Свойства преобразований фурье. Фурье, преобразование. Быстрое преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье

Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье.

Линейность преобразования Фурье.

Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов причем то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (2.16).

Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности.

Пусть - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:

Подставам это выражение в формулу обратного преобразования фурье (2.18):

Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы

Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть - нечетная функция частоты:

Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.

Предположим, что для сигнала известно соответствие Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как Покажем, что

Доказательство очень простое. Действительно,

Модуль комплексного числа при любых равен единйце, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре).

Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная (k - некоторое вещественное число). Если то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же то сигнал «растягивается» во времени.

Оказывается, что если то

Действительно,

откуда следует формула (2.29).

Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд.

К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает Следующая задача.

Дан импульс отличный от нуля на отрезке и характеризуемый спектральной плотностью Требуется иайти спектральную плотность «обращенного во времени» сигнала который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что то

Выполнив замену переменной находим, что

Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.

Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность заданы. Будем изучать новый сигнал и Поставим цель найти его спектральную плотность - .

По определению,

Преобразование Фурье - линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членами, находим

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала.

Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной порядка. Легко доказать, что если , то

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель Поэтому принято говорить, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Рассмотренная функция является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.

Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы - физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала в выходной сигнал по следующему закону:

Здесь - фиксированный параметр.

Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое - при аргументе . Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.

Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований. Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(x) называется функция где К(х, ш) - фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существуете собственном или несобственном смысле). §1. Интеграл Фурье Всякая функция f(x), которая на отрезке [-f, I] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом Коэффициенты а*, и 6„ ряда (1) определяются по формулам Эйлера-Фурье: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов а» и оп, подведем под знаки интегралов cos ^ х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является т) О) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь Если функция/(ж) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-1,1] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-1,1] и продолжит се на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 21 (рис. 1). Поэтому, если функция f(x) (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно попытаться перейти к пределу при I +оо. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий: 1. f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох\ 2. функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, При выполнении условия 2 первое слагаемое правой части равенства (3) при I -* +оо стремится к нулю. В самом деле, Попытаемся установить, во что перейдет в пределе при I +оо сумма в правой, части (3). Положим так, что Тогда сумма в правой части (3) примет вид В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших I мало отличается от выражения которое напоминает интегральную сумму для функции переменного £ составленную для интервала (0, +оо) изменения Поэтому естественно ожидать, что при сумма (5) перейдет в интеграл Сдругой стороны, при фиксировано) из формулы (3) вытекает, что и мы получаем равенство Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой. Теорема 1. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, 6], то справедливо равенство При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции /(ж), значение интеграла в правой части (7) равно Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл - интегралом Фурье. Если воспользоваться формулой дня косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде Функции а(£), Ь(£) являются аналогами соответствующих коэффициентов Фурье ап и Ьп 2тг-периодической функции, но последние определены для дискретных значений п, вто время как а(0> НО определеныдля непрерывных значений £ G (-оо, +оо). Комплексная форма интеграла Фурье Предполагая /(х) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл Этот интеграл равномерно сходится для, так как и потому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от Но тогда С другой стороны, интеграл есть четная функция переменной так что Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так: Умножим равенство на мнимую единицу i и прибавим к равенству (10). Получим откуда, в силу формулы Эйлера будем иметь Это - комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по £ понимается в смысле главного значения по Коши: §2. Преобразование Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье Пусть функция f(x) является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси. Определение. Функция откуда, в силу формулы Эйлера, будем иметь называется преобразованием Фурье функции /(г) (спектральной функцией). Это - интегральное преобразование функции /(г) на интервале (-оо,+оо) с ядром Используя интегральную формулу Фурье получаем Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F(£) к /(х). Иногда прямое преобразование Фурье задают так: Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой Преобразование Фурье функции /(ж) определяют также следующим образом: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения Тогда, в свою очередь, При этом положение множителя ^ достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1"), либо в формулу (2"). Пример 1. Найти преобразование Фурье функции -4 Имеем Это равенство допуска ет дифференцирование по £ под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда { принадлежит любому конечному отрезку): Интегрируя по частям, будем иметь Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получаем откуда (С - постоянная интегрирования). Полагая в (4) £ = 0, найдем С = F(0). В силу (3) имеем Известно, что В частности, для) получаем, что Пример 2 (разред кокдемсетора через сопропиление). Рассмотрим функцию 4 Для спектрам ыюй функции F(£) получаем Отсюда (рис.2). Условие абсолютной интегри-руемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как) = cos ж, f(x) = е1, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует. Фурье-образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при |х| -+ +оо (как в примерах 1 и 2). 2.1. Косинус- и синус-преобразования Фурье Используя формулу косинуса, разности, перепишем интегральную формулу Фурье в следующем виде: Пусть f(x) - четная функция. Тогда так что изравснства (5) имеем В случае нечетной f(x) аналогично получаем Если f(x) задана лишь на (0, -foo), то формула (6) продолжает f(x) на всю ось Ох четным образом, а формула (7) - нечетным. (7) Определение. Функция называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x) Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc(£). Иными словами, функции / и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями. Определение. Функция называется синус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (7) получаем, что для нечетной функции f(x) т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями. Пример 3 (прамоугольный импульс}. Пусть f(t) - четная функция, определенная следующим образом: (рис. 3). Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла В силу формулы (9) имеем Рис.3 0 0 В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице. Поэтому из (12") получим 2.2. Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье Пусть периодическая с периодом 2т функция /(х) разлагается в ряд Фурье Это равенство можно записать в виде где - амплитуда колебания с частотой п, - фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции. Для непериодической функции f{x), заданной на (-оо, +оо), при определенньк условиях оказывается возможным представить ее интегралом Фурье осуществляющим разложение этой функции по всем частотам (разложение по непрерывному спектру частот). Определение. Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение (прямое преобразование Фурье функции f называется амплитудным спектром, а функция Ф«) = -агgSfc) - фазовым спектром функции /(«). Амплитудный спектр.А(£) служит мерой вклада частоты £ в функцию /(ж). Пример 4. Найти амплитудный и фазовый спектры функции 4 Находим спектральную функцию Отсюда Графики этих функций изображены на рис. 4. §3. Свойства преобразования Фурье 1. Линейность. Если и G(0 - преобразования Фурье функций /(х) и д(х) соответственно, то при любых постоянных а и р преобразованием Фурье функции a f{x) + р д(х) будет функция a Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем Таким образом, преобразование Фурье есть линейный оператор. Обозначая его через будем писать. Если F(£) есть преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции /(ж), то F(() ограничена при всех. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на всей оси - преобразование Фурье функции f(x). Тогда 3«fltsJ. Пусть f(x) - функция, допуска кнцэя преобразование Фурье, Л - дойств ительяов число. Фуниция fh(x) = f{z-h) называется сдвигом фунждии f{x). Пользуясь определен нем преобразования Фурье, показать, что Задача. Пусть функция f(z) имеет преобразование Фурье F(0> h - действительное число. Показать, что 3. Преобразование Фурье и ооерэции дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция f(x) имеет производную f"(x), также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что /(я) стремится к нулю при |ж| -» +оо. Считая f"(x) гладкой функцией, запишем Интегрируя по частям, будем иметь Внеинтегральноеслагаемое обращается в нуль (так как, и мы получаем Таким образом, дифференцированию функции /(х) отвечает умножение ее образа Фурье ^П/] на множитель Если функция f(x) имеет глад*«е абсолютно интефируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(x), стремятся к нулю при то, интегрируя по частям нужное число раз, получим Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачуинтегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений. Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции f^k\x) есть ограниченная функция от (свойство 2), то из соотношения (2) получаем для следующую оценку: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения Из этой оценки следует: чем больше функция f(x) имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю при. Замечание. Условие является достаточно естественным, поскольку обычная 1еория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и коней, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью. 4. Связь между скоростью убывания функции f(x) при |z| -» -f оо и гладкостью ее преобразования Фурм. Предположим, что не только /(х), но и ее произведение xf(x) является абсолютно интегрируемой функцйей на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье) будет дифференцируемой функцией. Действительно, формальное дифференцирование по параметру £ подынтегральной функции приводит к интегралу который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра Следовательно, дифференцирование возможно, и Таким образом, т. е. операция умножения f(x) на аргумент х переходит после преобразования Фурье в операцию t щ. Если вместе с функцией f(x) абсолютно интегрируемыми на всей оси Ох являются функции, то процесс дифференцирования можно продолжить. Получим, что функция имеет производные до порядка m включительно, причем Таким образом, чем быстрее функция f(x) убывает при тем более гладкой получается функция Теорема 2 (о сверле). Пусть- преобразования Фурье функций /,(ж) и f2(x) соответственно. Тогда причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно. Положим - х. Тогда будем иметь или, меняя порядок интегрирования, Функция называется сверткой функций и обозначается символом Формула (1) может быть теперь записана так: Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций f\(x) и f2(x) равно умноженному на у/2ж произведению преобразований Фурье свертываемых функций, Замечание. Нетрудно установить следующие свойства свертки: 1) линейность: 2) коммутативность: §4. Приложения преобразования Фурье 1. Пусть Р(^) - линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами, Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим " Рассмотрим дифференциальное уравнение где Р - введенный выше дифференциальный оператор. Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье у (О. а функция f(x) имеет преобразование /(£) Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси относительно откуда так что формально где символ обозначает обратное преобразование Фурье. Основное ограничение применимости этого метода связано со следующим фактом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит функции вида еЛ*, eaz cos fix, еах sin рх. Они не являются абсолютно интегрируемыми на оси -оо < х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

