Задания для самостоятельной работы

Найти общие решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений одним из рассмотренных методов, и произвести их проверку любым другим методом:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:

(9.1)

Системы (9.1) и (9.2) называются неоднородными , если хотя быодна из функций f i (х ) не равна тождественно нулю.Если при всех значениях независимой переменной х все функции f i (х ) равны нулю, то, например, система (8.14) принимает вид:

и называется однородной линейной системой.

Если все функции a ij (x ) и f i (х ) непрерывны на отрезке a £x £b , то система, например, (9.2) имеет единственное решение:

(9.4)

определенное во всем отрезке a £x £b и удовлетворяющее начальным условиям:

причем начальные данные можно выбирать совершенно произвольно, а х 0 необходимо выбирать из интервала a £x £b .

Неоднородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

(9. 6)

Если все f i (x ) =0, то получим однородную систему с постоянными коэффициентами

Если компоненты некоторого вектора ,

а компоненты производной вектора , при этом коэффициенты a ij являются элементами матрицы , то, например, систему уравнений (9.8) можно представить в виде:

Рассмотрим методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами.

1. Систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно разрешить, например, методом Эйлера . Суть этого метода заключается в том, что решение системы (9.9) ищется в виде

, (9.10)

где λ k - собственные значения матрицы коэффициентов А , которые можно найти из уравнения :

(9.11)

(Е – единичная матрица), которое называется характеристическим уравнением ; - компоненты собственного вектора P ( k ) , соответствующие собственному значению λ k .

Если выражение (9.10) подставить в уравнение (9.9) и после сокращения на множитель , получим однородную систему линейных алгебраических уравнений из которой можно найти вектора P ( k ) :

,

или в развернутом виде

(9.12)

Таким образом, общее решение системы (9.9) будет выражаться формулой:

. (9.13)

Из этой формулы видно, что решение исходной системы зависит от собственных значений матрицы коэффициентов λ k или, что по существу то же самое от вида корней характеристического уравнения .

1-й случай. Все корни λ k –действительные и различные, тогда общее решение системы определяется формулой (9.13). Запишем ее в развернутом виде:

(9.14)

Пример 9.1.6. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (31):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: .

Найдем собственные вектора, соответствующие своим собственным значениям (корням характеристического уравнения).

.

Значение можно взять произвольно, например, пусть =1, тогда , следовательно вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Для этого корня также составим систему (9.12)

,

следовательно, если =1, тогда . Поэтому вектор Р (2) =.

Таким образом, общее решение исходной системы можно записать в виде:

Следовательно, компоненты общего решения принимают вид:

▲

2-й случай. Корни λ k различные, но среди них имеются комплексные. Если является корнем характеристического уравнения, то и тоже будет его корнем, т.к. все коэффициенты исходной системы a ij являются действительными.

Компоненты общего решения системы (8.29), отвечающие корню находим точно так же, как и в случае 1. Затем, отделив комплексную и действительную часть из функций y k , образующих это решение, получим два действительных решения той же системы (8.29). Сопряженный корень не дает новых решений (если использовать этот корень, то получим решения, линейно зависимые от уже полученных). Так поступают для каждого комплексного корня.

Пример 9.2. Найти общее решение системы

Корни этого характеристического уравнения комплексно-сопряженные: .

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению (корню характеристического уравнения) равному: .

Составим систему алгебраических уравнений (9.12)

Таким образом, приняв =1, находим , т.е. собственный вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Следовательно, фундаментальная система будет иметь вид:

В этих решениях отделим действительную и мнимую части (корень мы не рассматриваем, т.к. решения соответствующие этому корню являются линейно зависимыми корню), в результате получаем:

Таким образом, общее решение окончательно имеет вид:

3-й случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Если корень λ k , имеет кратность т , то ему соответствует п частных решений системы (9.9). Эти решения получаем в виде:

где q 1 (x ),…., q n (x ) – многочлены от х с неопределенными коэффициентами, каждый степени не выше (т -1):

Следовательно, решения будут иметь вид:

(9.15)

Подставляя выражения (9.15) в систему (9.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х в каждом уравнении, мы получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов многочленов q 1 (x ),…., q n (x ). Число полученных алгебраических уравнений будет меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому т из этих коэффициентов остаются произвольными, а остальные выражаются через них.

Если λ 1 , является комплексным числом, то полученные рассмотренным путем решения тоже будут комплексными функциями от х . Отделив в каждом из решений действительные и мнимые части, получим 2т решений. Эти решения соответствуют паре сопряженных т – кратных комплексных корней и .

