Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений. Определение производной функции в точке

Понятие производной

Пусть функция f (x ) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x 0 Х произволь­ное приращение Δx так, чтобы точка x 0 + Δx также принад­лежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 ).

Определение 1. Производной функции f(x) в точке x 0 назы­вается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел сущест­вует).

Для обозначения производной функции употребимы симво­лы у’ (x 0 ) или f ‘(x 0 ):

Если в некоторой точке x 0 предел (4.1) бесконечен:

то говорят, что в точке x 0 функция f (x ) имеет бесконечную производную.

Если функция f (x ) имеет производную в каждой точке мно­жества X, то производная f"(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение 2. Касательной к графику функции у = f (x ) в точке М MN, ког­да точка N стремится к точке М по кривой f (x ).

Пусть точка М на кривой f (x ) соответствует значению ар­гумента x 0 , а точка N - значению аргумента x 0 + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x 0 необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx . Из треугольника MNA следует, что

Если производная функции f (x ) в точке x 0 существует, то, согласно (4.1), получаем

Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f ‘(x 0 ) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной кграфику функции у = f (x ) в точке М (x 0 , f (x 0 )). При этомуголнаклона касательной определяется из формулы (4.2):

Физический смысл производной

Предположим, что функция l = f (t ) описывает закон дви­жения материальной точки по прямой как зависимость пути l от времени t. Тогда разность Δl = f(t + Δt) — f(t) - это путь, пройденный за интервал времени Δt , а отношение Δl /Δt - средняя скорость за время Δt . Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент вре­мени t как производную пути по времени.

В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f ‘(x ), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f (x ) и быстрее растет функция.

Правая и левая производные

По аналогии с понятиями односторонних пределов функ­ции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.

Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x 0 называется правый (левый) предел отноше­ния (4.1) при Δx 0, если этот предел существует.

Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:

Если функция f (x ) имеет в точке x 0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые сов­падают.

Приведем пример функции, у которой существуют одно­сторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f (x ) = |x |. Действительно, в точке х = 0 имеем f’ + (0) = 1, f’ — (0) = -1 (рис. 4.2) и f’ + (0) ≠ f’ — (0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.

Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точ­ке, называется дифференцируемой.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно: функция f (x ), непрерыв­ная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x |; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.

Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, по­скольку из первого автоматически вытекает второе.

Уравнение касательной к графику функции в данной точке

Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, про­ходящей через точку М (x 0 , у 0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид

Пусть задана функция у = f (x ). Тогда посколькуее произ­водная в некоторой точке М (x 0 , у 0 ) является угловым коэффи­циентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функ­ции f (x ) в этой точке имеет вид

⇐ Предыдущая19202122232425262728Следующая ⇒

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = x n , формула для производной есть:

y = x n => y’ = nx n-1

пример: y = x 3 y’ = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y’ = -3x -4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x 1 that:

если y = x тогда y’=1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) …=>
y’ = f’ 1 (x) + f’ 2 (x) + f’ 3 (x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x 2 + x + 1 и g(x) = x 5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f"(x) + g"(x) => y’ = (x 2 + x + 1)’ + (x 5 + 7)’ = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)

Формулы вычисления производной

y =

y’ =

f"(x)g(x) — f(x)g"(x) g 2 (x)

y = ln x => y’ = 1 / x

y = e x => y’ = e x

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y’ = — 1 / sin 2 x

y = arcsin x

=>

y’ =

y = arccos x

=>

y’ =

ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x 10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x).

Дифференциальное исчисление функций

h"(x) = 10x 9 g"(x) = 0 — sin x = -sin x

Подробнее о производных на страницах математического форума

Форум о производных

Что такое производная

Понятие производной

Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительны следующие обозначения производной :

Пример 1. Пользуясь определением производной , найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

Физический смысл производной

К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени .

Производная функции

Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t ) называется предел средней скорости при :

(при условии, что этот предел существует и конечен).

Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s (t ) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

.

Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной . Итак, производной функции y=f (x ) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Геометрический смысл производной

Если существует

то прямую с угловым коэффициентом

проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ).

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

,

причём предел равен углу наклона касательной к оси .

Теперь дадим точное определение касательной.

Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.е. прямая, уравнение которой

Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x . В этом состоит геометрический смысл производной:

где — угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .

Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

Найдём значение производной при :

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок «Производная»

Это знакомство позволит:

— понимать суть несложных заданий с производной;

— успешно решать эти самые несложные задания;

— подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f"(x) или S"(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)’ , (x 3 )’ , (sinx)’ и т.д.

Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) ‘ = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y’ = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y’ = (sin x)’ = cosx

Подставляем ноль в производную:

y"(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно.

Производная, основные определения и понятия.

Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y’ = — sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Следующая страница: Как найти производную? Правила дифференцирования. >>>>

Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).

1. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

1. Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а - вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось - это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть - это изменение величины, - изменение; тогда что такое? Правильно, изменение величины.

Важно: выражение - это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции, то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на.

Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте, а после перемещения оказались на высоте, то. Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной - это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна. А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец - через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно - ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра - более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого , то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на - и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому - бесконечно большое (). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при, и наоборот: при.

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна - это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое - не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент () при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние, называется приращением функции и обозначается.

Итак, производная функции - это отношение к при. Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто. Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом.

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси:

Но большие отрезки - признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси, то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее - убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает - в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа - возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой. Значение функции в ней равно. Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на. Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

Потренируйся находить приращения:

1. Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном.
2. То же самое для функции в точке.

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале - крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем - в любой степени: .

Простейший случай - это когда показатель степени:

Найдем ее производную в точке. Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с до. Каково приращение функции?

Приращение - это. Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

Производная равна:

Производная от равна:

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (): .

А теперь вспомним, что. Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд: .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

И снова вспомним, что. Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими:

Получаем: .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

(2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

1. (двумя способами: по формуле и используя определение производной - посчитав приращение функции);

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При выражение.

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при функция не существует - точка на графике выколота. Но чем ближе к значению, тем ближе функция к. Это и есть то самое «стремится».

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

и т.д. Видим, что чем меньше, тем ближе значение отношения к.

a) Рассмотрим функцию. Как обычно, найдем ее приращение:

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему « »): .

Теперь производная:

Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при выражение. А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу :

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти - самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

1. Найди производную функции в точке;
2. Найди производную функции.

Решения:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же. Называется она «экспонента», и является показательной функцией

Основание этой функции - константа - это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой.

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для первого примера, .

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

там не существует. Поэтому формула

не применима в точке,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция.

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке , используя определение производной.

– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как ?

Составить отношение и вычислить предел.

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

То, осуществив замену, получаем:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию

вместо «икса» следует подставить. Теперь берём

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

Ответ :по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому

замечательному пределу:

Ответ :по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке?

Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:

, то функциядифференцируема в точкеи

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .

Введем два новых определения. Если? стремится к нулю, принимая только положительные значения, то предел отношения

(если он существует) называется производной справа или правой производной от функции ѓ() в точке?, а если? стремится к нулю, принимая только отрицательные значения, то предел этого же отношения (если он существует) есть производная слева или левая производная . Производную справа обозначают символом, а производную слева - символом.

Если производная справа и производная слева равны между собой, то функция, очевидно, имеет производную в точке 0 в обычном смысле слова.

Наиболее простые примеры функций, имеющих в некоторой точке правую и левую производные, не совпадающие между собой, дают нам функции, графики которых представляют собой ломаные линии.

В самом деле, пусть 1 , 2 , … , к, … , s - некоторое число различных точек на оси. Построим ломаную так, чтобы ее вершины имели абсциссы, равные х 1 , 2 , … , к, … , s (рис. 12). Функция ѓ(), графиком которой является эта ломаная *), не имеет производной в точках 1 , 2 , … , к, … , s .

*) Очевидно, каждая прямая, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ломаную не более чем в одной точке, и ломаная представляет собой график некоторой однозначной функции.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую-нибудь точку Q с абсциссой к. График функции в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 13.

Для всякой прямой линии секущая в некоторой ее точке, а, следовательно, и касательная (как предельное положение этой секущей), совпадают с самой прямой; значит, угол секущей, а, следовательно, и касательной к прямой с осью, есть тот же самый, что и угол самой прямой с осью х.

Обозначим угол прямой AQ с осью через б и угол прямой QB с осью через в. Проводим секущую через точку Q и точки М 1 и М 2 , находящиеся слева и справа от Q. Левая секущая совпадает с прямой AQ, а правая - с прямой QB.

Ясно, что если рассматривать Q как точку прикосновения, то у секущей будет два предельных положения, или, как иногда говорят, кривая в этой точке будет иметь правую касательную , совпадающую с прямой QB, и левую касательную , совпадающую с прямой AQ. Угол между осью и левой касательной, очевидно, равен б, а угол между осью и правой касательной равен в. Так как б и в различны, то и

Таким образом, в точке Q у нашей линии нет определенной касательной, а так как производная равна тангенсу угла касательной с осью, то производная слева не равна производной справа и не существует в точке Q.

Рассмотрим еще один пример функций с различными производными слева и справа. Пусть требуется найти производную от функции

Функция, очевидно, определена в промежутке -1??+1. График ее изображен на рис. 14. Кривая заканчивается в точках М(-1, +1) и N(+1, +1), так как для ||>1 функция не определена.

Находим производную в точке х:

Полагая х=0, находим значение производной в точке О(0, 0):

Чтобы найти предел, мы умножаем и числитель, и знаменатель на

Так как рассматривается арифметическое (положительное) значение квадратного корня, то 2 =?, если?х>0, но 2 =-?, если?<0.

Следовательно, если?>0, то

а если?<0, то

Мы видим, что производная слева не равна производной справа, а потому наша функция не имеет производной. Точка (0, 0) есть угловая точка, в которой кривая не имеет определенной касательной.