О преобразовании Фурье, его смысле, свойствах и применении написано много книг, поэтому здесь будут описаны только самые важные его характеристики. Эта статья - своего рода теоретическая выжимка, и для её понимания следует уже обладать базовыми знаниями в этой области. Она не является учебником по преобразованию Фурье (уже существуют такие учебники, написанные профессионалами своего дела). Скорее, эта статья поможет освежить в памяти уже полученные знания в этой области, а также поможет вспомнить полезные формулы, которые у многих людей быстро улетучиваются из головы (к этой группе отношусь и я:)).

Перед началом изложения хочу выразить благодарность Олегу Красноярову за присланное письмо, в котором были кратко рассмотрены альтернативные алгоритмы БПФ, менее известные, чем широко использующийся вариант. Практически полностью это письмо легло в основу подраздела .

Преобразование Фурье

Итак, преобразование Фурье бывает двух видов: дискретное и непрерывное. Непрерывное используется математиками в аналитических исследованиях, дискретное применяется во всех остальных случаях.

Непрерывное преобразование Фурье - преобразование, которое применяется к функции h(t) , заданной на интервале . В результате получается функция H(f) :

также существует обратное преобразование, которое позволяет по образу H(f) восстановить исходную функцию h(t) :

Очевидно, что образ H(f) является комплексной функцией вещественного аргумента, но также и h(t) может принимать не только вещественные, но и комплексные значения.

Применение преобразования Фурье является столь обширной темой, что этот вопрос не будет подниматься в этой статье. Можно только перечислить несколько областей: анализ сигналов, фильтрация, ускоренное вычисление корелляции и свертки, использование в алгоритмах быстрого умножения чисел, и во многих других случаях оно также находит свое применение.

Свойства непрерывного преобразования Фурье

В таблице ниже описана связь свойств прообраза h и образа H .

Если	То
h(t) вещественная	H(-f) = H · (f)
h(t) чисто мнимая	H(-f) = -H · (f)
h(t) четная	H(f) четная
h(t) нечетная	H(f) нечетная
h(t) вещественная и четная	H(f) вещественная и четная
h(t) вещественная и нечетная	H(f) чисто мнимая и нечетная
h(t) чисто мнимая и четная	H(f) чисто мнимая и четная
h(t) чисто мнимая и нечетная	H(f) вещественная и нечетная

Следующая таблица показывает, как меняется образ при изменении прообраза. Пусть запись обозначает, что H(f) является образом h(t) . Тогда имеют место следующие отношения:

Следующий набор свойств относится к операциям свертки и корелляции. Свертка функций g и h определяется, как . Корелляция функций g и h определяется, как . В таком случае имеют место следующие отношения:

Дискретное преобразование Фурье

С непрерывным преобразованием Фурье удобно работать в теории, но на практике мы обычно имеем дело с дискретными данными. Очень часто у нас дано не аналитическое выражение преобразуемой функции, а лишь набор её значений на некоторой сетке (обычно на равномерной). В таком случае приходится делать допущение, что за пределами этой сетки функция равна нулю, и аппроксимировать интеграл интегральной суммой:

В случае равномерной сетки эта формула упрощается. Также на равномерной сетке обычно избавляются от шага, чтобы получить безразмерную формулу:

Обратное преобразование в таком случае будет иметь вид

При внимательном рассмотрении можно заметить, что индекс при H n принимает N+1 значение, в то время как при h k - только N значений. Таким образом, как будто бы получается, что функция H содержит в себе больше информации, чем h . На самом деле это не так, поскольку значения H -N/2 и H N/2 совпадают.

Определенное таким образом, дискретное преобразование Фурье сохраняет практически все свойства непрерывного (разумеется, с учетом перехода к дискретному множеству).

Быстрое преобразование Фурье

Сколько операций требуется на проведение дискретного преобразования Фурье? Посчитав по определению (N раз суммировать N слагаемых), получаем величину порядка N 2 . Тем не менее, можно обойтись существенно меньшим числом операций.

Наиболее популярным из алгоритмов ускоренного вычисления ДПФ является т.н. метод Cooley-Tukey, позволяющий вычислить ДПФ для числа отсчетов N = 2 k за время порядка Nlog 2 N (отсюда и название - быстрое преобразование Фурье, БПФ). Этот способ чем-то неуловимо напоминает быструю сортировку. В ходе работы алгоритма также проводится рекурсивное разбиение массива чисел на два подмассива и сведение вычисления ДПФ от целого массива к вычислению ДПФ от подмассивов в отдельности.

Изобретение БПФ привело к потрясающему всплеску популярности преобразования Фурье. Целый ряд важных задач раньше решался за время порядка N 2 , но после проведения преобразования Фурье над исходными данными (за время порядка Nlog 2 N ) решается практически мгновенно. Преобразование Фурье лежит в основе цифровых корелляторов и методов свертки, активно используется при спектральном анализе (практически в чистом виде), применяется при работе с длинными числами.

Широко распространено ошибочное мнение о том, что метод Cooley-Tukey - единственный существующий метод выполнения БПФ, а само БПФ существует только для случая N = 2 k . На самом деле это не так - существуют алгоритмы БПФ для любого числа отсчетов. В одномерном случае, рассмотренном в этой статье, метод Винограда позволяет решить задачу для простого числа отсчетов N . Этот же алгоритм может быть легко обобщен на случай, когда N является степенью произвольного простого числа (а не только двойки), а также на случай, когда число N является произведением степеней простых чисел - т.е. N является произвольным числом, чье разложение на простые множители нам известно.

В двумерном случае можно использовать метод Нуссбаумера. Существуют и другие алгоритмы, как для одномерного, так и для двумерного случаев, но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки статьи (мне рекомендовали следующий источник - Блейхут, "Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов").

Как уже говорилось выше, существуют алгоритмы БПФ для произвольного числа отсчетов, но наиболее широкое распространение получил только алгоритм для случая N = 2 k , что является существенным ограничением. Почему же это произошло?

Причина этого в том, что алгоритм, построенный по методу Cooley-Tukey, обладает рядом очень хороших технологических свойств. Структура алгоритма и его базовые операции не зависят от числа отсчетов (меняется только число прогонов базовой операции "бабочка"). Алгоритм легко распараллеливается с использованием базовой операции и конвееризуется, а также легко каскадируется (коэфициенты БПФ для 2N отсчетов могут быть легко получены преобразованием коэфициентов двух БПФ по N отсчетов, полученных "прореживанием" через один исходных 2N отсчетов). Алгоритм прост и компактен, не требует дополнительной оперативной памяти и допускает обработку данных "на месте". Существует целый ряд оптимизированных именно для этого алгоритма DSP-процессоров (это одновременно и причина, и следствие).