Пример 9.3. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (9.11):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: . Степень кратности т равна: т = 2. Следовательно, в этом случае многочлены p 1 (t ) и p 2 (t ) имеют вид:

Таким образом, двукратному корню соответствует решение

Дифференцируя х и у , получим

Значения х , у , подставим в исходную систему, и после сокращения на e 4 t будем иметь

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим следующие системы

Отсюда следует, что

Таким образом, общее решение исходной системы будет иметь вид:

▲

2. Систему вида (9.8): ,

можно разрешить методом неопределенных коэффициентов . Алгоритм этого метода следующий:

1. Составить характеристическое уравнение системы (9.8):

и найти его корни .

2. В зависимости от вида корней записать решение системы, причем для каждого решения y i имеет свои произвольные постоянные:

3. Вычисляются производные и вместе с найденными функциями , подставляются в уравнения исходной системы.

4. Приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях в левых и правых частях уравнений.

5. Из полученных систем можно выразить все коэффициенты через одни, например, коэффициентычерез коэффициент C i .

Пример 9.4. Найти общее решение системы

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида eat * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены

Решить уравнение

Ищем общее решение соответствующего исходному однородного уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Его решение:

есть пара простых комплексно-сопряженных корней. Тогда общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Для нахождения неизвестных функций решаем систему:

В нашем случае система принимает вид:

Решаем эту систему:

Находим неизвестные функции:

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Общее решение неоднородного уравнения:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя

Если состояние динамического процесса описывается более чем одним числом, то в этом случае фазовое пространство становится многомерным, а динамический процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть -точка фазового n-мерного пространства. Тогда, для большого числа динамических систем верно, что скорость изменения состояния зависит от состояния и времени t. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.

где - вектор скорости изменения состояния;

Некоторые функции от состояния и времени t.

Первая часть системы дифференциальных уравнений определяет скорость изменения состояния.

Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде. Пусть x - вектор-столбец неизвестных и f(x,t) - вектор-столбец функция.

Тогда система (1) записывается в виде:

Введем понятия решения систем дифференцированных уравнений (1) или (2)

Множество из n функций называется решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке их в дифференциальное уравнение оно превращается в тождество.

Общим решением системы (1) называется такое решение, которое охватывает все возможные решения системы (1).

Общее решение системы (1) будет зависеть от n производных постоянных

При некоторых условиях аналогичных условиям для уравнения первого порядка может быть сформулирована теорема существования и единственности решения.

Если при система находится в состоянии

то существует единственное решение

проходящее в момент через точку т.е.

Определение.

Система дифференциальных уравнений (1) или (2) называется автономной, если правые части системы не зависят от времени t т.е. скорость изменения состояния определяется только состоянием x.

В матричном виде система имеет вид

где, f(x) - n-мерная вектор-функция состояния x.

В развернутом виде автономная система имеет вид:

Приравняем первые части системы (8) к нулю. Найдем значение переменных удовлетворяющих системе из уравнений:

Система (9) из n уравнений для n неизвестных может иметь одно или несколько решений или не иметь решений (быть неразрешимой).

Пусть существует решение системы и пусть - одно из этих решений. Это набор из n-чисел для которых верно (9). С механической точки зрения это означает, что в этой точке скорость изменения состояния равна нулю, т.е. если система находится в этой точке, то она будет находиться в этой точке вечно.

С другой стороны, если подставить в систему дифференциальное уравнение (8) (10), то получится тождество. Это означает, что (10) является решением системы дифференциальных уравнений (8).

Тогда - называются положением равновесия или точкой покоя системы дифференциальных уравнений (8).

Рассмотрим систему

Предполагаем, что а и (х), b t (x) е С((а, b)), i,j - 1,п.

Все решения системы (19) определены на (а; Ь), также напомним, что здесь имеет место существование и единственность решения задачи Коши (при допустимых начальных условиях: х 0 е (а; Ь), начальное значение у 0 можно выбирать произвольно).

Пусть У(х) - ее фундаментальная матрица. Общее решение системы (20) тогда можно записать в виде

Сделаем замену переменных в системе (19)

Получаем

Отсюда имеем Тогда

где с - вектор произвольных постоянных.

В итоге, получаем общее решение системы (19)

Запишем также общее решение системы (19) в форме Коши

Если мы имеем систему с постоянными коэффициентами (А - постоянная матрица), а в качестве Y(x) выбрана фундаментальная матрица е Ал ", то формулы (22), (23) принимают вид

§ 7. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим линейную неоднородную стационарную систему:

Предполагаем, что b^x) e C((a, b)), i, j = 1, n.

