При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.

Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z:

(7.9)

Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа.

На основании формулы (7.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует Если же, например, , то

Рассмотрим случай, когда в ряде (7.9) число слагаемых бесконечно велико.

Возьмём дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем

Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а-некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл при |Z|>a

Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов ().

Действительно, умножим обе части ряда (7.9) на множитель :

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши:

Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:

(7.11)

Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.

Важнейшие свойства Z-преобразования:

1. Линейность. Если и - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.9).

2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат:

Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области.

3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:

(7.13)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.13) принято вводить дискретную свёртку – последовательность чисел общий член которой:

Подобную дискретную свёртку называют линейной

Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:

(7.15)

Итак свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.

Часть

Раздел 1.Каналы электросвязи

Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация

Каналом связи – называется совокупность средств, предназначенных для передачи сообщений (под “средством” понимают и технические устройства, и линию связи – физическую среду, в которой распространяется сигнал между пунктами связи).

Классификация каналов связи возможна с использованием различных признаков.

1) В зависимости от назначения систем каналы связи делят на: телефонные, телевизионные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, телеметрические, смешанные и т.п.

2) В зависимости от того, распространяется ли сигнал между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям, выделяют каналы радио и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно-оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т. п.).

3) Более существенна классификация каналов электрической связи по диапазону используемых частот. Так на современных симметричных кабельных линиях связи применяют сигналы, занимающие полосы частот в диапазоне, ограниченном сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные мероприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют увеличить верхний предел используемого диапазона частот до тысячи килогерц. Коаксиальные кабели, являющиеся основой сетей магистральной дальней связи, пропускают в настоящее время диапазон частот до сотен мегагерц.

На воздушных проводных линиях используют частоты не выше 150 кГц, ибо на более высоких частотах в этих линиях сильно сказывается мешающее действие аддитивных помех и резко возрастает затухание в линии.

Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в частично ограниченном (например, землёй и ионосферой) пространстве. В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от до Гц. Этот диапазон принято в соответствии с десятичной классификацией подразделять следующим образом.

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z-преобразование, играю­щее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отно­шению к непрерывным сигналам. В данном параграфе изла­гаются основы теории этого функционального преобразова­ния и некоторые его свойства.

Определение z -преобразования. Пусть - числовая последовательность, конечная или бесконечная, со­держащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицатель­ным степеням комплексной переменнойz :

Назовем эту сумму, если она существует, z -преобразова­нием последовательности{х к }. Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, иссле­дуя ихz-преобразования обычными методами математиче­ского анализа.

На основании формулы (2.113) можно непосредственно найти z-преобразования дискретныхсигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единс твенным отсчетом соответствует .

Если же, например,

Сходимость ряда. Если в ряде (2.113) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходи­мость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

при любых . ЗдесьМ > 0 иR 0 > 0 - постоянные ве­щественные числа. Тогда ряд (2.113) сходится при всех зна­ченияхz, таких, что |z| >R 0 . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменнойz, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим,например,дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчетами и служа­щий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любыхzв кольце .

Сум­мируя прогрессию, получаем

На границе области аналитичности при z= 1эта функция имеет единственный простой полюс.

Аналогично получается z-преобразование бесконечного дис­кретного сигнала , гдеа - некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл в кольцевой области .

z -преобразование непрерывных функций. Полагая, что от­счеты есть значения непрерывной функцииx (t ) в точках , любому сигналуx (t ) можно сопоставить егоz-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

Например, если , то соответствующееz-преобразование

.

является аналитической функцией при .

Обратное z -преобразование. ПустьX (z) - функция ком­плексной переменнойz, аналитическая в кольцевой области |z| >R 0 . Замечательное свойствоz-преобразования состоит в том, что функцияX (z) определяет всю бесконечную совокупность отсчетов .

Действительно, умножим обе части ряда (2.113) на множитель :

. (2.115)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произ­вольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z). При этом воспользуемся –фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

.

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером т, поэтому

Данная формула называется обратным z -преобразованием .

Связь с преобразованиями Лапласа и Фурье . Определим при сигнал вида идеальнойМИП:

.

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение

которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку . Если же положить , то выражение

Вернемся к формуле дискретного преобразования Фурье:

В теории дискретных систем принято использовать несколько иную форму записи, связанную с введением Z – преобразования. Сделаем такую подстановку:

.

Тогда вышеприведенная формула значительно упростится:

.

Вновь полученная функция X(z) переменной z называется Z – изображением или Z – образом дискретного сигнала x(k).

