Вероятностное пространство
1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.
Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.
Результат - это исход эксперимента.
Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.
Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.
Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.
Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие
Число очков, скажем, больше 3.
Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.
Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.
2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.
3. Построим модель случайного эксперимента.
Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.
Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,
Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.
Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит
Элементарное событие: оно содержит только один исход.
Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов
Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.
Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.
Несовместные события: они не имеют общих исходов.
Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.
Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.
Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:
Пустое множество 0 принадлежит этому классу;
Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;
Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.
Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.
Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий
Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.
Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.
Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:
Действительное число;
Для любого
(вероятность достоверного события);
Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на
Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .
4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.
Свойство
Доказательство.
Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,
Свойство
Доказательство.
Несовместимы и Следовательно, Отсюда
5. Конструктивные способы задания вероятностей.
Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.
5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.
За вероятность примем предел
5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то
где - общее число исходов.
5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять
где - мера области - мера области
5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение
при условии
События независимы, если
Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .
Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?
Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):
вероятность выигрыша первого игрока
вероятность выигрыша второго игрока
вероятность выигрыша третьего игрока
Следовательно, шансы игроков откосятся как
Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?
Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?
Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?
§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.
Историческая справка:
Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века) – Гаусса и Пуассона.
Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).
Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).
Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов , т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.
Понятие случайного эксперимента
Примеры случайных экспериментов:
1. Однократное подбрасывание монеты.
2.Однократное подбрасывание игральной кости.
3. Случайный выбор шара из урны.
4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.
5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.
Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.
Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.
Наблюдённой частотой события А
()называется
отношение числа появлений события А
(
)
к общему числу испытаний (N):
Например, при бросании правильной монеты дробь
при
(
-количество орлов, N
–общее число бросаний
)
Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .
При
(наблюденная частота события стремится
к его вероятности при росте количества
опытов, то есть при n
).
Определение 1.1: Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов .
Пример построения пространства элементарных исходов:
Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:
Содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.
Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):
Рассмотрим следующую схему
Дискретные пространства – это пространства, в которых можно выделить отдельные исходы. В дискретных конечных можно точно указать их число.
Примеры дискретных пространств элементарных исходов
Эксперимент: однократное подбрасывание монеты
,
где
Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)
Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.
Замечание : если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.
Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.
Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.
Модель можно строить по-разному:
либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та
,
где
В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.
либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.
,
где
В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.
Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию . Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом
(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)
Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.
(
Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.
Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для премирования премиями различными по сумме . Результат эксперимента : конкретная упорядоченная пятёрка. При выборе нам важен не только состав, но и порядок выбора, т.к. от того каким человек выбран зависит размер премии.
1860480
(столько упорядоченных различных
«пятёрок» можно получить из 20 человек).
Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.
(
Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.
Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Обобщённое правило умножения:
Пусть нужно совершить
m
независимых действий причём первое
действие можно совершить
способами, второе -
способами и т.д. ….
m
-ое
действие
способами. Тогда всю последовательность
действий можно осуществить
способами
Перестановки .
Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.
-число перестановок из n
элементов
Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения
Размещения.
Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m
Число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).
Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. , а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.
Сочетания.
Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.
Сочетания и размещения связаны следующим образом:
(на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,
число сочетаний из n
элементов по m (число
вариантов такого не упорядоченного
выбора
Пример непрерывного пространства элементарных исходов
Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).
(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.
События и операции над ними:
Определение 1.2
Любой набор элементарных исходов называют событием. С обытия обозначаются большими латинскими буквами A,B,C или буквами с индексами A 1 ,A 2 ,A 3 и т.д.
Часто используется следующая терминология:
говорят, что произошло (или наступило)
событие А, если в результате опыта
появился какой-либо из элементарных
исходов
.