Рассмотрим соответствующую однородную систему

Общее решение системы (26) является суммой общего решения соответствующей ей однородной системы (27) и некоторого частного решения системы (26).

Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами (26) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции b i (x),i=l,n состоят из сумм и произведений функций d 0 + d x x + ... + d m x m , е‘ х, costox, sincox.

Если bj(x) = Р т.(х)е 1Х, где P„ h (x) -многочлен степени m, то частное решение системы (26) ищется в виде

где Qm+s(*) - многочлены степени т + s т = тахт,-. Число s = 0, если у - не корень характеристического уравнения det(A - 7.Е) = 0, а если у - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (28) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Если в функции bj(x), i = l,n входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера

и свести задачу к уже рассмотренному случаю.

Если же элементы матрицы А вещественны, то можно обойтись без перехода к комплексным функциям. Для

можно искать частное решение в виде

где R‘ m + S (x), Tj I+s (x) - многочлены степени т + s с неизвестными коэффициентами, т - наибольшая из степеней многочленов Р и Q. Число s = О, если у + cot - не корень характеристического уравнения det(A - ХЕ) = 0, а если у + Ч- со/ - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (29) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Пример 1. Рассмотрим систему

Найдем ее решение.

Построим общее решение соответствующей однородной системы:

Характеристическое уравнение имеет вид: или

Корни этого уравнения Х± = О, Х 2 = 2. Корню Х г = 0 соответствует частное решение системы:

Подставляя значения jc 1(у 1 в однородную систему, получаем систему уравнений для нахождения р: и v x:

Отсюда имеем, например, pj = 1, Vj = -1, так что первое частное решение однородной системы:

Корню А. 2 = 2 соответствует частное решение:

Числа р 2 и v 2 находим из системы:

которой удовлетворяют, например, числа ц 2 = 1, v 2 = 1.

Тогда второе решение однородной системы:

Общее решение однородной системы:

Теперь методом неопределенных коэффициентов находим частное решение неоднородной системы. Исходя из вида правых частей b x (t) = е 1 , b 2 (t ) = -е 1 , записываем вид частного решения:

Подставляя эти значения в неоднородную систему, имеем:

Приравнивая коэффициенты при равных степенях е", получаем:

Таким образом, М = -1, N = 1. Значит, частное решение неоднородной системы имеет вид:

Общее решение неоднородной системы:

Пример 2. Решить систему

Как и в предыдущем примере, найдем сначала общее решение соответствующей однородной системы. Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни характеристического уравнения: = 2, А, 2 =

1. Общее решение соответствующей однородной системы:

Найдем частное решение неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов. Исходя из вида правых частей bi(t) = -5cosi, b 2 (t ) = 0, записываем вид частного решения:

Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами отличаются от однородных уравнений присутствием в правой части хотя бы одного уравнения функции от независимой переменной . Как и в случае однородных уравнений, применение к неоднородным уравнениям общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.

§ 1. Общие сведения.

Пусть имеем систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка, содержащую уравнений:

(1)

где коэффициенты – действительныепостоянные числа; функции
,
,…,
, заданы ихотя бы одна из них не равна нулю; функции
,
,…,
– искомые функции переменной.

Если все функции
,
,…,
– состоят из сумм и произведений функций:


–многочлен степени
;


- число – действительное число; (2)


,
- число– действительное число.

то поиск частного решения проводится, как и в случае одного уравнения- го порядка с постоянными коэффициентами,методом неопределённых коэффициентов , но с некоторыми изменениями. Если правые части уравнений системы произвольные функции
,
,…,
, то применяют методвариации произвольных постоянных .

1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.

В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!

1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.

Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:

==+=+=∙+∙+...+∙+, (3)

где обозначено: − общее решение заданной системы уравнений (1);− общее решение соответствующей однородной системы и− частное решение заданной системы уравнений (1), соответственно. Выражение=+напоминает теорему о форме записи общего решения линейного неоднородного уравнения- го порядка с постоянными коэффициентами. Её доказательство так же просто.

§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.

Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x ,y ,z :

(4)

где функции
,
,
– непрерывные функции переменной, заданы в соответствии с правилом (4) ихотя бы одна из них не равна нулю. Функции
,
,
– искомые решения.

Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:

1 * . Записываем соответствующую неоднородной системе уравнений (4) однородную систему (без функций
,
,
):
(5)

и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).

2 * . Находим частное решение системы (4) однородную систему, учитывая конкретный набор функций
,
,
.