Всё это и обусловило популярность в инженерно/программистской среде именно этого алгоритма, и, соответственно, выбора именно 2 k отсчетов при использовании БПФ. Правда, попутно это привело к незаслуженному забвению широкими массами альтернативных алгоритмов, некоторые из которых (что следует отметить) требуют меньше вещественных операций на один отсчет, чем алгоритм Cooley-Tukey. Например, мне доводилось читать описание алгоритма, который по этому показателю на 20-40% (в зависимости от числа отсчетов) превосходил алгоритм Cooley-Tukey.

© Сергей Бочканов, Олег Краснояров

На практике важна связь между рядом преобразований сигнала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спектральной плотности.

1. Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности).

К линейным операциям относят сложение, вычитание, усиление и ослабление сигналов, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детерминированных сигналов u 2 (t ), ... ; и0), ..., u s (t),

обладающих спектральными плотностями 5, (со), S 2 (со), ..., 5)(со), ..., 5^со), то суммарному (разностному) значению сигналов

соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей

Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (2.29) подставить сумму исходных сигналов.

В общем виде теорему линейности записывают следующим образом:

где a i - произвольные числовые коэффициенты; i = 0, 1,..., N.

2. Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u x (t) со спектральной плотностью 5, (со) задержан на некоторое время t c . В этом случае u 2 (t) = u x (t - t c)> и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.29) имеет вид

Введя новую переменную интегрирования т = t - t c , получим

Итак, сдвиг исходного сигнала во времени на некоторый интервал t c приводит к тому, что спектр задержанного сигнала оказывается равен спектральной плотности 5j(co), умноженной на комплексную экспоненту Амплитудный же спектр сигнала не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен единице). При этом фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -со? с, линейно зависящее от частоты. На практике сдвиг исходного сигнала во времени осуществляют при аудио- и видеозаписи. Теорема запаздывания показывает, что сколько бы долго ни хранилась такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

3. Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Если S { (со) - спектральная плотность сигнала u { (t), то спектральная плотность S 2 (со + Q), полученная путем сдвига исходного спектра но оси частот на величину Q, соответствует сигналу u 2 (t) = jQt . Действительно, согласно формуле (2.29)

Это преобразование спектра импульсного сигнала применяют в системах связи либо при переносе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Формула (2.34) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Q, равную частоте сдвига.

4. Изменение масштаба времени. Пусть в исходном сигнале u x (t) изменен масштаб времени так, что аргумент t умножен на постоянный коэффициент b и u 2 (t) = u x (bt). Если b > 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же 0 b 1, то исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это.

Спектральная плотность измененного во времени сигнала

Введя новую переменную т = Ы , получим откуда

Увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b раз сопровождается сжатием ширины его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности сигнала приводит к расширению его спектра.

5. Спектр произведения сигналов (теорема о свертке спектров). Прежде чем определить данный спектр, введем важное для теории сигналов понятие свертки двух функций. Рассмотрим скалярное произведение двух функций /(?) и h(t):

Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Интеграл (2.35) в математике и теории цепей называют сверткой (англ, convolution) двух функций или сигналов (где * - знак операции свертки функций).

Пусть сигналы /(f) и h(t) имеют спектральные плотности /(со) и #(со) соответственно. Тогда их произведение u{t) = f{t)h{t) будет характеризовать спектральная плотность

При выводе формулы (2.36) сигнал /(f) выражен через его спектральную плотность F(со) с заменой переменной со на т.

Согласно формуле (2.36) спектральная плотность произведения двух сигналов есть свертка их спектральных плотностей (умноженная на 1/(2л)), т.е. свертка, осуществленная ужй в частотной области. Данное соотношение имеет чрезвычайно важное значение в теории связи. Оно связывает спектральный и временной подходы к анализу импульсных сигналов и служит для целей исследования прохождения подобных сигналов через линейные и линейно-параметрические цепи.

Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т.е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций:

Теорема Рэлея и равенство Парсеваля. Приняв в фломуле (2.36) значение частоты со = 0, приходим к выводу известной в математике теоремы {обобщенной формулы ) Рэлея для сигналов

Здесь учтено соотношение (2.32), согласно которому //(-со) = Н*(со). Легко запоминающаяся трактовка формулы (2.37) такова: скалярное произведение двух непрерывных сигналов с точностью до коэффициента 1/(2тг) пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Формула Рэлея относится к классу обобщенных функций и обладает важным положением, касающимся спектральных свойств ряда неинтегрируе- мых сигналов.

При f(t) = h(t) = u(t) из теоремы Рэлея вытекает равенство Парсеваля

6. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Умножим исходный непрерывный сигнал u(t)> спектральная плотность S(со) которого известна, на гармоническую функцию единичной амплитуды (для упрощения примем начальную фазу гармонического сигнала равной нулю): f(t) = u(t)cos($ 0 L

Посмотрим, что произошло со спектром при таком преобразовании:

Итак, спектр исходного сигнала при его умножении на гармоническую функцию «раздвоился» - распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня, чем исходный (1/2 перед каждым из слагаемых), смещенных на частоту сигнала ±со 0 соответственно влево (со - со 0) и вправо (со + со 0) по оси частот. Несложно показать, что если в гармоническом сигнале имеется начальная фаза ср 0 , то при нервом слагаемом в формуле (2.39) будет множитель e j% , а при втором - е

• Джон Рэлей (J. Rayleigh, 1842-1919) - британский физик и механик.
• Марк-Антуан Парссваль (Marc-Antoine Parseval dcs Chenes, 1755-1836) - французскийматематик.

Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые.

Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы:

• FT, DTF, DTFT - в чем отличия и как совершенно разные казалось бы формулы дают столь концептуально похожие результаты?
• Как правильно интерпретировать результаты быстрого преобразования Фурье (FFT)
• Что делать если дан сигнал из 179 сэмплов а БПФ требует на вход последовательность по длине равную степени двойки
• Почему при попытке получить с помощью Фурье спектр синусоиды вместо ожидаемой одиночной “палки” на графике вылезает странная загогулина и что с этим можно сделать
• Зачем перед АЦП и после ЦАП ставят аналоговые фильтры
• Можно ли оцифровать АЦП сигнал с частотой выше половины частоты дискретизации (школьный ответ неверен, правильный ответ - можно)
• Как по цифровой последовательности восстанавливают исходный сигнал

Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл , комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций , плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака . Не знаете - не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение”

Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье - это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w):

Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье - такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика:

График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля - “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ).

Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные - перемножаются. Первое выполняется легко, а второе - сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом - все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20.

Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим:). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе.

Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся - списком из семи пунктов справа:

Первое из этих свойств - линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2:

Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике - это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины.

Второе свойство преобразования Фурье - это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр.

Третье свойство - растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности.

Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот - поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно.

Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi...pi) - нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра - для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является).

Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии - остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является).

Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”:

Гребенка Дирака - это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Вместо непрерывной функции после подобного перемножения получается последовательность дельта-импульсов определенной высоты. При этом согласно свойству 5 преобразования Фурье, спектр получившегося дискретного сигнала есть свертка исходного спектра с соответствующей гребенкой Дирака. Несложно понять, что исходя из свойств свертки, спектр исходного сигнала при этом как бы “копируется” бесконечное число раз вдоль оси частот с шагом 1/T, а затем суммируется.