Примеры событий
Вернёмся к эксперименту, состоящему в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим следующие события:
A={выпадение чётного числа очков}
В={выпадение нечётного числа очков}
C={выпадение числа очков кратного 3}
Тогда, согласно введённым ранее обозначениям,
Определение 1.3
Событие, состоящее из всех элементарных
исходов, т.е. событие, которое обязательно
происходит в данном опыте, называют
достоверным
. Его обозначают
также как и пространство элементарных
исходов.
Пример достоверного события : при бросании игральной кости выпадает не больше 6 очков или при бросании игральной кости выпадёт хотя бы одно очко.
Определение 1.4
Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным. Его обозначают символом .
Пример невозможного события: при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна 20.
Операции над событиями:
фразе произошло хотя бы одно из событий А или В).
Определение 1.5 События А и В называют несовместными, если их пересечением является невозможное событии, т.е. AB= .
Пример задачи на операции над событиями:
По мишени производят три выстрела. Рассмотрим события
{Попадание
при i-ом выстреле}, i=1..3
Выразить с помощью теоретико-множественных операций через события A i следующие события:
А={три
попадания}=
B={три
промаха}=
C={хотя
бы одно попадание}=
D={хотя
бы один промах}=
E={не
менее двух попаданий}=
+
+
+
F={не
больше одного попадания}=
++
+
G={попадание
в мишень не раньше, чем при третьем
выстреле}=
Идея
: дальше
будут задачи такого типа: вероятности
событий
даны и требуется, зная эти вероятности,
найти вероятности событий A,
B, C, D,
E, F, G
§2. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Для количественного сравнения шансов наступления событий вводится понятие вероятности.
Определение 2.1 Пусть каждому событию A поставлено в соответствие число P (A ). Числовую функцию P называют вероятностью или вероятностной мерой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома неотрицательности
Аксиома нормированности
Аксиома сложения (расширенная) изучается некоторое случайное событие ...
Добавился новый тип ошибок – недостаточное количество элементов . В результате проведенных экспериментов выяснено, что дети, страдающие... конкретными примерами . Изучая характер влияния на произвольное внимание детей специального обучения элементарным ...
Образовательная программа основного общего образования Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения
Образовательная программаРезультатов (исходов ) простейших случайных экспериментов ; находить вероятности простейших случайных событий ; ... Элементы логики, статистики,
Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным . (Пример: подброшенный вверх камень обязательно упадет вниз. Повышение жизненного уровня вызывает рост потребления товаров. Поломка системного блока выводит из строя компьютер.)
Эксперимент считается случайным , если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно. ТВ исследует именно случайные эксперименты, вернее модели экспериментов со случайными исходами . При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Будем рассматривать событие как результат испытания. Примеры:1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько частей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие. 2. Извлечение шара из урны – испытание, появление шара определенного цвета – событие. 3. Сдача экзамена – испытание (случайный эксперимент), получение оценки – событие.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике
И математической статистике.. Для специальности Управление информационными.. ресурсами..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики,
занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует
Пространство элементарных событий
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий
События
Совместные и несовместные события
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д
Свойства операций над событиями
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.
Алгебра и сигма-алгебра событий
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует
Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если, то
Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным
Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.
Во многих случаях более удобным ока
Геометрические вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос
Аксиоматическое построение теории вероятностей
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб
Полная группа событий
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество
Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность события, вычи
Формула сложения вероятностей
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий
.
Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и нез
Формула полной вероятности
Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий
Формула Байеса
Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ
Правила суммы и произведения
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих
Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди
Понятие потока событий
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью
Событий с использованием функций и плотностей распределения
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одн
Закон распределения дискретной случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()
Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо
Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения.
1. Функция распределения принимает значения из промежутка
Свойства плотности распределения вероятностей
1.
Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то е
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х
Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций,
Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл
Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен
Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия
Закон распределения случайной величины числа появлений события в схеме Бернулли име
Распределение Пуассона
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п
Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:
Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется
Нормальное распределение и его свойства
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами
Свойства функции Гаусса
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.
