Случайный эксперимент. Случайные события
§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.
Историческая справка:
Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века) – Гаусса и Пуассона.
Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).
Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).
Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов , т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.
Понятие случайного эксперимента
Примеры случайных экспериментов:
1. Однократное подбрасывание монеты.
2.Однократное подбрасывание игральной кости.
3. Случайный выбор шара из урны.
4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.
5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.
Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.
Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.
Наблюдённой частотой события А
()называется
отношение числа появлений события А
(
)
к общему числу испытаний (N):
Например, при бросании правильной монеты дробь
при
(
-количество орлов, N
–общее число бросаний
)
Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .
при
(наблюденная частота события стремится
к его вероятности при росте количества
опытов, то есть при n
).
Определение 1.1: Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов .
Пример построения пространства элементарных исходов:
Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:
Содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.
Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):
Рассмотрим следующую схему
Дискретные пространства – это пространства, в которых можно выделить отдельные исходы. В дискретных конечных можно точно указать их число.
Примеры дискретных пространств элементарных исходов
Эксперимент: однократное подбрасывание монеты
,
где
Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)
Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.
Замечание : если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.
Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.
Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.
Модель можно строить по-разному:
либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та
,
где
В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.
либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.
,
где
В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.
Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию . Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом
(столько «пятёрок» различных по составу
можно получить из 20 человек)
(факториал)
Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.
(
Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.
Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для премирования премиями различными по сумме . Результат эксперимента : конкретная упорядоченная пятёрка. При выборе нам важен не только состав, но и порядок выбора, т.к. от того каким человек выбран зависит размер премии.
1860480 (столько упорядоченных различных «пятёрок» можно получить из 20 человек).
Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.
(
Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.
Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Обобщённое правило умножения:
Пусть нужно совершить
m
независимых действий причём первое
действие можно совершить
способами, второе -
способами и т.д. ….
m
-ое
действие
способами. Тогда всю последовательность
действий можно осуществить
способами
Перестановки .
Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.
-число перестановок из n
элементов
Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения
Размещения.
Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m
Число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).
Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. , а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.
Сочетания.
Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.
Сочетания и размещения связаны следующим образом:
(на каждый состав из m
элементов мы имеем m!
упорядоченных наборов). Таким образом,
число сочетаний из n
элементов по m (число
вариантов такого не упорядоченного
выбора
Пример непрерывного пространства элементарных исходов
Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).
(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.
События и операции над ними:
Определение 1.2
Любой набор элементарных исходов называют событием. С обытия обозначаются большими латинскими буквами A,B,C или буквами с индексами A 1 ,A 2 ,A 3 и т.д.
Часто используется следующая терминология:
говорят, что произошло (или наступило)
событие А, если в результате опыта
появился какой-либо из элементарных
исходов
.
Примеры событий
Вернёмся к эксперименту, состоящему в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим следующие события:
A={выпадение чётного числа очков}
В={выпадение нечётного числа очков}
C={выпадение числа очков кратного 3}
Тогда, согласно введённым ранее обозначениям,
Определение 1.3
Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным . Его обозначают также как и пространство элементарных исходов.
Пример достоверного события : при бросании игральной кости выпадает не больше 6 очков или при бросании игральной кости выпадёт хотя бы одно очко.
Определение 1.4
Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным. Его обозначают символом .
Пример невозможного события: при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна 20.
Операции над событиями:
фразе произошло хотя бы одно из событий А или В).
Определение 1.5 События А и В называют несовместными, если их пересечением является невозможное событии, т.е. AB= .
Пример задачи на операции над событиями:
По мишени производят три выстрела. Рассмотрим события
{Попадание при i-ом выстреле}, i=1..3
Выразить с помощью теоретико-множественных операций через события A i следующие события:
А={три
попадания}=
B={три
промаха}=
C={хотя
бы одно попадание}=
D={хотя
бы один промах}=
E={не
менее двух попаданий}=
+
+
+
F={не
больше одного попадания}=
+
+
+
G={попадание
в мишень не раньше, чем при третьем
выстреле}=
Идея
: дальше
будут задачи такого типа: вероятности
событий
даны и требуется, зная эти вероятности,
найти вероятности событий A,
B, C, D,
E, F, G
§2. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Для количественного сравнения шансов наступления событий вводится понятие вероятности.
Определение 2.1 Пусть каждому событию A поставлено в соответствие число P (A ). Числовую функцию P называют вероятностью или вероятностной мерой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома неотрицательности
Аксиома нормированности
Аксиома сложения (расширенная) изучается некоторое случайное событие ...
Добавился новый тип ошибок – недостаточное количество элементов . В результате проведенных экспериментов выяснено, что дети, страдающие... конкретными примерами . Изучая характер влияния на произвольное внимание детей специального обучения элементарным ...
Образовательная программа основного общего образования Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения
Образовательная программаРезультатов (исходов ) простейших случайных экспериментов ; находить вероятности простейших случайных событий ; ... Элементы логики, статистики,
1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.
Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.
Результат - это исход эксперимента.
Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.
Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.
Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.
Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие
Число очков, скажем, больше 3.
Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.
Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.
2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.
3. Построим модель случайного эксперимента.
Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.
Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,
Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.
Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит
Элементарное событие: оно содержит только один исход.
Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов
Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.
Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.
