Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье

где Асо - период дискретизации по частоте:

Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):

где: At - период дискретизации по времени:

х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.

На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:

Т Аса = Q At.

Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.

Z-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.

Пусть имеется некоторая числовая последовательность

Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.

Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же

то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.

Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование

являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.

Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим

Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что

Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем

Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.

Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).

Преобразование Лапласа от него имеет вид

Если формально положить z = ехр(/?Д),

то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.

Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение

будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

• 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
• 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
• 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)

Контрольные вопросы

Записать преобразование Лапласа.

Записать преобразование Фурье.

Записать ряд Фурье.

Записать Z-преобразование.

Записать обратное Z-преобразование.

Записать свойства Z-преобразования.

Z–преобразование применяется в основном для расчета дискретных фильтров. Математический аппарат z-преобразования играет для цифровых устройств ту же роль, что и для аналоговых схем. При помощи z-преобразования легко расчитываются частотные фильтры, фазовые корректоры или преобразователи Гильберта для реализации их в цифровом виде. Сразу же разделим понятия дискретного и цифрового фильтра. В дискретных фильтрах импульсная характеристика дискретна во времени, но при этом отсчеты сигнала и параметры фильтра могут принимать любое значение. В цифровых фильтрах как отсчеты сигналов, так и параметры фильтров (например коэффициенты) представляются двоичными числами определенной разрядности. В качестве примера дискретного фильтра можно привести фильтр на переключаемых конденсаторах.

При рассмотрении дискретизации сигналов мы выяснили, что спектр входного аналогового сигнала при преобразовании в дискретную форму повторяется по оси частот бесконечное количество раз. То же самое происходит и с частотной характеристикой дискретного фильтра. Пример изменения амлитудно-частотной характеристики фильтра НЧ при его дискретной реализации приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример амплитудно-частотной характеристики дискретного фильтра

В приведенном примере частота дискретизации выбрана 50 кГц. Поэтому возле данной частоты образуются еще две полосы пропускания дискретного фильтра. Для правильной работы дискретного фильтра, такого как фильтр на переключаемых конденсаторах или цифровой фильтр, потребуется аналоговый антиалиайсинговый фильтр, подавляющий высокочастотные составляющие входного сигнала. Его идеализированная амплитудно-частотная характеристика проведена на рисунке 1 красным цветом.

Если имеется передаточная характеристика аналогового фильтра H (s ) в виде нулей и полюсов фильтра, то в дискретном фильтре нули и полюса периодически повторяются с периодом 1/T , где T — период дискретизации. Другими словами таким образом повторяется фильтра как это показано на рисунке 1. Положение нулей и полюсов на оси частот s-плоскости для обычного и дискретного фильтров приведено на рисунке 2.

Рисунок 2. Периодическое повторение нулей и полюсов на s-плоскости

У дискретного фильтра мы видим бесконечное количество нулей и полюсов, что не совсем удобно при его реализации. Вместо бесконечного повторения нулей и полюсов на бесконечной оси частот можно преобразовать эту ось в кольцевую (использовать вместо декартовой полярную систему координат). Подобное преобразование показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Преобразование комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость

При этом преобразовании нулевая частота занимает положение точки +1 на реальной оси z-плоскости, частота, равная ∞, преобразуется в точку −1 на реальной оси z-плоскости, а сама ось частот преобразуется в круг единичного радиуса. При увеличении частоты мы будем двигаться по кругу против часовой стрелки, реализуя тем самым бесконечное повторение амплитудно-частотных характеристик дискретного фильтра.

Математически отображение комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость осуществляется следующим образом:

Z = e s·T (1)

где s = σ + jω

Тогда преобразование Лапласа дискретного сигнала переходит в z–преобразование:

(2)

При переходе из комплексной s–плоскости в комплексную z-плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в s-плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено в следующем виде:

(3)

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.

Определение z-преобразования

Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности . Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа. В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.

На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует . Если же, например, , то

Сходимость ряда

Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

при любых . Здесь и – постоянные вещественные числа.

Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим, например, дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд

является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце . Суммируя прогрессию, получим:

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а – некоторое вещественное число. Здесь:

Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области .

Z-преобразование непрерывных функций

Полагая, что отсчёты есть значения непрерывной функции в точках , любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

Например, если , то соответствующее z-преобразование

является аналитической функцией при .

Обратное z-преобразование

Пусть p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области . Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция определяет всю бесконечную совокупность отсчётов . Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель :

Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :

Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.

Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m , поэтому

Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.

Пример

Задано z-преобразование вида . Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.

Прежде всего, определим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки , поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.

Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка есть изолированная особая точка функции . Вычетом функции в точке называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:

В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции

И не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности точки : . Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Если точка есть полюс n -го порядка функции , то

В случае простого полюса ()

Если функция в окрестности точки представима как частное двух аналитических функций

причем , т.е. есть простой полюс функции , то

Обращаясь к формуле (1.48), находим, что

при любых idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:

Связь с преобразованием Лапласа и Фурье

Определим при сигнал вида идеальной МИП:

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46). – последовательность чисел, общий член которой равен:

Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.

Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:

Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.

Лекция 8. Цифровые САУ

Основные положения и определения

Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.

Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы

Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена

Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.

Рисунок 8.3 – Виды АИМ

Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.

Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП

В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.

Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.

Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП

При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.

Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП

Решетчатая функция. Например, .

Разностное уравнение 1-го порядка;

Разностное уравнение 2-го порядка;

Разностное уравнение k-го порядка.

Z-преобразование

Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.

Преобразование Лапласа имеет вид

.

Приближенно интеграл можно представить в виде суммы

.

Примем , тогда

или

. (8.1)

Пример 1. Найти z-изображение .

.

В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен

.

Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области

F(t)	Р-преобразование	Z-преобразование
1(t) t t 2 exp(-at)	1/р 1 /p 2 1 /p 3 1/(p+a)	z / z-1 Tz / (z-1) 2 T 2 z(z+1) /(z-1) 3 z/ (z-e -at)

Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.

Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора

x(z) = 1 + z -1 + z -2 +…..+z - n .

Умножим на z -1 обе части уравнения

x(z) ∙ z -1 = z -1 + z -2 + z - n -1 ,

и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z -1 .

x(z) – x(z) ∙ z -1 = 1.

Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.

x(z) ∙ z -1 = Tz -2 + 2Tz -3 + …;

Теоремы Z- преобразования

1) Суммирование и вычитание. Если f 1 (t) и f 2 (t) имеют z-преобразование, то

2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.

4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то

5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то

Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.

6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то

Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования

Приведем заданную функцию к виду

Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то

7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то

Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te -α t с помощью теоремы дифференцирования.

Обратное z- преобразование

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.

Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.