Исследуем поведение функции плотности вероятности
Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках это
Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм»
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математичес
Многомерные случайные величины
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр
Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар
Совместная функция распределения двух случайных величин
Функция, определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что
Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству:
.
2.
Непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей
Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи
Свойства коэффициента корреляции
1.
2. Если, то
Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем
Теорема Чебышева
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был
Центральная предельная теорема
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.
Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности
Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-ли
Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида:
· Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось
Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы.
Полигоном частот
Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы
Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п
Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.
Выборочным средним
Надежность и доверительный интервал
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неи
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Тре
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему к
Проверка статистических гипотез
На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статис
Критические точки
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот
Критерий согласия Пирсона о виде распределения
Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую г
(УИР). Понятие о регрессионном анализе
Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимос
Понятие о регрессионном анализе
При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н
Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо
Показательная модель
Показательная функция
может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос
(УИР). Понятие о корреляционном анализе
Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон
А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.
При использовании линейной регрессии в каче
Оценка значимости уравнения регрессии в целом
Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф
Оценка значимости отдельных параметров регрессии
По каждому из параметров определяется его стандартная ошибка. Стандартная ошибка линейного коэффициента регрессии о
Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен
(УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в
Однородные цепи Маркова
Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния
Переходные вероятности. Матрица перехода
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния
Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния
Цепи Маркова с непрерывным временем
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные
Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний.
В случае марковской
Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при
Системы массового обслуживания
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО).
Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи
А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен
Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что данная система (очередь + обслужив
Многоканальные модели
Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами.
В многоканальных
ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятностный эксперимент. Предмет и задачи теории вероятностей.
Результаты любого эксперимента в той или иной степени зависят от комплекса условий S, при которых данный эксперимент производится. Эти условия либо объективно существуют, либо создаются искусственно (т.е. производится планирование эксперимента).
По степени зависимости результатов эксперимента от условий, при которых он производился, все эксперименты можно разделить на два класса: детерминированные и вероятностные.
o Детерминированные эксперименты- это эксперименты, результаты которых можно предвидеть заранее на основании естественнонаучных законов исходя из данного комплекса условий S.
Примером детерминированного эксперимента является определение ускорения, получаемого телом массы m под воздействием силы F, т.е.. Искомая величина однозначно определяется комплексом условий эксперимента (т.е. массой тела m и силой F).
Детерминированными являются, например, все процессы, основанные на использовании законов классической механики, согласно которым движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело.
o Вероятностные эксперименты (стохастические или случайные)- эксперименты, которые можно повторять произвольное число раз при соблюдении одних и тех же стабильных условий, но, в отличие от детерминированного, исход вероятностного эксперимента неоднозначен, случаен. Т.е. нельзя заранее на основании комплекса условий S предвидеть результат вероятностного эксперимента. Однако, если вероятностный эксперимент повторять многократно при одних и тех же условиях, то совокупность исходов таких экспериментов подчиняется определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей (а точнее их математических моделей) и занимается теория вероятностей. Приведем несколько примеров вероятностных экспериментов, которые в дальнейшем будем называть просто экспериментами.
Пример 1
Пусть эксперимент заключается в однократном подбрасывании симметричной монеты. Этот эксперимент может закончиться одним из исключающих друг друга исходов: выпадение герба или решетки (решки). Если точно знать начальные скорости поступательного и вращательного движения и начальное положение монеты в момент броска, то можно предвидеть результат этого эксперимента по законам классической механики. Т.е. он был бы детерминированным. Однако исходные данные эксперимента не могут быть зафиксированными и постоянно изменяются. Поэтому говорят, что результат эксперимента неоднозначен, случаен . Тем не менее, если будем подбрасывать одну и ту же симметричную монету многократно по достаточно длинной траектории, т.е. по возможности сохраним стабильными некоторые условия эксперимента, то совокупное число его исходов подчиняется определенным закономерностям: относительная частота выпадения герба , частоте выпадение бросков (n-число бросков, m 1 -число выпадений герба, m 2 -решки).