Заметим, что если исходный спектр имел конечную ширину и мы использовали достаточно большую частоту дискретизации, то копии исходного спектра не будут перекрываться, а следовательно и суммироваться друг с другом. Несложно понять что по подобному “свернутому” спектру будет легко восстановить исходный - достаточно будет просто взять компоненту спектра в районе нуля, “обрезав” лишние копии уходящие на бесконечность. Простейший способ это сделать - это домножить спектр на прямоугольную функцию, равную T в диапазоне -1/2T...1/2T и нулю - вне этого диапазона. Подобный Фурье-образ соответствует функции sinc (Tx) и согласно свойству 4, подобное умножение равнозначно свертке исходной последовательности дельта-функций с функцией sinc(Tx)

То есть с помощью преобразования Фурье мы получили способ легко восстановить исходный сигнал из дискретизированного по времени, работающий при условии что мы используем частоту дискретизации, по крайней мере вдвое (из-за наличия в спектре отрицательных частот) превышающую максимальную частоту присутствующую в исходном сигнале. Этот результат широко известен и называется “теорема Котельникова / Шеннона-Найквиста” . Однако, как несложно теперь (понимая доказательство) заметить, этот результат вопреки широко распространенному заблуждению определяет достаточное , но не необходимое условие для восстановления исходного сигнала. Все что нам требуется - это добиться того, чтобы интересующая нас часть спектра после дискретизации сигнала не накладывалась друг на друга и если сигнал достаточно узкополосный (имеет малую “ширину” ненулевой части спектра), то этого результата часто можно добиться и при частоте дискретизации намного ниже чем удвоенная максимальная частота сигнале. Подобная техника называется “undersampling” (субдискретизация, полосовая дискретизация) и довольно широко используется при обработке всевозможных радиосигналов. Например, если мы берем FM-радио действующее в полосе частот от 88 до 108 МГц, то для его оцифровки можно использовать АЦП с частотой всего 43.5 МГц вместо предполагающихся по теореме Котельникова 216 МГц. При этом, правда, понадобится качественный АЦП и хороший фильтр.

Замечу, что “дублирование” высоких частот частотами меньших порядков (алиасинг) - непосредственное свойство дискретизации сигнала, необратимо “портящее” результат. Поэтому если в сигнале в принципе могут присутствовать частоты высокого порядка (то есть практически всегда) перед АЦП ставят аналоговый фильтр, “отсекающий” все лишнее непосредственно в исходном сигнале (так как после дискретизации делать это уже будет поздно). Характеристики этих фильтров, как аналоговых устройств, неидеальны, поэтому некоторая “порча” сигнала при этом все равно происходит, и на практике из этого следует что наибольшие частоты в спектре, как правило, недостоверны. Чтобы уменьшить эту проблему, сигнал нередко сэмплируют с завышенной частотой дискретизации, ставя при этом входной аналоговый фильтр на меньшую полосу пропускания и используя только нижнюю часть теоретически доступного частотного диапазона АЦП.

Еще одно распространенное заблуждение, кстати, - это когда сигнал на выходе ЦАП рисуют “ступеньками”. “Ступеньки” соответствуют свертке дискретизированной последовательности сигналов с прямоугольной функцией ширины T и высоты 1:

Спектр сигнала при таком преобразовании умножается на фурье-образ этой прямоугольной функции, а у подобной прямоугольной функции это снова sinc(w), “растянутый” тем сильнее, чем меньше ширина соответствующего прямоугольника. Спектр дискретизированного сигнала при подобном “ЦАП” поточечно умножается на этот спектр. При этом ненужные высокие частоты с “лишними копиями” спектра обрезаются не полностью, а верхняя часть “полезной” части спектра, напротив, ослабляется.

На практике так, естественно, никто не делает. Существует много разных подходов к построению ЦАП, но даже в наиболее близких по смыслу ЦАП взвешивающего типа прямоугольные импульсы в ЦАП напротив выбираются по возможности короткими (приближающимися к настоящей последовательности дельта-функций) чтобы избежать излишнего подавления полезной части спектра. “Лишние” частоты в получившемся широкополосном сигнале практически всегда гасят, пропуская сигнал через аналоговый фильтр низких частот, так что «цифровых ступенек» нет ни «внутри» преобразователя, ни, тем более, на его выходе.

Однако вернемся обратно к преобразованию Фурье. Описанное выше преобразование Фурье, примененное к заранее дискретизированной последовательности сигналов называется преобразованием Фурье дискретного времени (DTFT). Спектр получаемый подобным преобразованием всегда 1/T-периодичен, поэтому спектр DTFT полностью определяется её значениями на отрезке }