример 1. Разложить в ряд Фурье на отрезке -х ^ х ^ п функцию 4 Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид Находим коэффициенты Фурье. Имеем Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так: или, в развернутом виде, Это равенство справедливо для любого х € , так как в точках х = ±ir сумма ряда совпадает со значениями функции f(x) = х2, поскольку Графики функции f(x) = х и суммы полученного ряда даны на рис. Замечание. Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию /(х) = х. Функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид Это равенство имеет место для всех х В точках х - ±тг сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции /(х) = х, так как она равна Вне отрезка [-*, я-] сумма ряда является периодическим продолжением функции /(х) = х; ее график изображен на рис. 6. § 6. Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция / задана на отрезке . Значения этой функции на отрезке 0| можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию / на отрезке тс] так, чтобы /. В этом случае говорят, что) «продолжена на отрезок 0] четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию /(ж) определить на отрезке [-л-, тс] так, чтобы /(, то получится нечетная функция, и тогда говорят, что / «продолжена на отрезок [-*, 0] нечетным образом»; в этом случае се ряд Фурье будет содержать только синусы. Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(ж), определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам. Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам. М Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок |-х,0) будет ограниченной и кусочно-монотонной. а) Продолжим /(z) в отрезок 0) а) Продолжим j\x) в отрезок (-тг,0| четным образом (рис. 7), тогда ее ряд Фурье i будет иметь вид П=1 где коэффициенты Фурье равны соответственно для Следовательно, б) Продолжим /(z) в отрезок [-x,0] нечетным образом (рис. 8). Тогда ее ряд Фурье §7. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Пусть функция fix) является периодической с периодом 21,1 ^ 0. Для разложения ее в ряд Фурье на отрезке где I > 0, сделаем замену переменной, положив х = jt. Тогда функция F(t) = / ^tj будет периодической функцией аргумента t с периодом и ее можно разложить на отрезке в ряд Фурье Возвращаясь к переменной ж, т. е. положив, получим Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом 2тг, остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 21. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 21, заданную на отрезке [-/,/] формулой (рис.9). Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим Отметим одно важное свойство периодических функций. Теорема 5. Если функция имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство m. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси. В самом деле, Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая. Это дает и следовательно, Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой. В частности, для функции f(x) с периодом получим при Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем Пример 2. Функция x является периодической с периодом В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 21 можно вычислять по формулам где а - произвольное действительное число (отметим, что функции cos - и sin имеют период 2/). Пример 3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию с периодом 2х (рис. 11). 4 Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах найдем, что для Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так: В точке х = jt (точка разрыва первого рода) имеем §8. Комплексная запись ряда Фурье В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы). Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке ж] ее можно представить рядом вида Используя формулы Эйлера Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos пх и sin пху будем иметь Введем следующие обозначения Тогда ряд (2) примет вид Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3). Найдем выражения коэффициентов через интегралы. Имеем Аналогично находим Окончательно формулы для с„, с_п и со можно записать так: . . Коэффициенты с„ называются комплексными коэффициентами Фурье функции Для периодической функции с периодом) комплексная форма ряда Фурье примет вид где коэффициенты Сп вычисляются по формулам Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения ж, если существуют пределы Пример. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем для нечетных для четных n, или,короче. Подставляя значения), окончательно получим Заметим, что этот ряд можно записать и так: Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций 9.1. Ортогональные системы функций Обозначим через множество всех (действительных) функций, определенных и интегрируемых на отрезке [а, 6] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл В частности, все функции f(x), непрерывные на отрезке [а, 6], принадлежат 6], и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана. Определение. Система функций, где, называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю. Интеграл понимается в смысле Лебега. и назовем величину нормой функции Если в ортогональной системе для всякого п имеем, то система функций называется ортонормированной. Если система {у>„(ж)} ортогональна, то система Пример 1. Тригонометрическая система ортогональна на отрезке. Система функций является ортонормированной системой функций на, Пример 2. Косинус-система и синус-система ортонормирована. Введем обозначение являются ортогональными на отрезке (0, f|, но не ортонормированными (при I Ф- 2). так как их нормы COS Пример 3. Многочлены, определяемые равенством, называются многочленами (полиномами) Лежандра. При п = 0 имеем Можно доказать, что функции образуют ортонормированную систему функций на отрезке. Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть т > п. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим поскольку для функции t/m = (z2 - I)m все производные до порядка m - I включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1,1). Определение. Система функций {pn(x)} называется ортогональной на интервале (а, Ь) свесом р(х), если: 1) для всех п = 1,2,... существуют интегралы Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль. Выполнив дифференцирование в формуле (3), находим. Можно показать, что многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны на интервале Пример 4. Система функций Бесселя {jL(pix)^ ортогональна на интервале нули функции Бесселя Пример 5. Рассмотрим многочлены Чебышева-Эрмита, которые могут быть определены при помощи равенства. Ряд Фурье по ортогональной системе Пусть ортогональная система функций в интервале (a, 6) и пусть ряд (cj = const) сходится на этом интервале к функции f(x): Умножая обе части последнего равенства на - фиксировано) и интегрируя по ж от а до 6, в силу ортогональности системы получим, что Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал (a, 6) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция. Образуем числа с* по формуле (5) и напишем Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции f(x) относительно системы {^п(я)}- Числа Сп называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сп связаны с функцией /(ж) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)? 9.3. Сходимость в среднем Определение. Последовательность, сходится к элементу ] в среднем, если норма в пространстве Теорема 6. Если последовательность } сходится равномерно, то она сходится и в среднем. М Пусть последовательность {)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции /(х). Это означает, что для всякого при всех достаточно больших п имеем Следовательно, откуда вытекает наше утверждение. Обратное утверждение неверно: последовательность {} может сходиться в среднем к /(х), но не быть равномерно сходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность пх Легко видеть, что Но эта сходимость не равномерна: существует е, например, такое, что сколь бы большим ни было л, на отрезке , Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем и пусть Обозначим через с* коэффициенты Фурье функции /(х) по ортонормированной системе ь Рассмотрим линейную комбинацию где n ^ 1 - фиксированное целое число, и найдем значения постоянных, при которых интеграл принимает минимальное значение. Запишем его подробнее Интефируя почленно, в силу ортонормированности системы получим Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят, а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при ак = ск Интеграл называют средним квадратичным приближением функции /(х) линейной комбинацией Тп(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции/\ принимает минимальное значение, когда. когда Тп(х) есть 71-я частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по системе {. Полагая ак = ск, из (7) получаем Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя Поскольку я здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме т. е. для всякой функции / ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе } сходится. Так как система ортонормирована на отрезке [-х, тг], то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение do справедливое для любой функции /(х) с интегрируемым квадратом. Если f2(x) интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что. Равенство Парсе валя Для некоторых систем {^„(х)} знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций /(х) 6 Ч) знаком равенства. Получаемое равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты). Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции /(х) сходятся к функции /(х) в среднем, т.е. по норме пространства 6]. Определение. Ортонормированная система { называется полной в Ь2[ау Ь], если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции/(х) € Ь2[а, Ь\ и для любого е > 0 найдется натуральное число nq и числа а\, а2у..., такие, что No Из приведенных рассуждений следует Теорема 7. Если ортонормированием система } полна в пространстве ряд Фурье всякой функции / по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме Можно показать, что тригонометрическая система полна в пространстве, Отсюда следует утверждение. Теорема 8. Если функция /о ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем. 9.5. Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем Определение. Ортонормированная система функций \, называется замкнутой, если в пространстве Li\a, Ь) не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям В пространстве L2\a, Ь\ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают. Упражнения 1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, ж) функцию 2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 4. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию 5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = ж + х. 6. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию п 7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, ж) функцию /(х) = sin2 х. 8. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, jt) функцию f(x) = у 9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тт, -к) функцию /(х) = | sin х|. 10. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, тг) функцию /(х) = §. 11. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = sin §. 12. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = п -2х, заданную в интервале (0, х), продолжив ее в интервал (-х, 0): а) четным образом; б) нечетным образом. 13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию /(х) = х2, заданную в интервале (0, х). 14. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) = 3-х, заданную в интервале (-2,2). 15. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = |х|, заданную в интервале (-1,1). 16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) = 2х, заданную в интервале (0,1).

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1