Несовместные события: они не имеют общих исходов.
Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.
Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.
Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:
Пустое множество 0 принадлежит этому классу;
Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;
Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.
Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.
Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий
Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.
Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.
Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:
Действительное число;
Для любого
(вероятность достоверного события);
Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на
Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .
4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.
Свойство
Доказательство.
Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,
Свойство
Доказательство.
Несовместимы и Следовательно, Отсюда
5. Конструктивные способы задания вероятностей.
Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.
5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.
За вероятность примем предел
5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то
где - общее число исходов.
5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять
где - мера области - мера области
5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение
при условии
События независимы, если
Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .
Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?
Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):
вероятность выигрыша первого игрока
вероятность выигрыша второго игрока
вероятность выигрыша третьего игрока
Следовательно, шансы игроков откосятся как
Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?
Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?
Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?
Определение 1. Случайный эксперимент – это четко описанная последовательность действий, которая может быть воспроизведена сколько угодно раз, но исход исполнения которой не может быть предсказан с уверенностью. Невозможность точно угадать исход эксперимента вызвана большим количеством неконтролируемых нами факторов. Все исходы эксперимента обозначаются буквой .
Определение 2. Случайное событие – это любое подмножество всех возможных исходов случайного эксперимента .
Пример (случайного эксперимента):
- Посмотреть на экран биржевого терминала, чтобы узнать последнюю котировку ликвидной акции, например, акции РАО “ЕЭС” как исход эксперимента.
- Подбросить игральный кубик и посмотреть на исход эксперимента – количество выпавших очков.
Пример (случайного события):
- Случайное событие А = – увидеть, посмотрев на экран биржевого монитора, котировку акции РАО “ЕЭС” в этом диапазоне.
- Случайное событие В = {2, 3} – увидеть, посмотрев на упавшую кость, одну из этих цифр.
Сохранена оригинальная нумерация задачника ФКЦБ, предоставленного Биржевой школой. Ей не следует придавать значения – она сохранена для удобства лиц, готовящихся к сдаче экзамена на специалиста по ценным бумагам.
1.4.1.11
Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками:
I Наблюдается однократно
II Может наблюдаться неоднократно
III Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет
IV При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет
А) Верно только I и IV
*Б) Верно только II и III
В) Верно только II, III или IV
Г) Верно только III
Решение . Из определений 1, 2 очевидно, что верными высказываниями являются только IIи III, т.е. правильный ответ - Б.
Определение 3 . Все исходы эксперимента - это некоторое множество точек произвольной природы, называемое достоверным событием , т.к. при проведении случайного эксперимента какой-либо исход эксперимента обязательно произойдет.
Определение 4 . Невозможное событие – это то, в котором нет ни одного исхода эксперимента, и которое, следовательно, не может появиться в ходе эксперимента.
Достоверное событие в учебных целях изображаем кругом.
Определение 5 . Тогда случайное событие А – некоторая его подобласть, а дополнительным событием (или отрицанием к А ) к событию А называется множество “не А” – это все точки из из , не входящие в А (т.е. А и “не А” не пересекаются, а вместе составляют все ).
Определение 6. “Сумма” или “объединение” или событие “А или В” – то множество, что вбирает в себя все точки обоих множеств и только их
Определение 7. “Произведение” или “пересечение” или событие “А и В” – то множество, что вбирает в себя только те точки, что входят как в множество А, так и в множество В. Если такие общие точки отсутствуют, то есть произведение событий А и В является невозможным событием, то события А и В называются несовместными.
Замечание. В частности, ясно, что произведением событий А и “не А” является невозможное событие, т.к. у этих множеств по определению нет общих точек.
1.4.1.15.1 Чему будет равно произведение случайного события и события, дополнительного к данному событию
А) Достоверному событию
*Б) Невозможному событию
В) Самому событию
Решение. Из замечания к определению 7 следует, что правильным ответом является Б.
1.4.1.15.2 Чему будет равна сумма случайного события и события, дополнительного к данному событию
*А) Достоверному событию
Б) Невозможному событию
В) Дополнительному событию
Решение. Из определения 5 следует, что правильным ответом является А.
1.4.1.13.1 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное произведению событий А и В?
А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
*Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Решение. Из определения 7 следует, что сказать “произведение событий А и В” – все равно, что сказать “событие А и В”, т.е. правильный ответ – Б.
1.4.1.13.2 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное сумме событий А и В?
*А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Решение . Из определения 6 следует, что сказать “сумма событий А и В” – все равно, что сказать “событие А или В”, т.е. правильный ответ – А.
1.4.1.13.3
Случайное событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. Из перечисленных ниже укажите случайные события, дополнительные к случайному событию А
I Курс акций компании на завтрашних торгах будет равен 26 руб.
II Курс акций компании на завтрашних торгах будет не выше 26 руб.
III Курс акций компании на завтрашних торгах превысит 26 руб.
А) Только I
Б) Только II
В) Только I и III
*Г) Ничего из перечисленного выше
Решение. Нередко проще самому написать правильный ответ, а затем посмотреть под какой буквой дан правильный ответ.
В символах школьной математики наше событие А = {курс акций на завтрашних торгах будет не ниже 25 рублей} =
Ясно, что ни одно из этих событий B, C, Dне совпадает с событием “не А
” = }