3 * . Записываем общее решение системы (4) в виде:=+. (6)

4 * . Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Записанный алгоритм содержит величины: ,,, вычисление которых зависит и от набора функций:
,
,
, и от особенностей заданной системы (4). Не станем записывать общих формул, которые охватили бы самый общий набор функций
,
,
и получающихся выражений для вычисления функций:,,. Правила решения системы (4) вполне понятны из рассмотрения конкретных Примеров!

Пример 13 –01

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (то есть без функции
= ):
=
= 0, откуда получаем:= – 3;= 2. =+, (1.1)

где =∙
=
∙
,=∙
=
∙
, (2.1)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.1)

Для характеристического корня
=– 3 система (3.1) имеет решение:
=. Для корня
= 2 система (3.1) имеет решение:
=.

Замечание : Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.

3). С учетом полученных векторов
,
запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений:=∙∙
+∙∙
. (4.1)

4). Так как функция:
= – многочлен 1-й степени и образующее число=
не совпадает с характеристическими корнями:и=
, ее производные:=(5.1)

Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:

(6.1)

Приравнивая коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:

при :
при:
, (7.1)

откуда: a =– ,b =– ,c =– , d =– .

5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

=+=∙∙
+∙∙
+
. (8.1)

Ответ : общее решение системы: =∙∙
+∙∙
+
.

Пример 13 –02 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функции
= ). Запишем характеристическое уравнение:
=
=0, откуда получаем:=
, =
. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:=+, (1.2)

где =∙
=
∙
, =∙
=
∙
. (2.2)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.2)

3). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=. Тогда можно записать:

=∙e (1– i ) t =
=
. (4.2)

4). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=. Аналогично получаем:

=∙e (1+ i ) t =
=
. (5.2)

то есть решения и(согласно выражениям (4.2) и (5.2)) комплексно-сопряженные.

=,=(6.2)

6). С учетом выражений (6.2) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: =
∙+
∙. (7.2)

7). Так как функция:
= – имеет специальный вид, ее образующее число
не совпадает с характеристическими корнямии, то частное решение заданной системы будем искать в виде:=, ее производные:=. (8.2)

8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:

откуда следует: =–1, =0. (9.2)

=+=
∙+∙
∙+∙=
∙. (10.2)

Ответ :Общее решение:=
∙.

Пример 13 –03 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:

образующее число: =
, (1a )

образующее число: =
, (1b)

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функции
и
):
=0, откуда получаем:==2 – корень кратности=2. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

, и производные:
(2.3)

2). Подставляем (2.3) в однородную систему уравнений для заданной системы и получаем тождества:
(3.3)

3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:

при :
при:
, (4.3)

откуда: =, =–,==.

Замечание : решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.

4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:

(5.3)

5). Частное решение заданной системы уравнений, учитывая системы (1a ) и (1b), запишем в виде:
, (6.3)

6). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1a ), учитывая совпадение числа=
с кратным характеристическим корнем:

, (7.3)

7). Подставим в (1a ) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:

Из тождества найдем неопределенные коэффициенты, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :

при :
при:
(8.3)

при :
при:

откуда получаем:
,
==,==
. Учитывая выражение (7), получим частное решение для системы (1a ):
. (9.3)

8). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1b ), учитывая, что число=
не совпадает с характеристическим корнем:
. (10.3)

9). Подставим в (1b ) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:

откуда: a =–3, b =–2. (11.3)

10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b ):

. (12.3)

11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:

, (13.3)

12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

. (14.3)

Замечание : выражение (14) получено с «поглощением» числаm константой.

Ответ :Общее решение:=
∙
.

Пример 13 –04 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функций
=
и
=
):
=
=0, откуда получаем:= – i ; =i . В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

где =∙
=
∙
, =∙=
∙. (2.4)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.4)

3). Для
= – i система (3.4) имеет решение:
=. Тогда можно записать:

=∙
=
=
. (4.4)

4). Для
=i система (3.4) имеет решение:
=. Аналогично получаем:

=∙=
=
, (5.4)

то есть решения и(согласно выражениям (4.4) и (5.4)) комплексно-сопряженные.

5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: =,=. (6.4)

6). С учетом выражений (6.4) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: =
+
. (7.4)

7). Так как функция:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее число
, причем совпадает с характеристическими корнямии, то частное решение заданной системы будем искать в виде:

=
. (8.4)

8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:

Приравнивая коэффициенты при подобных членах тождеств (9.4), получим алгебраическую систему уравнений, решением которой является: = –1,
= 0,
= 1. Тогда выражение (8.4) можно записать в виде:=
(10.4)

9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

=+=. (11.4)

Ответ :Общее решение:=.