Пример 2
Предположим, что мы заполняем карточку спортлото. До проведения тиража выигрышей невозможно предсказать, сколько номеров будет правильно угадано. Однако опыт проведения тиража спортлото говорит о том, что средний процент игроков, угадавших m (1≤m≤6) номеров, колеблется около некоторой постоянной величины. Эти «закономерности» (средний процент правильного угадывания данного количества номеров) используются для расчета фондов выигрыша.
Вероятностные эксперименты имеют следующие общие черты: непредвиденность результата; наличие определенных количественных закономерностей при их многократном повторении при одинаковых условиях; множество возможных исходов.
o Предметом теории вероятностей является количественный и качественный анализ математических моделей вероятностных экспериментов, называемый статической обработкой экспериментальных данных.
o Теория вероятностей- наука, занимающаяся анализом математических моделей для принятия решений в условиях неопределенности.
События и операции над ними.
Относительные частоты и их свойства
Первичным понятием теории вероятностей, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента.
Пример
1. Предположим, что бросается симметричная монета. Тогда (герб и решка).
2. Игральная кость 
.
3. Бросаются две монеты .
4. Бросаются две игральных кости . Число элементарных исходов 36.
5. На числовой оси w бросается наудачу точка.
6. На бросаются две точки .
y
Определение. Событием называется произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А.
Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента происходит элементарный исход w A, т.е. благоприятствующий событию А.
Рассмотрим пример 2. 
, –событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков; –событие, состоящее в выпадении четного числа очков.
o Все пространство элементарных исходов Ω, если взять в качестве события, называют достоверным событием, поскольку оно происходит в любом эксперименте (всегда).
o Пустое множество (т.е. множество, которое не содержит ни одного элементарного исхода) называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит.
Все остальные события, кроме Ω и , называются случайными.
Операции над событиями
0.1 Суммой событий А и В называется объединение этих множеств А B.
–событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.
0.2 Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. А В. Обозначается как АВ.
АВ–событие, когда А и В происходят одновременно.
0.3 Разностью событий А и В называется разность множеств А\В.
А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.
o События А и В называются несовместимыми
, если . Если А и В несовместимы, то будем обозначать 
.
o Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В, т.е. (когда происходит А, происходит В).
o Событие называется противоположным к событию А.
Пример 2. . происходит тогда, когда А не происходит.
o Говорят, что события Н 1 ,Н 2 ,…,Н n образуют полную группу , если Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (т.е. Н 1 , Н 2 , Н n –несовместимы, т.е. Н i Н j = , если i≠j).
Например, А и образуют полную группу: .
Предположим, что производится некоторый случайный эксперимент, результат которого описывается пространством Ω. Произведем N экспериментов. Пусть А-некоторое событие (), N(A)-число тех экспериментов, в которых произошло событие А.
Тогда число 
называется относительной частотой события А.
Аксиомы теории вероятностей
Пусть Ω-пространство элементарных исходов. Предположим, что F-некоторый класс подмножеств Ω.
o Событие-это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А , так что при этом выполняется аксиомы:
Аксиома 1.
Аксиома 2. ,т.е. вероятность достоверного события равна 1.
Аксиома 3.
(счетной аддитивности) Если и 
, то (для несовместимых событий).
Элементы комбинаторики
Лемма 1. Из m элементов а 1 ,…,а m первой группы и n элементов b 1 ,…,b n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (а i , b j), содержащих по одному элементу из каждой группы.
Доказательство:
Всего имеем m∙n пар.
Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=4∙9=36.
Лемма 2. Из n 1 элементов первой группы a 1 , а 2 ,…, а n 1 ,
n 2 элементов второй группы b 1 , b 2 ,…, b n 2 ,
n 3 элементов k-ой группы x 1 , x 2 ,…, x nk
можно составить ровно n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы.