Z – преобразования для дискретных сигналов и систем играют ту же роль, что и преобразование Лапласа для аналоговых систем. Поэтому рассмотрим ряд примеров определения Z – изображений некоторых типичных дискретных сигналов.

1.Единичный импульс (рис. 9.14) является дискретным аналогом δ - импульса и представляет собой единичный отчет с единичным значением:

Z – преобразование единичного импульса находится как

как и для δ - импульса Дирака.

2. Дискретный единичный скачок (рис. 9.15) - это полный аналог функции включения Хевисайда:

Z – образ единичного скачка найдется как

Полученная сумма – это сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с начальным членом, равным 1, и знаменателем
. Сумма членов ряда составляет:

.

3. Дискретная экспонента (рис. 9.16) - это сигнал, определяемый выражением:

При
дискретная экспонента является убывающей (рис. 9.16), при
- возрастающей, при
- знакопеременной.Z – образ такой экспоненты

Как и в предыдущем случае, мы получили геометрическую прогрессию с нулевым членом, равным единице, но со знаменателем
. Бесконечная сумма членов прогрессии определяетZ – образ экспоненты:

4. Дискретная затухающая гармоника . В противоположность предыдущим примерам запишем ее в общем виде:

где α – коэффициент затухания гармоники,

ω – частота гармоники,

φ – начальная фаза колебаний,

- период дискретизации.

Введем следующие обозначения:

На рис.9.17 представлен график дискретной затухающей гармоники при следующих данных: а=0.9,
, φ=π/9. С учетом принятых обозначений выражение для дискретной затухающей гармоники можно представить в виде:

.

При получении Z – образа гармоники следует выразить функцию косинуса через сумму двух комплексных экспонент. Тогда, проделав целый ряд алгебраических и тригонометрических преобразований, в конце концов, можно будет получить следующее выражение:

.

Из приведенных примеров видно, что Z – образы большинства дискретных сигналов представляют собой дробно-рациональные функции от переменной
. ПроисхождениеZ – преобразования от преобразования Лапласа и Фурье приводит к тому, что Z – преобразование имеет и похожие свойства.

1. Линейность.

Z – преобразование линейно, так что если имеются два сигнала , то сумма этих сигналов
имеетZ – образ
.

2. Временная задержка дискретного сигнала .

Если дискретный сигнал x(k), имеющий Z – образ X(z), задержать на m шагов дискретизации
, то задержанный сигналy(k)=x(k-m) имеет Z – образ
. Выражение
можно рассматривать как оператор задержки сигнала на один шаг дискретизации.

3. Свертка дискретных сигналов .

По аналогии со сверткой аналоговых сигналов

,

Фурье – образ которой равен произведению Фурье – образов сворачиваемых сигналов, свертка двух дискретных сигналов определяется как

.

Z – образ свертки двух сигналов равен произведению Z – образов исходных дискретных сигналов

4. Умножение на дискретную экспоненту .

Если дискретный сигнал
, имеющийZ – образ
, умножается на экспоненту
, тоZ – образ произведения примет вид
.

Рассмотренные свойства Z – преобразования позволяют во многих случаях без особого труда найти Z – образ заданного сигнала или решить обратную задачу – по известному Z – образу сигнала найти его представление во времени.

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform).

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s k = s(kDt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения s k:

s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)

где z = s+jw = r×exp(-jj) - произвольная комплексная переменная. Полином S(z) называют z-образом или z-изображением функции s(kDt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек.

Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину z n означает задержку сигнала на n интервалов: z n S(z) Û s(k-n).

Свойства z-преобразования.

Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.

Линейность : Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель z n вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности, свертка двух сигналов отображается в z-области произведением их z-образов, и наоборот:

s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k)·h(k) Û S(z) * H(z).

При z = exp(-jwDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.3.1). Спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).

Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни a i , и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,

где а 0 - последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье

где Асо - период дискретизации по частоте:

Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):

где: At - период дискретизации по времени:

х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.

На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:

Т Аса = Q At.

Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.

Z-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.

Пусть имеется некоторая числовая последовательность

Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.

Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же

то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.

Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование

являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.

Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим

Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что

Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем

Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.

Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).

Преобразование Лапласа от него имеет вид

Если формально положить z = ехр(/?Д),

то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.

Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение

будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

• 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
• 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
• 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)

Контрольные вопросы

Записать преобразование Лапласа.

Записать преобразование Фурье.

Записать ряд Фурье.

Записать Z-преобразование.

Записать обратное Z-преобразование.

Записать свойства Z-преобразования.