1. При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1).
2. Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов . Рассмотрим комбинацию 
как и . Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n 1 n 2 n k . По Лемме 1 число комбинаций из k+1 элементов n 1 n 2 … n k +1 .
Пример. При бросании двух игральных костей N=6∙6=36. При бросании трех костей N=6∙6∙6=216.
Геометрические вероятности
Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на 
.
-геометрическая вероятность на прямой.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:
-геометрическая вероятность на плоскости.
Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством:
-геометрическая вероятность в пространстве.
Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.
Свойства вероятности
Свойство 1.
Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . 
.
Свойство 2.
Вероятность достоверного события равна 1, т.е. , 
.
Свойство 3. Для любого события . , т.к. , то и следовательно .
Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:
Случайные величины
o Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Пример. Пусть дважды подбрасывается монета. Тогда .
Рассмотрим случайную величину Х–число выпадений герба на пространстве элементарных исходов Ω. Множество возможных значений случайной величины:2,1,0.
| w | (г,г) | (г,р) | (р,г) | (р,р) |
| X(w) |
Множество значений случайной величины обозначается Ω х. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.
o Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.
Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения-это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.
Простейший поток событий.
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.
o Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.
Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.
o Поток событий называется стационарным , если вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t зависит только от k и t.
Таким образом, свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1, 7), (10, 16), (Т, Т+6) одинаковой длительности t=6 единиц времени равны между собой.
o Поток событий называется ординарным ,если за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Таким образом, свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события в один и тот же момент времени практически равна нулю.
o Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последствия , если имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. Таким образом, свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при произвольном предположении о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (т.е. сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Следовательно, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
o Поток событий называется простейшим или пуассоновским , если он стационарный, ординарный, без последствия.
o Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за промежуток времени длительности t определяется по формуле:
, . Формула Пуассона.
Эта формула отражает все свойства простейшего потока, поэтому ее можно считать математической моделью простейшего потока.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
По условию λ=2, t=5, k=2. По формуле Пуассона
А) -это событие практически невозможно.
Б) -событие практически невозможно, т.к. события «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов»-несовместимы.
В) -это событие практически достоверно.
Свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна 0.DC=0.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .
Случайная величина Х-число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Х i -число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.
Т.к. MX 1 =p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .
Пример. Проводятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X-числа появлений события в этих испытаниях.
n=10; p=0,6; q=0,4.
o Начальным моментом порядка к случайным величинам Х называют математическое ожидание случайной величины Х k:
. В частности, , 
.
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии 
можно записать так: .
Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ.
o Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ) k .
. В частности
Следовательно, .
Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Замечание. Моменты, определенные выше, называют теоретическими . В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.
Системы случайных величин.
o Вектор , где -случайные величины, называются n-мерным случайным вектором.
Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IR n в n-мерное действительное пространство IR n .
o Функция
Называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .
Свойство 4.
o Случайный вектор называется дискретным , если все его компоненты-дискретные случайные величины.
o Случайный вектор 
называется непрерывным
, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения 
.
Свойства корреляции.
Свойство 1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .
Свойство 2.
Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. 
с вероятностью 1.
Свойство 3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.
Пусть Х и Y-независимы, тогда по свойству математического ожидания
o Две случайные величины Х и Y называют коррелированными , если их коэффициент корреляции отличен от нуля.
o Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.
Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.
Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости.
o Коэффициентом асимметрии
случайной величины Х называется число 
Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.
o Эксцессом случайной величины Х называется число .
Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.
Производящие функции
o Под целочисленной случайной величиной будем понимать дискретную случайную величину, которая может принимать значения 0,1,2,…
Таким образом, если случайная величина Х-целочисленная, то она имеет ряд распределения
Ее производящей функцией называется функция 
Распределение «xи квадрат»
Пусть X i , -нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидании каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение (или дисперсия)-единице. Тогда сумма квадратов этих величин 
распределена по закону Х 2 с k=n степенями свободы. Если же эти величины Х i связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.
Плотность этого распределения , где 
-гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!
Отсюда видно, что распределение «x и квадрат» определяется одним параметром-числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Распределение Стьюдента
Пусть Z-нормально распределенная величина, причем M(Z)=0, G 2 =1, т.е. Z~N(0,1), а V-независимая от Z величина, которая распределена по закону Х 2 с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В.Госсета), с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Плотность распределения случайной величины t имеет вид 
, .
Случайная величина t имеет математическое ожидание Mt=0, (k>2).
Распределение Фишера
Если U и V-независимые случайные величины, распределенные по закону Х 2 со степенями свободы k 1 и k 2 , то величина имеет распределение Фишера F со степенями свободы k 1 и k 2 . Плотность этого распределения 
, где
.
Распределение Фишера F определяется двумя параметрами-числами степеней свободы.
Характеристические функции
0. 1 Случайная величина , где i-мнимая единица, т.е. ,а X и Y-действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной. (i 2 = –1).
0. 2 Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин.
0. 3 Комплекснозначные случайные величины Z 1 =X 1 +iY 1 и Z 2 =X 2 +iY 2 называются независимыми, если независимы соответственно .
Законы больших чисел
Случайные функции
o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.
Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.
o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.
Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.
На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.
Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции , соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).
Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция 
-совместная плотность распределения системы случайных величин 
, где t 1 и t 2 -произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.
o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин , где X(t i)-сечение процесса, отвечающее моменту времени t i , но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.
o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.
Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию 
-математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса .
Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них-это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t 1) и X(t 2). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.
Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.
У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X 1 (t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X 2 (t). У первого процесса зависимость между сечениями X 1 (t) и будет больше, чем зависимость для сечений X 2 (t) и второго процесса, т.е. 
убывает медленнее, чем 
, при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.
Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.
Свойство 1. Свойство симметричности .
Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое , то от этого корреляционная функция не изменится, т.е. .
Результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям:
Наблюдаемый результат.
- относительная частота реализаций эксперимента .
Точное описание природы случайного эксперимента влечет определение элементарных исходов , случайных событий и их вероятности , случайных величин и т. п.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Случайный эксперимент" в других словарях:
У этого термина существуют и другие значения, см. Эксперимент (значения). Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия
Эрвин Шрёдингер Кот Шрёдингера (кошка Шрёдингера) герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим … Википедия
Эксперимент - (лат. experimentum опыт, доказательство) 1) следственный, самостоятельное следственное действие. Состоит в воспроизведении обстановки и иных обстоятельств определенного события и совершении необходимых опытных действий в целях проверки… … Криминалистическая энциклопедия
ЭКСПЕРИМЕНТ в социальных дисциплинах - один из методов эмпирических исследований, применяемый с целью исследования причинных связей или проверки гипотезы. Он является основой так называемых каузальных исследований. История Э. начинается с работ Дж.С. Милля. Милль исходил из того, что … Социология: Энциклопедия
Заданное множество, конечное или бесконечное. Любой случайный эксперимент можно интерпретировать как случайный выбор индивидуума из бесконечной Г. с. При статистическом изучении из Г. с., характеризуемой функцией распределения вероятностей,… … Геологическая энциклопедия
Случайное событие подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в… … Википедия
Функция вероятности … Википедия
Парадокс Эйнштейна Подольского Розена (ЭПР парадокс) попытка указания на неполноту квантовой механики с помощью мысленного эксперимента, заключающегося в измерении параметров микрообъекта косвенным образом, не оказывая на этот… … Википедия
ГОСТ 24026-80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения - Терминология ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения оригинал документа: 34. Адекватность математической модели Адекватность модели Соответствие математической модели экспериментальным данным… …
РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов - Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации